Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen

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1 Kapitel 6 Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen 6. Gemeinsame Verteilungen zweier Zufallsvariablen Bisher haben wir nur die Verteilung einer Zufallsvariablen betrachtet. Zur Beschreibung des stochastischen Verhaltens einer Zufallsvariablen haben wir die Begriffe Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichtefunktion und Verteilungsfunktion kennengelernt. Jetzt werden wir analoge Begriffe kennenlernen, um das gemeinsame Verhalten zweier Zufallsvariablen und zu betrachten. Einkommen Einkommen Haushaltsgröße Autotp Autotp Schulbildung DAX heute Werbungsausgaben Geschlecht Note Vordiplom Ausgaben für Lebensmittel Ausgaben für Versicherungen Anzahl der Autos Anzahl der Schadensfälle Schadenshöhe Durchschnittliche Fernsehzeit pro Tag DAX morgen Umsatz Einkommen Note Hauptdiplom Bei der Behandlung einer Zufallsvariablen haben wir zwischen diskreten und stetigen Zufallsvariablen unterschieden. Jetzt sind die folgenden drei Fälle zu unterscheiden: a) Beide Zufallsvariablen sind diskret. b) Beide Zufallsvariablen sind stetig. c) Eine Zufallsvariable ist diskret, die andere ist stetig. Wir werden nur die beiden ersten Fälle behandeln. 9

2 6.. GEMEINSAME VERTEILUNGEN ZWEIER ZUFALLSVARIABLEN Gemeinsame Verteilung zweier diskreter Zufallsvariablen Definition 6. Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion zweier diskreter Zufallsvariablen und ist definiert durch È Ü Ýµ È Ü Ýµ Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion gibt uns also die Wahrscheinlichkeiten an, mit der Paare möglicher Werte der beiden Zufallsvariablen angenommen werden. Die Betonung im vorigen Satz liegt auf Paare, nicht mehr wie früher einzelne Werte für sich, sondern zwei Werte gemeinsam als Paar. Beispiel 6. Die folgenden Daten sind aus dem Buch,,Applied Multivariate Data Analsis, Volume II, Categorical and Multivariate Methods von J.D. Jobson (99). Die Daten können als Wahrscheinlichkeitsfunktion angesehen werden, da eine sehr große Grundgesamtheit von Steuerzahlern nach ihrer Altersgruppe und nach ihrer Einschätzung der Kriminalitätslage in ihrer Umgebung befragt wurden. Tabelle 6.: Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion È Ü Ýµ Meinung Alter nicht ernst etwas ernst ernst sehr ernst Ý Ý ¾ Ý Ý È Üµ unter 3 Ü Ü ¾ Ü È Ýµ hat die folgenden Eigen- Satz 6. Eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion È schaften: a) È Ü Ýµ für alle Ü Ýµ b) È Ü Ýµ für höchstens abzählbar unendlich viele Ü Ýµ c) È Ü È Ý È Ü Ýµ

3 9 KAPITEL 6. GEMEINSAME VERTEILUNG VON ZUFALLSVARIABLEN Definition 6. Die Randwahrscheinlichkeitsfunktionen von und sind definiert durch a) È Üµ È Üµ È Ý È Ü Ýµ È Ý È Ü Ýµ b) È Ýµ È Ýµ È Ü È Ü Ýµ È Ü È Ü Ýµ In Tabelle 6. sind die Randwahrscheinlichkeitsfunktionen ausgerechnet und an den Rand (daher der Name!) geschrieben worden. Es sind einfach die Summen der gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten über die einzelnen Zeilen bzw. Spalten zu bilden. Die Randwahrscheinlichkeiten sind gewöhnliche Wahrscheinlichkeitsfunktionen einer Zufallsvariablen, wie wir sie in Kapitel kennengelernt haben. 6.. Gemeinsame Verteilung zweier stetiger Zufallsvariablen Definition 6.3 Die gemeinsame Dichtefunktion Ü Ýµ zweier Zufallsvariablen hat die Eigenschaften a) Ü Ýµ für alle Ü Ý, b) Ê Ê Ü ÝµÜ Ý, c) È µ µ mit und. Ê Ê Ü ÝµÝ Ü für alle Paare µ und Beispiel 6. Die Funktion sei definiert durch Ü Ýµ ¾ ܾ Ü Ýµ Ü Ý sonst Es soll gezeigt werden, dass eine gemeinsame Dichtefunktion ist. Es ist Ü Ýµ und Ü ÝµÝÜ ¾ ¾ ¾ ¾Ü Ü ¾ ¾ÜÝ Ü ¾ Ý ¾Ü Ü ¾ ÜݵÝÜ ¾ Üݾ µ ¾ ÜµÜ ¾ ܾ Ü Ü¾ µ ¾ Ü µ ¾ ¾

4 f(,).5 f(,) 6.. GEMEINSAME VERTEILUNGEN ZWEIER ZUFALLSVARIABLEN Abbildung 6.: Gemeinsame Dichtefunktion aus Beispiel 6. Daher ist eine gemeinsame Dichtefunktion, die in Abbildung 6. graphisch dargestellt ist. Diese Graphik wurde mit der R-Funktion persp erstellt. Abbildung 6. zeigt die Wahrscheinlichkeit È ¾ ¾ µ als Volumen unterhalb der gemeinsamen Dichtefunktion..5.5 Abbildung 6.: Wahrscheinlichkeit als Volumen unterhalb der gemeinsamen Dichte Diese Wahrscheinlichkeit wollen wir jetzt durch das folgende Doppelintegral berechnen. È ¾ ¾ µ ¾ ¾ ¾Ü Ü ¾ ÜݵÝÜ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ÜÝ Ü ¾ Ý ¾ ¾Ü Ü ¾ ¾ Üݾ ¾ Ü ¾ Ü Ü ¾ ܾ Ü Ü

