Anwendungen in geometrischen Konstruktionen (Konstruktionen nur mit Zirkel)

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1 nwendungen in geometrischen Konstruktionen (Konstruktionen nur mit Zirkel) Frage,r, sind gegeben. Kann man I,r () mit Zirkel und Lineal konstruieren? ntwort Man kann I,r () sogar nur mit Zirkel konstruieren. Fall 1: > r I() Zeichne den Kreis um mit Radius R =. Zeichne die Kreise um und um c vom Radius r. ehauptung: Deren Schnittpunkt ist I(). Gleichlange Strecken werden mit gleichen Farben bezeichnet: schwarze haben die Länge R, rote r. Z.z.: 2. Schnittpunkt der Kreise ist I().

2 Z.z.: a R = r 2 Wir rechnen die Höhe h zweimal aus: r 2 ( a 2 2) = h 2 = R 2 ( 2. R 2) a Dann ist a R = r 2, h a

3 Fall 2: < r Hilfskonstruktion Man kann nur mit Zirkel eine Strecke verdoppeln. (Gegeben sind zwei Punkte,. Kann man nur mit Zirkel G, konstruieren, s.d. = 2.) D E Konstruktion Zeichne Kreise um, vom Radius r :=. Deren Schnittpunkt sei D. Zeichne Kreis um D vom Radius r. Deren Schnittpunkt mit dem Kreis um sei E. Zeichne Kreis um E vom Radius r. Deren Schnitpunkt mit dem Kreis um sei. Da alle gezeichneten Strecken die gleiche Länge r = haben, sind die Winkel D = DE = E = π 3, und deswegen liegen,, auf einer Geraden

4 Fall 2: < r Verdoppele die Strecke : Finde 1, s.d. 1 = 2. Verdoppele 1 : Finde 2, s.d. 2 = 2 1 = 2 2, u.s.w. Nach endlich vielen (z.. k) Schritten ist k > r. Konstruiere I( k ). Verdoppele I( k ) k mal. Das Ergebnis ist I(). 1 2 I( ) 2 I( ) 1 I() (Weil k = 2 k, und deswegen I( k ) = 2 k r2, also bekommen wir nach k Verdoppelungen die Länge r2 ),

5 Das Problem von ppolonius ufgabe Gegeben sind 3 verallgemeinerte Kreise (wir erlauben auch r = 0). Konstruiere einen Kreis, der alle Kreise berührt. pollonios von Perge war als Der Grosse Geometer bekannt. Über sein Leben ist wenig bekannt, aber seine rbeiten hatten grossen Einfluss auf die Entwicklung in der Mathematik. Speziell sein berühmtes uch onica führt in für uns heute wohlbekannte Terme wie Parabel, Ellipse und Hyperbel ein.

6 Einfachste Situation: r 1 = r 2 = r 3 = 0 ufgabe Gegeben sind 3 Punkte,, (die nicht auf einer Geraden liegen), man konstruiere einen Kreis durch die Punkte. Lösung 1 Man konstruiere die Geraden, die orthogonal zu und sind und durch die Mittelpunkte der Strecken, gehen. Deren Schnittpunkt ist der Mittelpunkt des Kreises

7 Hilfskonstruktion ufgabe Gegeben sind,,. Spiegele bzgl.. Zeichne den Kreis um vom Radius und um vom Radius. Deren Schnittpunkt ist Spiegelung von weil =.

8 Lösung 2 Man kann den Punkt nur mit Zirkel konstruieren! Man zeichne den Kreis mit Zentrum in und Radius r =. Konstruiere I(). Spiegele bzgl. I() (das Ergebnis sei ). I,r ( ) ist der Mittelpunkt des Kreises, der,, enthält Weil = 2, und deswegen zu ähnlich ist. Dann ist auch gleichschenklig und =. Ebenso sind I() und ähnlich und deswegen =. I()

9 Folgerung Man kann Inversion eines gegebenen Kreises nur mit Zirkel konstruieren. Konstruktion Gegeben sind ein Kreis S, ein Punkt, und r > 0. Nehme 3 Punkte auf dem Kreis. Konstruiere deren ilder nach Inversion (s. vorne). Das ild des Kreises S soll die Punkte enthalten. Konstruiere den Kreis, auf dem die 3 Punkte liegen. Da die drei Punkte den Kreis eindeutig bestimmen, ist der Kreis das ild von S

