Lineare DGL zweiter Ordnung

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1 Universität Duisburg-Essen Essen, Fkultät für Mthemtik S. Buer C. Hubcsek C. Thiel Linere DGL zweiter Ordnung Betrchten wir ds AWP { x + x + bx = 0 mit, b, t 0, x 0, v 0 R. Der Anstz xt 0 = x 0, x t 0 = v 0, xt = c e λt somit x t = λc e λt = λxt x t = λ c e λt = λ xt führt uf λ xt + λxt + bxt = 0 x t 0 = v 0 = λxt 0 = λx 0, lso für x 0 = v 0 = 0 dnn xt = 0 für lle t R oder sonst λ + λ + b = 0, ws sich zu λ + + d = 0 mit d := b umformen lässt. Hierbei ist d eine Diskriminnte, sie teilt die verschiedenen Lösungen uf in die Fälle: Ist d > 0, so liefert die p-q-formel dmit sind sowohl λ = + d bzw. λ = d x 1 t = ξ 1 e + dt ls uch x t = ξ 1 e dt Lösungen der DGL. Und d die DGL liner in xt ist, ist uch deren Summe xt = ξ 1 e + dt +ξ e dt mit ξ 1, ξ R eine Lösung, bzw. die Lösungsmenge wird durch eben diese x mit ξ 1, ξ R bestimmt. Um ds AWP zu lösen, lso um zu den Anfngswerten xt 0 = x 0, x t 0 = v 0 entsprechend c 1, c R zu finden dss es diese überhupt für lle Strtwerte gibt, hben wir noch gr nicht gezeigt, stellen wir fest, dss genuso xt = ξ 1 e + dt t 0 +ξ 1 e dt t 0 mit ξ 1, ξ R 1

2 für lle c 1, c R die DGL löst. Hiermit können wir Anfngswerten für t 0 0 begegnen, ls sei t 0 = 0: Zunächst bestimmen wir noch die Ableitung der Lösungen x t = + d d + ξ 1 e w + dt t 0 ξ e w dt t 0 erhlten trotz der unhndlich erscheinenden Form gnz leicht x 0 = xt 0 = ξ 1 e 0 +ξ e 0 = ξ 1 + ξ v 0 = x t 0 = + d ξ 1 e 0 + d ξ e 0 = + d ξ 1 + d ξ = + d ξ 1 + ξ dξ. Somit ist ξ = + dx 0 v 0 d ξ 1 = x 0 ξ wir hben eine Lösung des AWP. Ist d < 0, so ht λ keine reellen Lösungen. Aber es pssiert etws sehr Bemerkenswertes: Gehen wir über uf den lgebrisch bgeschlossenen Erweiterungskörper C, so können wir wieder die p-q-formel nwenden, zwei komplexe Lösungen für λ finden dmit uch eine Menge von komplexen Lösungen für x. Ds Besondere ist: In dieser Menge befindet sich eine Teilmenge von rein reellen Lösungen wir finden für jedes Pr n reellen Anfngswerten xt 0 x t 0 eine reelle Lösung x! Mit d < 0 ist d > 0 wir erhlten mit der p-q-formel somit nlog zum Fll d > 0 λ = + i d bzw. λ = i d, xt = ξ 1 e +i dt +ξ e i dt mit ξ 1, ξ C. Aufgr von e ix = cosx + i sinx gilt ferner xt = e ξ t 1 cos+ dt + iξ 1 sin+ dt + ξ cos dt + iξ sin dt zusmmengefsst xt = e ξ t 1 + ξ cos dt + iξ 1 ξ sin dt.