5 .5.5 f(,) 94 KAPITEL 6. GEMEINSAME VERTEILUNG VON ZUFALLSVARIABLEN ¾ ¾ ¾ Ü ¾ Ü Ü¾ ¾ ¾ ܾ Ü Ü¾ Ü ¾ ¾ Ü Beispiel 6.3 Die Funktion Ü Ýµ sei definiert durch Ü Ýµ ¾ Ü ¾Ý Ü Ý sonst Abbildung 6.3: Gemeinsame Dichtefunktion aus Beispiel 6.3 Wir wollen zeigen, dass eine Dichtefunktion ist. Es gilt Ü Ýµ und Ü ÝµÝ Ü Ü ¾ ¾Ý Ý Ü Ü ¾Ý Ü Ü µ Ü Ü Ü Ü µ

6 ..4.6 f(,) 6.. GEMEINSAME VERTEILUNGEN ZWEIER ZUFALLSVARIABLEN 95 Also ist tatsächlich eine Dichtefunktion. Wir wollen die Wahrscheinlichkeit È µ, die in Abbildung 6.4 als Volumen unterhalb der gemeinsamen Dichtefunktion graphisch dargestellt ist, berechnen. È µ ¾ Ü ¾Ý Ý Ü Ü ¾ µ Ü Ü ¾ µ Ü µ ¾ µ µ µ µ Ü ¾Ý Abbildung 6.4: È µ als Volumen unterhalb der gemeinsamen Dichtefunktion º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ü Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Abbildung 6.5: Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit È µ Jetzt soll die Wahrscheinlichkeit È µ, die in Abbildung 6.6 graphisch dargestellt ist, berechnet werden. Dazu betrachten wir zunächst die Abbildung 6.5, in der der Bereich, über den das Integral zu bilden ist, gepunktet eingezeichnet ist. Wenn wir Ý ¾ µ frei wählen, kann Ü sich nur noch zwischen und Ý frei bewegen. Das erklärt die Grenzen in dem folgenden Doppelintegral.

7 .5.5 f(,) 96 KAPITEL 6. GEMEINSAME VERTEILUNG VON ZUFALLSVARIABLEN È µ Ý Ü ¾ ¾Ý Ü Ý ¾ ¾Ý Ü Ý Ý ¾ ¾Ý µ Ý µý ¾ ¾Ý Ý ¾ Ý Ý ¾ Ý Ý 3 3 Abbildung 6.6: È µ als Volumen unterhalb der gemeinsamen Dichtefunktion Man hätte bei der Berechnung der obigen Wahrscheinlichkeit die Integrationsreihenfolge auch vertauschen können. Dann würde man Ü ¾ µ frei wählen. Bei gegebenem Ü, könnte Ý dann von Ü bis variieren. Man müsste dann das Integral berechnen. Ü Ü ¾ ¾Ý Ý Ü

8 6.. GEMEINSAME VERTEILUNGEN ZWEIER ZUFALLSVARIABLEN 97 Definition 6.4 Die Randdichtefunktionen von und sind definiert durch a) ܵ b) ݵ Ê Ê Ü ÝµÝ Ü ÝµÜ Beispiel 6.4 Wir betrachten die gemeinsame Dichtefunktion aus Beispiel 6.. ¾ ܾ Ü Ýµ Ü Ý Ü Ýµ sonst d.h. ܵ ¾ ܵ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾Ü Ü ¾ ÜÝµÝ ¾ÜÝ Ü ¾ Ý ¾Ü Ü ¾ ¾ Ü Ü¾ ¾ Ü Ü¾ ¾ Ü ¾ Üݾ Ü sonst d.h. ݵ ¾ ¾ ¾Ü Ü ¾ ÜÝµÜ ¾ ܾ Ü ¾ ܾ ݵ ݵ ¾ ݵ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ݵ ¾ ݵ Ý sonst Man beachte, dass die Randdichten nicht die gemeinsame Dichtefunktion bestimmen. Im vorangehenden Beispiel ist das Produkt der Randdichten ܵ ݵ wieder eine gemeinsame Dichtefunktion, die jedoch nicht mit der anfangs gegebenen gemeinsamen Dichtefunktion Ü Ýµ übereinstimmt. Beispiel 6.5 Wir betrachten die gemeinsame Dichtefunktion aus Beispiel 6.3, d.h. Ü Ýµ ¾ Ü ¾Ý Ü Ý sonst

9 ..4.6 f(,)..4.6 f(,) 98 KAPITEL 6. GEMEINSAME VERTEILUNG VON ZUFALLSVARIABLEN ܵ Ê Ü ¾ ¾Ý Ý Ü Ü sonst ݵ ¾ ¾Ý Ê Ü Ü ¾ ¾Ý Ý sonst In diesem Beispiel ist die gemeinsame Dichtefunktion das Produkt der Randdichten. Wir werden später sehen (Beispiel 6.4), dass und in diesem Fall unabhängig sind. Bildlich ist die Randdichtefunktion von an der Stelle Ü der Flächeninhalt der in Abbildung 6.7 dargestellten Schnittfläche der gemeinsamen Dichtefunktion. Genauso ist die Randdichtefunktion von an der Stelle Ý der Flächeninhalt der in Abbildung 6.8 dargestellten Schnittfläche der gemeinsamen Dichtefunktion Abbildung 6.7: Schnittfläche zur Berechnung der Randdichte von Abbildung 6.8: Schnittfläche zur Berechnung der Randdichte von