10 Satz von Mohr-Mascheroni Satz von Mohr-Mascheroni. Jede geometrische Konstruktion, die mit Zirkel und Lineal durchgeführt werden kann, kann NUR mit Zirkel durchgeführt werden emerkung Wir sagen, dass wir eine Gerade mit Zirkel konstruiert haben, falls wir 2 Punkte der Geraden konstruiert haben. Wiederholung. Wir definieren den egriff konstruierbar durch die folgenden Festlegungen: (a) Die Gerade durch zwei verschiedene gegebene Punkte ist konstruierbar. (b) Der Kreis um einen gegebenen Punkt dessen Radius gleich dem bstand zwischen zwei gegebenen Punkten ist, ist konstruierbar.(c) Der Schnittpunkt von zwei sich schneidenden Geraden, (d) die Schnittpunkte eines gegebenen Kreises und einer den Kreis schneidenden gegebenen Geraden, (e) Die Schnittpunkte von zwei sich schneidenden gegebenen Kreisen sind konstruierbar. Wir sagen dann, das bjekt a sei bei Vorgabe der bjekte a 1,...,a k konstruierbar, wenn es bjekte a k+1,...,a n = a gibt, so dass a j bei Vorgabe der bjekte a 1,...,a j 1 konstruierbar ist für j = k + 1,...,n. Z.z.: alle 5 asis-konstruktionen (a,b,c,d,e) kann man nur mit Zirkel durchführen. (a) folgt aus emerkung, (b,e) sind trivial

11 (c): Der Schnittpunkt von zwei sich schneidenden Geraden ufgabe,,,d sind gegeben. Man konstruiere (nur mit Zirkel) den Schnittpunkt der Geraden und D. Lösung Verdoppele und D. Nehme einen Kreis um (weit entfernt liegenden) Punkt. Konstruiere I(),I(),I( 1 ). Konstruiere den Kreis, auf dem I(),I(),I( 1 ) liegen. Konstruiere I(),I(D),I( 1 ). Konstruiere den Kreis, auf dem I(),I(D),I( 1 ) liegen. Sei E dessen Schnittpunkt. Dann ist I(E) der Schnittpunkt der Geraden und D. Weil I I = Id, und I(Schnittpunct der Geraden) auf den beiden Kreisen liegt, ist Schnittpunkt von Kreisen, von verschieden. E D I(E)

12 (d): Der Schnittpunkt eines Kreises und einer Geraden ufgabe, und ein Kreis sind gegeben. Man konstruiere (nur mit Zirkel) den Schnittpunkt der Geraden mit dem Kreis. Lösung Verdoppele. Nehme einen Kreis um (weit entfernt liegenden) Punkt. Konstruiere I(),I(),I( 1 ). Konstruiere den Kreis, auf dem I(),I(),I( 1 ) liegen. Nehme 3 Punkte, D, E auf dem Kreis. Konstruiere I(),I(D),I(E). Konstruiere den Kreis, auf dem I(),I(D),I(E) liegen. Sei F, G Schnittpunkte vom Kreis und Kreis. Dann sind I(E), I(G) die Schnittpunkte von Geraden und Kreis. Weil I I = Id ist, und I(Schnittpunkt der Geraden und des Kreises) auf den beiden Kreisen liegt, ist das Schnittpunkt von Kreisen. I(G) G F I(F)

13 sp. Halbieren einer Strecke nur mit Zirkel Wiederholung: Halbieren einer Strecke mit Zirkel und Lineal D Jetzt dasselbe nur mit Zirkel: gegeben sind nur zwei Punkte. Wir müssen den Mittelpunkt der Strecken konstruieren Zuerst wie mit Lineal: Wir müssen jetzt nur mit Zirkel den Schittpunkt der Strecke und D finden. Zeichne irgendwo einen Kreis. Invertiere Punkte,,,D. Finde den Kreis, der I(),I(D), enthält. Er ist das ild der Geraden D. Finde den Kreis, der I(),I(), enthält. Er ist das ild der Geraden. Deren Schnittpunkt ist das ild des Schnittpunktes der Geraden und D. Und deswegen ist dessen Inversion der Schnittpunkt der Geraden und D, also, der Mittelpunkt der Strecke.

