Aufgabe 1. Sei A Mat(n n, R) mit Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(A + 3E n ).

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Walter Goldschmidt
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1 Aufgabe Sei A Mat(n n, R) Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(3A E n ). Sei A Mat(n n, R) Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(A 3E n ). Sei A Mat(n n, R) Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Bild(A 3E n ). Sei A Mat(n n, R) Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(A + 3E n ). Aufgabe 2 A Mat(n n, R) ist genau dann diagonalisierbar, wenn A genau n verschiedene Eigenwerte besitzt. A Mat(n n, R) ist diagonalisierbar, falls A genau n verschiedene Eigenwerte besitzt. A Mat(n n, R) ist diagonalisierbar, falls es genau n linear unabhängige Eigenvektoren von A gibt. A Mat(n n, R) ist genau dann diagonalisierbar, wenn es genau n linear unabhängige Eigenvektoren von A gibt.

2 Aufgabe 3 Sei A Mat(n n, R) eine Matrix Eigenvektor v zum Eigenwert 5. Dann ist v auch Eigenvektor von A 2 zum Eigenwert 5. Sei A Mat(n n, R) eine Matrix Eigenvektor v zum Eigenwert 5. Dann ist v Eigenvektor von A 2 zum Eigenwert 25. Sei A Mat(n n, R) eine Matrix Eigenvektor v zum Eigenwert 5. Dann ist 5v Eigenvektor von A 2 zum Eigenwert 5. Sei A Mat(n n, R) eine Matrix Eigenvektor v zum Eigenwert 5. Dann ist 5v Eigenvektor von A 2 zum Eigenwert 25. Aufgabe 4 ( ) ist über Q diagonalisierbar. ( ) ist nicht diagonalisierbar über R. ( ) 0 ist über Q diagonalisierbar. 0 ( ) 0 ist nicht diagonalisierbar über R. 0

3 Aufgabe ist diagonalisierbar über C hat 2 nur reelle Eigenwerte. mindestens einen nicht-reellen Eigenwert. 0 0 ist invertierbar hat 2 3 verschiedene Eigenwerte. maximal zwei verschiedene Eigenwerte.

4 Aufgabe Entscheiden Sie, ob die Matrix A = den Eigenvektor v = 0 besitzt und geben 0 0 Sie den zugehörigen Eigenwert an. Falls v kein Eigenvektor von A ist, tragen Sie 000 in das Kästchen ein. 0 0 Entscheiden Sie, ob die Matrix A = den Eigenvektor v = besitzt und geben 0 Sie den zugehörigen Eigenwert an. Falls v kein Eigenvektor von A ist, tragen Sie 000 in das Kästchen ein. 0 0 Entscheiden Sie, ob die Matrix A = den Eigenvektor v = besitzt und geben Sie 0 den zugehörigen Eigenwert an. Falls v kein Eigenvektor von A ist, tragen Sie 000 in das Kästchen ein Entscheiden Sie, ob die Matrix A = den Eigenvektor v = 0 besitzt und geben 0 Sie den zugehörigen Eigenwert an. Falls v kein Eigenvektor von A ist, tragen Sie 000 in das Kästchen ein.

5 Aufgabe 7 ( ) 2 4 = ( ). Ist auch v + v 2 ein Eigenvektor? ( ) 2 4 = ( ). Ist auch v v 2 ein Eigenvektor? ( ) 2 4 = ( ). Ist auch 2v + v 2 ein Eigenvektor? ( ) 2 4 = ( ). Ist auch v 2 v ein Eigenvektor?

6 Aufgabe 8 von A ist. ( ) 2 ( ). Bestimmen Sie t so, dass v ein Eigenvektor Eigenvektor von A ist. Eigenvektor von A ist. Eigenvektor von A ist. ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ). Bestimmen Sie t so, dass v ein ( ). Bestimmen Sie t so, dass v ein ( ). Bestimmen Sie t so, dass v ein

7 Aufgabe 9 Der Eigenraum zum Eigenwert der Matrix x = Der Eigenraum zum Eigenwert 2 der Matrix x = Der Eigenraum zum Eigenwert der Matrix y = Der Eigenraum zum Eigenwert 2 der Matrix y = ( ) 6 4 ( ) 6 4 ( ) 6 4 ( ) 6 4 ( ) x ( ) x ( ) 9 y ( ) 4 y Aufgabe 0 A Mat(2 2, C) habe 2 verschiedene Eigenwerte λ und µ. Dann ist die maximale Dimension des Eigenraums Eig(A, λ) 0 2 A Mat(2 2, C) habe 2 verschiedene Eigenwerte λ und µ. Dann ist die maximale Dimension des Eigenraums Eig(A, µ) 0 2 A Mat(2 2, C) habe den Eigenwert λ. Dann ist die maximale Dimension des Eigenraums Eig(A, λ) 0 2

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