10 6.. GEMEINSAME VERTEILUNGEN ZWEIER ZUFALLSVARIABLEN Die gemeinsame Verteilungsfunktion Definition 6.5 Die gemeinsame Verteilungsfunktion zweier Zufallsvariablen und ist definiert durch Ü Ýµ È Ü Ýµ Satz 6. Für zwei diskrete Zufallsvariablen und mit der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion È gilt Ü Ýµ Ü ØÝ È Øµ Für zwei stetige Zufallsvariablen mit der gemeinsamen Dichtefunktion gilt Ü Ýµ Ü Ý ØµØ Beispiel 6.6 Wir betrachten die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion aus dem Beispiel 6., in dem eine große Grundgesamtheit von Steuerzahlern nach ihrer Altersgruppe und zu ihrer Einschätzung der Kriminalitätslage befragt wurde. Aus Tabelle 6. erhalten wir die folgende gemeinsame Verteilungsfunktion. Tabelle 6.: Gemeinsame Verteilungsfunktion Ü Ýµ Ý Ý ¾ Ý Ý Ü Ü ¾ Ü Beispiel 6.7 Die gemeinsame Dichtefunktion zweier Zufallsvariablen und sei Ü Ýµ ÜµÝ Ü Ý sonst Dann gilt Ü Ýµ für Ü oder Ý, während für Ü und Ý gilt Ü Ýµ Ü Ý µø Ø ¾Ü ¾ ܵݾ

11 3 4 f(,) KAPITEL 6. GEMEINSAME VERTEILUNG VON ZUFALLSVARIABLEN.5.5 Abbildung 6.9: Gemeinsame Dichtefunktion Ü Ýµ ÜµÝ Zusammenfassend gilt Ü Ýµ für Ü oder Ý ¾Ü ¾Ü ¾ ܵݾ für Ü Ý Üµ für Ü Ý ¾ Ý ¾ für Ü Ý für Ü Ý Die einzelnen Bereiche der Verteilungsfunktion sind in Abbildung 6. dargestellt, während Abbildung 6. die Verteilungsfunktion zeigt. º Ü Ý º º º º º Ü Ý º º º º º º º º º º º º º º º Ü Ý º Abbildung 6.: Definitionsbereich der obigen Verteilungsfunktion Die Randverteilungsfunktionen erhält man wie folgt ܵ È Üµ È Ü µ ܵ Ü µ für Ü ¾Ü ܵ für Ü ¾ für Ü Ýµ È Ýµ È Ýµ ݵ

12 .5 F(,) 6.. GEMEINSAME VERTEILUNGEN ZWEIER ZUFALLSVARIABLEN.5.5 Abbildung 6.: Gemeinsame Verteilungsfunktion Ü Ýµ ¾Ü ܾµÝ ¾ ݵ für Ý Ý ¾ für Ý für Ý Wir wollen jetzt die gemeinsame Dichtefunktion zweier stetiger Zufallsvariablen bestimmen, wenn die gemeinsame Verteilungsfunktion gegeben ist. Satz 6.3 Seien und zwei stetige Zufallsvariablen mit der gemeinsamen Verteilungsfunktion Ü Ýµ. Dann erhält man die gemeinsame Dichtefunktion durch Differentiation: Ü Ýµ ¾ ÜÝ Ü Ýµ Beispiel 6.8 Wir betrachten die Verteilungsfunktion, die wir in Beispiel 6.6 aus der gemeinsamen Dichtefunktion bestimmt hatten. Wir müssten also jetzt durch Differentiation zu der usprünglichen Dichtefunktion zurückkommen. Die Verteilungsfunktion war: Ü Ýµ Für Ü Ý gilt für Ü oder Ý ¾Ü ¾Ü ¾ ܵݾ für Ü Ý Üµ für Ü Ý ¾ Ý ¾ für Ü Ý sonst Ü Ýµ Ü Ý Ü ¾Ü ¾ ܵ¾Ý Ü Ü ¾Ü¾ µý ÜµÝ ÜµÝ

13 KAPITEL 6. GEMEINSAME VERTEILUNG VON ZUFALLSVARIABLEN Für alle übrigen Bereiche ist Damit gilt Ü Ýµ Ü Ýµ Ü Ý ÜµÝ Ü Ý sonst Dies ist die gemeinsame Dichtefunktion, von der wir in Beispiel 6.6 ausgegangen waren. R-Befehl zur graphischen Darstellung gemeinsamer Dichtefunktionen persp(,,z) erstellt einen 3D-Plot. Dabei sind und Vektoren, die das Gitternetz bilden, über dem die Funktion gezeichnet werden soll. Und z ist eine Matri, die die Funktionswerte angibt. In der Hilfe finden Sie weitere optionale Argumente. 6. Gemeinsame Momente Wir betrachten jetzt Erwartungswerte von Funktionen À µ von zwei Zufallsvariablen und. Definition 6.6 Sei À µ eine Funktion der Zufallsvariablen µ. Der Erwartungswert À µ ist definiert durch À µ È È Ü Ê Ý Ê ÀÜ ÝµÈ Ü Ýµ ÀÜ Ýµ Ü ÝµÝÜ falls und diskret sind falls und stetig sind Für das Rechnen mit Erwartungswerten gelten die folgenden Regeln (vergleiche Satz.). Satz 6.4 Seien À µ und µ Funktionen der beiden Zufallsvariablen und, dann gilt: a) À µµ À µ, wenn eine Konstante ist, b) À µ µ À µ µ, insb. À µ µ À µ Man beachte jedoch, dass im allgemeinen: À µ µ À µ µ