3 Bis uf Vielfche führt genu die Whl von ξ 1 = 1c 1 i 1c ξ = 1c 1 + i 1c mit c 1, c R uf die reellen Lösungen xt = e c t 1 cos dt + c sin dt. Um ds AWP zu lösen, lso um zu den Anfngswerten xt 0 = x 0, x t 0 = v 0 entsprechend c 1, c R zu finden dss es diese überhupt für lle Strtwerte gibt, hben wir noch gr nicht gezeigt, stellen wir fest, dss genuso xt = e t t 0 c 1 cos dt t 0 + c sin dt t 0. für lle c 1, c R die DGL löst. Hiermit können wir Anfngswerten für t 0 0 begegnen, ls sei t 0 = 0: Zunächst bestimmen wir noch die Ableitung der Lösungen x t = e t t 0 c 1 cos dt t 0 sin dt t 0 + dc cos dt t 0 c 1 d sin dt t0 = e t t 0 c 1 + dc cos dt t 0 + c c 1 d sin dt t 0 erhlten trotz der unhndlich erscheinenden Form gnz leicht x 0 = xt 0 = e 0 c 1 cos 0 + c sin 0 = c 1 v 0 = x t 0 = e 0 c 1 + dc cos 0 + = c 1 + dc, c c 1 d sin 0 somit c 1 = x 0 c = 1 v0 d + x 0. Ds heißt, wir finden zu jedem Pr von Anfngswerten eine Lösung xt = e t t 0 x 0 cos dt t v 0 + d x 0 sin dt t 0. Ist d = 0, so ist λ = wir erhlten ls Lösungsmenge der DGL xt = ξ e t ξ R. Aber unsere Lösungsmenge muss zu Strtwerten x 0, v 0 R jeweils eine Lösung bieten, unser Lösungsrum ist llerdings eindimensionl; hier fehlt etws! Setzen wir die Vrition der Konstnten n, um dies ufzuspüren: 3

4 Sei lso xt = ξt e t, dnn erhlten wir die Ableitungen x t = ξ t e t ξt e t x t = ξ t e t ξ t e t ξ t e t + = ξ t e t ξ t e t + ξt e t. ξt e t Nun ist xt = ξt e t genu dnn eine Lösung der DGL, wenn sie diese erfüllt. Wir setzen ein: x t + x t + bxt = 0 ξ t e t ξ t e t ξ t e t + + ξ t e t ξt e t + bξt e t = 0 ξt e t ξ t ξ t + ξt + ξ t ξt + bξt = 0 ξ t + + b ξt = 0 }{{} =d ξ t = 0 Gilt lso ξ t = 0 für lle t R, somit gilt, dss ξ ein Polynom höchstens ersten Grdes ist, dnn führt unser für die Vrition der Konstnten gemchter Anstz xt = ξt e t uf eine Lösung der DGL. Wir erhlten somit ξt = c 1 + c t lso xt = c 1 e t +c t e t mit c 1, c R. Prüfen wir bermls, ob wir nch Übergng zu xt = c 1 e t t 0 +c t e t t 0 mit c 1, c R. mit ξ 1 ξ die Anfngswerte erfüllen können. Es ist x 0 = xt 0 = c 1 e 0 +c 0 e 0 = c 1. Leiten wir b x t = c 1 e t +c e t +c t = c 1 + c e t +c t e t w e t

5 setzen ein v 0 = x t 0 = c 1 + c e 0 +c 0 e 0 = c 1 + c, so erhlten wir c 1 = x 0 c = v 0 + x 0 dmit ist eine Lösung des AWP. xt = x 0 e t t0 + v 0 + x 0 t e t t 0 Es existiert somit für jedes Pr von Anfngswerten für lle, b R eine Lösung, in Aufgbe uf Übungsbltt 7 hben wir die Eindeutigkeit gezeigt, wir resümieren in: Stz 3.8 Zusmmenfssender Stz Es seien, b, t 0, x 0, v 0 R. Ds AWP x + x + bx = 0, xt 0 = x 0, x t 0 = v 0 besitzt stets eine eindeutige Lösung x uf gnz R. Je nch Form der Diskriminnte d = b knn diese drgestellt werden durch i xt = c 1 e λ 1t +c e λ t mit λ 1/ = ± d, flls d > 0. ii xt = c 1 e λt +c t e λt mit λ =, flls d = 0. iii xt = c 1 e αt cosβt + c e αt sinβt mit α =, β = b, flls d < 0. 5