14 ufgabe Gegeben sind ein Kreis S und zwei Punkte und auf S. Finden Sie alle Punkte X, s.d. es zwei Kreise S und S gibt mit den Eigenschaften S berührt S in und S in X S berührt S in. X

15 Lösung Nach Inversion mit Zentrum in wird das ild wie folgt aussehen: Die Menge von allen I(X) wird aus Punkten bestehen, die die Gerade ild I (S) in I() berühren und eine Gerade, die zu ild I (S) parallel ist, berühren. ffensichtlich besteht diese Menge aus den Punkten der Geraden. lso besteht die Menge der Punkte X aus der ufgabe aus ild I (Gerade) und ist der Kreis, der zu S in und orthogonal ist. Inversion I(X) X I()

16 Das Problem von ppolonius ufgabe Gegeben sind 3 verallgemeinerte Kreise (wir erlauben auch r = 0). Konstruiere einen Kreis, der alle Kreise berührt. Nach Inversion (mit Zentrum in einem Punkt, der nicht auf den gegebenen bjekten liegt) werden aus Geraden Kreise. lso genügt es nur die folgende ufgabe zu betrachten: Einen Kreis zu konstruieren, der 1. drei gegebene Punkte enthält (haben wir schon gemacht) 2. zwei gegebene Punkte enthält und einen gegebenen Kreis berührt 3. einen gegebenen Punkt enthält und zwei gegebene Kreise berührt 4. drei gegebene Kreise berührt

17 ufgabe Gegeben sind zwei Punkte, und einen Kreis S. Konstruiere (mit Zirkel/Lineal) den Kreis, der, enthält und S berührt Inversion I() I() M Lösung Konstruiere den Kreis und den Punkt I() nach der Inversion mit Zentrum in. ild des Kreises ist dann eine Gerade, die Kreis berühret. Finde den erührungspunkt. Inversion davon ist der Punkt.

18 ufgabe Gegeben sind einen Punkte und zwei Kreise S 1, S 2. Konstruiere (mit Zirkel/Lineal) den Kreis, der enthält und S 1, S 2 berührt Inversion I() K I() M Lösung Konstruiere das ild von Kreisen S 1, S 2 nach der Inversion mit enter in. ild des Kreises ist dann eine Gerade, die Kreis berühret. Finde den erührungspunkte. Inversion davon ist der Punkt,. emerkung: Die konstruktion ist nicht immer möglich

19 Hilfsufgabe Gegeben sind zwei Kreisen. Man konstruiere den Kreis, der beide Kreise orthogonal schneidet. Inversion M = 1 M 2 Nach Inversion mit enter in wird der schwarzen Kreis auf dem ild eine Gerade. Den Kreis, den wir konstruieren soll, wird dann ein Kreis, der zu dieser Geraden orthogonal ist (also, Mittelpunkt des Kreises auf der schwarzen Geraden liegt), und der zum ild des blauen Kreises (ist ebenfalls blau auf dem ild rechts) orthogonal ist. Es ist einfach, so einen Kreis zu konstruieren, weil Mittelpunkt davon ist Lotpunkt des Mittelpunkt des blauen Kreises die zur Geraden und zum Kreis orthogonal ist. Inversion davon ist der gesuchte Kreis.

20 Hilfsufgabe Gegeben sind zwei Kreisen. Konstruieren den enter der Inversion, die die Kreise in konzentrische Kreise überführt. (Existenz: Hausaufgabe 3 latt 8) Inversion M = 1 M 2 Konstruktion. Man konstruiere den Kreis, der zu beiden Kreisen orthogonal ist (H), und die Geraden durch Mittelpunkte. Sei der Schnittpunkt. Die Inversion mit enter in führt Kreise in konzentrische Kreise über, weil sie zu beiden Geraden orthogonal sind.

21 ufgabe Gegeben sind drei Kreise S 1,S 2,S 3. Konstruiere (mit Zirkel/Lineal) den Kreis, der alle Kreisen S 1,S 2,S 3 berührt Inversion M = 1 M 2 M 2 Lösung Finde eine Inversion, die Kreisen S 1,S 2 in konzentrierte Kreisen überführt (H). Das ild von S 3 ist ein Kreis. Sei M der Mittelpunkt vom ild des gesuchten Kreises. Dessen Radius ist 1 2 (Radius(ild I(S 1 )) + Radius( ild I (S 2 ))). Im Dreieck MM 2 M 3 kennen wir alle Seiten: MM 3 = Radius(ild I (S)) + Radius(ild I (S 3 )); MM 2 = Radius(ild I (S)) + Radius(ild I (S 1 )) M 2, M 3 sind schon konstruiert. Dann können wir das ild von gesuchten Kreises konstruieren. Inversion davon ist der gesuchte Kreis emerkung: Die Konstruktion ist nicht immer möglich; manchmal sind mehrere Lösungen möglich