14 6.. GEMEINSAME MOMENTE 3 Definition 6.7 Das Ö µ-te gemeinsame Moment zweier Zufallsvariablen und ist definiert als Ö Ö Es ist z.b. ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ Definition 6.8 Das Ö µ-te gemeinsame Moment zweier Zufallsvariablen und um den Erwartungswert ist definiert durch Ö µ Ö µ Abbildung 6.: Tpische Realisationen bei positiver Kovarianz Es ist z.b. ¾ µ ¾ µ µ ¾ Î Öµ ¾ die Varianz von,

15 4 KAPITEL 6. GEMEINSAME VERTEILUNG VON ZUFALLSVARIABLEN Abbildung 6.3: Tpische Realisationen bei negativer Kovarianz ¾ µ µ ¾ µ ¾ Î Ö µ ¾ die Varianz von, die Kovarianz von und. µ µ ÓÚ µ Wegen der besonderen Bedeutung definieren wir noch einmal: Definition 6.9 Das gemeinsame Moment heißt die Kovarianz von und und wird auch mit ÓÚ µ oder bezeichnet. Zur Berechnung der Kovarianz nützlich ist die folgende Regel (vgl. Satz., in dem die entsprechende Regel für die Varianz gegeben wird). Satz 6.5 ÓÚ µ Beweis: ÓÚ µ µ µ Ü Ý µ µ µ µ µ µ µ Ð

16 6.. GEMEINSAME MOMENTE 5 Die Kovarianz ist ein Maß für die gemeinsame Variation. Die Kovarianz ist positiv, wenn und gemeinsam, d.h. gleichzeitig überwiegend positive (gemeint ist, größere Werte als der jeweilige Erwartungswert) oder gleichzeitig negative Werte (d.h. jeweils kleinere Werte als der Erwartungswert) annehmen. Abbildung 7. zeigt tpische Realisationen bei positiver Kovarianz. Dort wurde gewählt. Treten überwiegend positive Werte der einen Zufallsvariablen mit negativen Werten der anderen auf, so ist die Kovarianz negativ (siehe Abbildung 7.). Die Größe der Kovarianz sagt nichts über die Stärke des Zusammenhangs aus. Denken Sie an zwei Zufallsvariablen, die Längen messen. Wenn Sie als Maßeinheit Zentimeter statt Meter verwenden, wird die Kovarianz um den Faktor größer. Es ist also nötig, die Variation der einzelnen Variablen zu berücksichtigen, um zu einem dimensionslosen Maß zu kommen. Definition 6. Der Korrelationskoeffizient zweier Zufallsvariablen und ist definiert durch ÓÚ µ Õ Î ÖµÎ Ö µ Satz 6.6 Der Korrelationskoeffizient ist ein dimensionsloses Maß für den linearen Zusammenhang zweier Zufallsvariablen und und es gilt Abbildung 6.4 zeigt die Höhenlinien (das sind Linien, auf denen die gemeinsame Dichtefunktion die gleiche Höhe hat) gemeinsamer Dichtefunktionen für verschiedene Werte von. Je größer, desto mehr nähern sich die Höhenlinien einer Geraden. Es handelt sich um die Höhenlinien einer bivariaten Normalverteilung, die mit der R-Funktion contour gezeichnet wurden. Eine andere Darstellungsform erhält man mit der R-Funktion image, die die unterschiedlichen Höhen einer bivariaten Funktion durch Farben bzw. Graustufen darstellt. Die Dichtefunktion ist dort am höchsten, wo sie am hellsten dargestellt ist. So ähnlich kann man sich dann auch die Verteilung der Beobachtungen vorstellen, wenn man sehr viele Realisationen zur Verfügung hat. Definition 6. Zwei Zufallsvariablen und heißen unkorreliert, wenn gilt.

17 6 KAPITEL 6. GEMEINSAME VERTEILUNG VON ZUFALLSVARIABLEN ρ = ρ =.95 ρ =.7 ρ =.5 Abbildung 6.4: Höhenlinien der gemeinsamen Dichtefunktion für verschiedene Satz 6.7 Zwei Zufallsvariablen und sind genau dann unkorreliert, wenn gilt. Beweis: µ µ ÓÚ µ µ µ Beispiel 6.9 Die gemeinsame Dichtefunktion zweier Zufallsvariablen und sei gegeben durch Ü Ýµ ¾ für Ü Ý sonst Abbildung 6.6 zeigt die gemeinsame Dichtefunktion. Bei dieser Dichtefunktion ist wieder auf den Definitionsbereich zu achten (vergleiche Abbildung 6.5). Man kann auffassen als die Dichtefunktion des Minimums () und des Maimums ( ) zweier Í µ-verteilter Zufallsvariablen Í Ð

18 .5.5 f(,) 6.. GEMEINSAME MOMENTE 7 ρ= ρ=.95 ρ=.7 ρ=.5 Abbildung 6.5: Imageplots der gemeinsamen Dichtefunktion für verschiedene und Í ¾, d.h. ÑÒÍ Í ¾ µ und ÑÜÍ Í ¾ µ.5.5 Abbildung 6.6: Gemeinsame Dichtefunktion Ü Ýµ ¾ für Ü Ý Wir wollen den Korrelationskoeffizienten von und berechnen. Dazu gehen wir in folgenden Schritten vor: a) Berechne b) Berechne ¾ ¾ c) Berechne ¾ ¾ µ ¾ Î Öµ

19 8 KAPITEL 6. GEMEINSAME VERTEILUNG VON ZUFALLSVARIABLEN d) Berechne e) Berechne ¾ ¾ f) Berechne ¾ ¾ µ ¾ Î Ö µ g) Berechne h) Berechne ÓÚ µ i) Berechne Ô ÓÚ µ Î ÖµÎ Ö µ Bevor wir mit den einzelnen Schritten beginnen, bestimmen wir zunächst die Randdichten von und, da wir die ersten und zweiten Momente von und einfacher mit den Randdichtefunktionen als mit der gemeinsamen Dichtefunktion berechnen können. ܵ Ü ÝµÝ ¾ Ý Ü ¾Ý Ü ¾ ܵ für Ü sonst ݵ Ü ÝµÜ Ý ¾ Ü ¾Ü Ý ¾Ý für Ý sonst Jetzt gehen wir in den obigen Schritten vor: a) ܾ ÜµÜ ¾Ü ¾Ü ¾ Ü Ü ¾ ¾ Ü

20 6.. GEMEINSAME MOMENTE 9 b) ¾ ¾ Ü ¾ ¾ ÜµÜ ¾Ü ¾ ¾Ü Ü ¾ Ü ¾ Ü c) Î Ö ¾ ¾ µ µ ¾ ¾ d) ݾÝÝ ¾ Ý ¾ e) ¾ ¾ Ý ¾ ¾ÝÝ ¾ Ý ¾ f) Î Ö ¾ ¾ µ µ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ g) Ý ÜÝ ¾ÜÝ Ü ¾ Ý Ý Ý Ý Ý Ý

21 KAPITEL 6. GEMEINSAME VERTEILUNG VON ZUFALLSVARIABLEN h) i) ÓÚ µ ¾ ¾ ÓÚ µ Ô Î ÖµÎ Ö µ Õ ¾ R-Befehle zur graphischen Darstellung gemeinsamer Dichtefunktionen contour(,, z) zeichnet die Höhenlinien der durch die Matri z einzugebenden Funktion. Die Vektoren und bestimmen das Gitternetz, über dem die Funktion berechnet werden soll. In der Hilfe finden Sie weitere optionale Argumente, mit denen Sie z.b. die Anzahl der Höhenlinien bestimmen können. image(,, z) zeichnet die Höhenlinien durch Farbabstufungen oder durch Graustufen. Die Argumente sind wie bei der Funktion contour. 6.3 Bedingte Verteilungen, Unabhängigkeit 6.3. Bedingte Verteilungen Definition 6. Seien und diskrete Zufallsvariablen. Die bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion von gegeben Ü ist definiert als È Ýܵ È Ü Ýµ È Üµ und die bedingte Wahrscheinichkeitsfunktion von gegeben Ý ist definiert als È Üݵ È Ü Ýµ È Ýµ Beispiel 6. Wir betrachten die Situation aus Beispiel 6.. Dort wurde eine große Grundgesamtheit von Steuerzahlern nach ihrer Altersgruppe und nach ihrer Meinung zur Kriminalitätslage in ihrer Umgebung befragt. Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion È ist in Tabelle 6. gegeben. Nehmen Sie an, dass wir eine Person aus der Grundgesamtheit zufällig auswählen. Wir stellen die beiden folgenden Fragen:

22 6.3. BEDINGTE VERTEILUNGEN, UNABHÄNGIGKEIT FRAGE : Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er oder sie die Kriminalitätslage als,,sehr ernst einschätzt? ANTWORT: È µ È µ FRAGE : Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er oder sie die Kriminalitätslage als,,sehr ernst betrachtet, gegeben, dass er oder sie zwischen 3 und 5 Jahre alt ist? ANTWORT: È ¾µ È ¾ µ È ¾µ Wir wollen die komplette bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion von, gegeben ¾ bestimmen. È Ý¾µ È ¾ ݵ È ¾µ ¾ Ý Ý ¾ ¾ ¾ Ý Ý sonst Schließlich bestimmen wir noch die bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion von, gegeben. Diese Wahrscheinlichkeitsfunktion gibt uns die Antwort auf die FRAGE: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person einer bestimmten Altersgruppe angehört, gegeben, dass diese Person die Kriminalitätslage als,,sehr ernst einschätzt. ANTWORT: È Üµ È Ü µ È µ Ü Ü ¾ ¾ Ü sonst Definition 6.3 Seien und stetige Zufallsvariablen. Die bedingte Dichtefunktion von gegeben Ü ist definiert durch Ýܵ Ü Ýµ ܵ und die bedingte Dichtefunktion von gegeben Ý ist definiert durch Üݵ Ü Ýµ ݵ Beispiel 6. Wir betrachten die gemeinsame Dichtefunktion aus Beispiel 6., die in Abbildung 6. graphisch dargestellt ist. ¾ ܾ Ü Ýµ Ü Ý Ü Ýµ sonst

23 .5 f(,) KAPITEL 6. GEMEINSAME VERTEILUNG VON ZUFALLSVARIABLEN In Beispiel 6.4 hatten wir auch schon die Randdichtefunktionen bestimmt. Es war ܵ ¾ ¾ Ü Ü¾ Ü sonst und ݵ ¾ ¾ ¾ ݵ Ý sonst Damit ist die bedingte Dichte von, gegeben Ý Üݵ Ü Ýµ ݵ ¾ ܾ Ü Ýµ ¾ ¾ ¾ ݵ ܾ Ü Ýµ ¾ ¾ ݵ ¾Ü ܾ ÝÜ Ý Damit ist z.b. die bedingte Dichte von, gegeben ¾, für Ü Ü¾ µ ¾Ü ܾ ܵ ¾ Ü Ü ¾ d.h. die bedingte Dichtefunktion von, gegeben ¾, ist ܾ µ Ü Ü ¾ Ü sonst (6.) Anschaulich ist ܾ µ die in Abbildung 6.7 durch Schnitt an der Stelle Ý ¾ entstehende Schnittkurve, die so zu normieren ist, dass die Fläche unter der Kurve wird, d.h. es ist durch den Inhalt der Schnittfläche zu dividieren, d.h. durch ¾ µ..5.5 Abbildung 6.7: Zur Berechnung der bedingten Dichte von, gegeben ¾

24 f(,) 6.3. BEDINGTE VERTEILUNGEN, UNABHÄNGIGKEIT 3 Die bedingte Dichtefunktion von, gegeben Ü, ist Ýܵ Ü Ýµ ܵ ¾ ܾ Ü Ýµ ¾ Ü ¾ ܵ ¾ Ü Ý ¾ ܵ Damit ist z.b. die bedingte Dichte von, gegeben ¾, für Ý Ý¾µ ¾ ¾ ¾ ¾ Ý ¾ Ý d.h. die bedingte Dichtefunktion von, gegeben ¾ ist ݾµ ¾ Ý Ý sonst.5.5 Abbildung 6.8: Zur Berechnung der bedingten Dichte von, gegeben Anschaulich ist ݾµ die in Abbildung 6.8 durch Schnitt an der Stelle Ü ¾ entstehende Schnittkurve, die so zu normieren ist, dass die Fläche unter der Kurve wird, d.h. es ist durch den Inhalt der Schnittfläche zu dividieren, d.h. durch ¾µ.

25 4 KAPITEL 6. GEMEINSAME VERTEILUNG VON ZUFALLSVARIABLEN Definition 6.4 Seien und zwei stetige Zufallsvariablen. Der bedingte Erwartungswert von gegeben Ü ist definiert durch ܵ Ý ÝÜµÝ und die bedingte Erwartung von gegeben ist definiert durch ݵ Ü ÜÝµÜ Für zwei diskrete Zufallsvariablen gilt entsprechend ܵ Ý ÝÈ Ýܵ und ݵ Ü ÜÈ Üݵ Beispiel 6. Wir betrachten wieder die gemeinsame Dichtefunktion aus dem Beispiel 6. und wollen die bedingte Erwartung von ݵ bestimmen. Dabei wollen wir für Ý zunächst keinen bestimmten Wert festlegen. Dann gilt ݵ Ü ÜÝµÜ ¾Ü ܾ ÝÜ Ü Ü Ý ¾Ü ¾ Ü ÝÜ ¾ Ü Ý Ü ¾µÜ ¾ÝÜ Ý Ý Ý Zum Beispiel für Ý ¾ ergibt sich die bedingte Erwartung ¾ µ ¾ (6.)

26 6.3. BEDINGTE VERTEILUNGEN, UNABHÄNGIGKEIT 5 Definition 6.5 Seien und zwei stetige Zufallsvariablen. Die bedingte Varianz von, gegeben Ü, ist definiert durch Î Ö Üµ Ý Üµµ ¾ ÝÜµÝ und die bedingte Varianz von, gegeben Ý, ist definiert durch Î Ö Ýµ Ü Ýµµ ¾ ÜÝµÜ Für zwei diskrete Zufallsvariablen gilt entsprechend Î Ö Üµ Ý Ý Üµµ ¾ È Ýܵ und Î Ö Ýµ Ü Ü Ýµµ ¾ È Üݵ Beispiel 6.3 Wir benutzen die gemeinsame Dichtefunktion aus den beiden vorigen Beispielen und wollen jetzt die bedingte Varianz von, gegeben ¾, berechnen. Die bedingte Erwartung ist nach Gleichung 6. ¾ µ ¾ Wir wollen jetzt ¾ ¾ µ bestimmen und benutzen dazu die bedingte Dichtefunktion von, gegeben ¾, die wir in Gleichung 6. bestimmt hatten. ¾ ¾ µ Ü ¾Ü Ü ¾ µü Ü Ü µü Ü Ü ¾ Damit ist die bedingte Varianz Î Ö ¾ µ ¾ ¾ µ ¾ µ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

27 6 KAPITEL 6. GEMEINSAME VERTEILUNG VON ZUFALLSVARIABLEN Man rechnet also bedingte Erwartungswerte und bedingte Varianzen genauso aus wie gewöhnliche Erwartungswerte und Varianzen. Man muss nur die bedingten Dichtefunktionen bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktionen verwenden Unabhängigkeit Definition 6.6 Zwei Zufallsvariablen und heißen unabhängig, wenn im Falle diskreter Zufallsvariablen für die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion È Ü Ýµ È ÜµÈ Ýµ für alle Ü Ý gilt, bzw. im Falle stetiger Zufallsvariablen für die gemeinsame Dichtefunktion Ü Ýµ ܵ ݵ für alle Ü Ý gilt. Beispiel 6.4 In Beispiel 6.5 hatten wir gesehen, dass die gemeinsame Dichtefunktion Ü Ýµ das Produkt ihrer Randdichten ¾ Ü ¾Ý Ü Ý Üµ und ݵ Ü ¾ ¾Ý sonst Ü sonst ist. Die Zufallsvariablen und sind also unabhängig. Ý sonst Satz 6.8 Wenn die beiden Zufallsvariablen und unabhängig sind, so gilt für diskrete Zufallsvariablen Für stetige Zufallsvariablen gilt È Ýܵ È Ýµ und È Üݵ È Üµ Ýܵ ݵ und Üݵ ܵ Beweis: Für diskrete Zufallsvariablen gilt im Falle der Unabhängigkeit È Ýܵ È Ü Ýµ È Üµ È ÜµÈ Ýµ È Üµ È Ýµ

28 6.3. BEDINGTE VERTEILUNGEN, UNABHÄNGIGKEIT 7 Für stetige Zufallsvariablen ersetze man È durch. Ð Beispiel 6.5 Wir betrachten die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion aus dem Beispiel 6. (Einschätzung der Kriminalitätslage). Dort war Offensichtlich gilt È µ È µ ¾ und È µ ¾ È µè µ ¾ ¾ È µ Damit sind und nicht unabhängig. In dieser Grundgesamtheit ist also die Einschätzung der Kriminalitätslage nicht unabhängig vom Alter. Beispiel 6.6 In Beispiel 6.9 hatten wir die folgende gemeinsame Dichtefunktion zweier stetiger Zufallsvariablen und betrachtet. Ü Ýµ ¾ für Ü Ý sonst Die Randdichten waren und Da ¾ ܵ für Ü Üµ sonst ¾Ý für Ý Ýµ sonst ܵ ݵ Ý Üµ ¾ Ü Ýµ sind die beiden Zufallsvariablen und nicht unabhängig. Beispiel 6.7 In Beispiel 6. hatten wir die bedingten Dichtefunktionen ausgerechnet. Es galt und Üݵ Ýܵ ¾Ü Ü ¾ ÝÜ Ý für Ü sonst ¾ Ü Ý für Ý ¾ ܵ sonst Offensichtlich hängt die bedingte Dichtefunktion von, gegeben Ý von Ý und die bedingte Dichte von, gegeben Ü von Ü ab, so dass die beiden Zufallsvariablen und nach Satz 6.8 nicht unabhängig sein können. Satz 6.9 Wenn die beiden Zufallsvariablen und unabhängig sind, so sind sie unkorreliert, d.h. es gilt

29 8 KAPITEL 6. GEMEINSAME VERTEILUNG VON ZUFALLSVARIABLEN Beweis: Wir führen den Beweis nur für stetige Zufallsvariablen, für diskrete ist der Beweis analog, wenn man die Integrale durch Summen ersetzt. ÜÝ Ü ÝµÜÝ ÜÝ Üµ ݵÜÝ Ý Ýµ Ü ÜµÜµ Ý ßÞ Ð Ý ÝµÝ ßÞ Ð Die Umkehrung dieses Satzes gilt jedoch i. allg. nicht, wie das folgende Beispiel zeigt. Beispiel 6.8 Wir betrachten die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion È Ü Ýµ Ü Ýµ ¾ µ µ µ ¾ µ sonst Die Randwahrscheinlichkeitsfunktionen sind È Üµ Ü ¾ ¾ sonst È Ýµ ¾ Ý sonst Es gilt und d.h. Die Zufallsvariablen und sind also nach Satz 6.7 unkorreliert. Sie sind jedoch nicht unabhängig, da z.b. È µ È µè µ Das ist auch anschaulich klar, da ¾ gilt.

30 .. f(, ) 6.4. DIE BIVARIATE NORMALVERTEILUNG Die bivariate Normalverteilung Definition 6.7 Die Dichtefunktion der zweidimensionalen Normalverteilung ist gegeben durch ¾Ü Ü ¾ µ Dabei gilt Ô ÜÔ ¾ ¾ ¾ Ü ¾ ¾ ¾ µ ¾ Ü Ü ¾ ¾ ¾ Ü Ü ¾ ܾ ¾ Die zweidimensionale Normalverteilung hat fünf Parameter, für die gelten muss ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ - - Abbildung 6.9: Dichtefunktion einer zweidimensionalen Normalverteilung ¾ ¾ ¾ ¾ Wir schreiben ¾ µ Æ ¾ ¾ ¾ ¾ µ wenn ¾ µ eine zweidimensionale Normalverteilung besitzen. Die Bedeutung der einzelnen Parameter ist aus der folgenden Tabelle zu ersehen. Parameter ¾ ¾ ¾ ¾ Bedeutung Erwartungswert von Erwartungswert von ¾ Varianz von Varianz von ¾ Korrelationskoeffizient von und ¾ Die zweidimensionale Normalverteilung hat die Form einer Glocke, die je nach Größe von verschieden stark zusammengedrückt ist (siehe Abbildung 6.9).

31 .. KAPITEL 6. GEMEINSAME VERTEILUNG VON ZUFALLSVARIABLEN ρ = Abbildung 6.: Höhenlinien der zweidimensionalen Normalverteilung mit ¾ ¾ ¾ ¾..4 ρ=.9 ρ=.8.. ρ= ρ=.3.. ρ=.. ρ= ρ=.6 ρ=.8..4 ρ= Abbildung 6.: Dichtefunktionen der zweidimensionalen Standardnormalverteilung in Abhängigkeit von Die Standardform der bivariaten Normalverteilung ist: Æ µ Die gemeinsame Dichtefunktion ist in diesem Fall für Ü Ü ¾ ¾Ü Ü ¾ µ ¾ Ô ÜÔ ¾ ¾ ¾ µ Ü ¾ ¾Ü Ü ¾ Ü ¾ ¾ µ

32 6.4. DIE BIVARIATE NORMALVERTEILUNG Abbildung 6. zeigt einige gemeinsame Dichtefunktionen der bivariaten Standardnormalverteilung in Abhängigkeit von. (Beachten Sie die unterschiedlichen Skalierungen der Þ- Achse.) Abbildung 6. zeigt die zugehörigen Höhenlinien, während Abbildung 6.3 die Image-Plots und Abbildung 6.4 simulierte Punktwolken zeigt. ρ =.99 ρ =.9 ρ =.6 ρ =.3 ρ = ρ =.3 ρ =.6 ρ =.9 ρ =.99 Abbildung 6.: Höhenlinien der zweidimensionalen Standardnormalverteilung in Abhängigkeit von Satz 6. Seien und ¾ gemeinsam normalverteilt. Dann gilt für die Randverteilungen von und ¾ Æ ¾ µ und ¾ Æ ¾ ¾ ¾ µ Satz 6. Seien und ¾ gemeinsam normalverteilt. Dann gilt für die bedingte Verteilung von, gegeben ¾ Ü ¾, Æ Ü ¾ ¾ µ ¾ ¾ ¾ µµ und die bedingte Verteilung von ¾, gegeben Ü, Æ ¾ ¾Ü µ ¾ ¾ ¾ µµ

33 KAPITEL 6. GEMEINSAME VERTEILUNG VON ZUFALLSVARIABLEN ρ=.99 ρ=.9 ρ=.6 ρ=.3 ρ= ρ=.3 ρ=.6 ρ=.9 ρ=.99 Abbildung 6.3: Image-Plots der zweidimensionalen Standardnormalverteilung in Abhängigkeit von Die Abbildungen 6.5 und 6.6 veranschaulichen die bedingten Dichtefunktionen (vergleiche Seite ). Die Schnittkurven sind so zu normieren, dass die Fläche unterhalb der Dichtefunktion den Wert erhält. R-Befehle zur bivariaten Normalverteilung Zur bivariaten Normalverteilung gibt es keine internen R-Funktionen. Es gibt jedoch die selbstgeschriebenen Funktionen: dbnorm(=, =, mu=, mu=, sigma=, sigma=, rho=) berechnet die Dichtefunktion an der Stelle Ü Ü¾µ. rbnorm(n=, mu=, mu=, sigma=, sigma=, rho=) erzeugt Ò Paare bivariat normalverteilter Zufallszahlen. Weitere selbstgeschriebene R-Funktionen zur bivariaten Normalverteilung sind: s3bnormpersp.fun(mu=, mu=, sigma=, sigma=, rho=, n=3, a=, b=n, a=, b=n,...) zeichnet einen 3D-Plot der gemeinsamen Dichtefunktion. Dabei ist n die Anzahl der Gitterpunkte in Ü - und Ü ¾ -Richtung, für die die Dichtefunktion berechnet werden soll. Die Berechnung der Dichtefunktion kann auf den Bereich von a bis b und a bis b (in Gitterpunkten gemessen) beschränkt werden, um Schnitte durch die gemeinsame Dichtefunktion zu erhalten (siehe Abbildung 9.7 oder 9.8). Es können optionale Argumente der R-Funktion persp und graphische Parameter als weitere Argumente angegeben werden.

34 6.4. DIE BIVARIATE NORMALVERTEILUNG 3 ρ =.99 ρ =.9 ρ =.6 ρ =.3 ρ = ρ =.3 ρ =.6 ρ =.9 ρ =.99 Abbildung 6.4: Simulierte Punktwolken der zweidimensionalen Standardnormalverteilung in Abhängigkeit von s3bnormcon.fun(mu=, mu=, sigma=, sigma=, rho=, n=3,...) zeichnet die Höhenlinien der bivariaten Normalverteilung. Dabei ist n die Anzahl der Gitterpunkte in beiden Richtungen, für die die gemeinsame Dichtefunktion berechnet wird. Es können optionale Argumente der R-Funktion contour und graphische Parameter als weitere Argumente angegeben werden. s3bnormim.fun(mu=, mu=, sigma=, sigma=, rho=, n=3,...) zeichnet die Höhenlinien der bivariaten Normalverteilung in Farbabstufungen. Dabei ist n die Anzahl der Gitterpunkte in beiden Richtungen, für die die gemeinsame Dichtefunktion berechnet wird. Es können optionale Argumente der R-Funktion image und graphische Parameter als weitere Argumente angegeben werden.

35 ..4.6 f(, ) f(, ) 4 KAPITEL 6. GEMEINSAME VERTEILUNG VON ZUFALLSVARIABLEN - - Abbildung 6.5: Veranschaulichung der bedingten Dichte von, gegeben ¾ Ü ¾ - - Abbildung 6.6: Veranschaulichung der bedingten Dichte von ¾, gegeben Ü

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