MATHEMATIK G10. (1) Bestimme die Gleichung der Geraden durch die beiden Punkte

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1 (c) A( 1 1 ) geht. 1 MATHEMATIK G10 GERADEN (1) Bestimme die Gleichung der Geraden durch die beiden Punkte P und Q: a) P ( 5), Q(4 7) b) P (3 11), Q(3, 1) c) P (3 5), Q( 1 7) d) P ( 0), Q(0 3) e) P (3 7), Q(5 7) f) P ( 1 1 ), Q( ) () Geraden, deren Gleichungen die Form x = a haben, sind parallel zur y-achse. Was kann man über Gleichungen der Form y = b sagen? (3) Zeichne die Geraden x = und y = x 3. Bestimme deren Schnittpunkt zeichnerisch und rechnerisch. (4) Bestimme die Schnittpunkte der folgenden Geraden: a) y = x 3 und y = x b) y = 1x 1 6 und y = 1x x c) x d) x = und y = 3 e) y = x 1 und y = x (5) Welche der folgenden Geraden sind parallel, bzw. orthogonal zueinander? a) y = x 1 b) y = 1 3x c) y = 1 x d) y = 1 x + 3 e) y = 3x 1 f) y = x + 3 (6) Bestimme die Gleichung der Geraden, die zu g : y = x 3 parallel ist und durch (a) A( 5) geht; (b) O(0 0) geht;

2 GERADEN (7) Bestimme die Gleichung der Geraden, die zu g : y = x 3 orthogonal ist und durch (a) A( 5) geht; (b) O(0 0) geht; (c) A( 1 1 ) geht. (8) Bestimme die Schnittpunkte der folgenden Geraden mit den Koordinatenachsen, sowie deren Steigung. a) y = 3x 1 b) y = 5 4x c) x 3 + y = 1 5 d) x + 3y = 4. (9) Bestimme die Schnittpunkte der folgenden Geraden. (a) y = x 1 und y = 3x 4. (b) y = 1 5 x 1 und y = 1 7 x +. (c) y = x und x + y 3 = 1 (10) Bestimme die Schnittpunkte der folgenden Geraden und Parabeln. (a) y = x + x + 1 und y = 3x + 1 (b) y = 1 x + 1 und y = 5 x (c) y = x und y = 4x 4 (11) Beschreibe, wie man den kürzesten Abstand eines Punkts P zu einer Geraden g findet. (1) Bestimme den Lotfußpunkt von P auf die Gerade g und den Abstand von P zu g. (a) P (0 0), g : y = x. (b) P (0 4), g : y = x 1 (c) P (3 ), g : y = x + 1. (13) Sind P 1 (x 1 y 1 ) und P (x y ) zwei Punkte, dann ist M( x 1+x y 1+y ) der Mittelpunkt von P 1 P. Zeige: (a) Es ist P 1 M = MP = 1 P 1P. (b) Der Punkt M liegt auf der Geraden durch P 1 und P.

3 MATHEMATIK G10 3 Lösungen (1) Bestimme die Gleichung der Geraden durch die beiden Punkte P und Q. a) P ( 5), Q(4 7). (a) Steigung: m = y y 1 x x 1 = = 1. (b) Einsetzen von P (oder Q) in die Gleichung y = x+b liefert 5 = + b, also b = 3. (c) Geradengleichung : y = x + 3. (d) Punktprobe mit Q: 7 = 4 + 3, also alles richtig. b) P (3 11), Q(3, 1). Hier liefert die Formel für m eine 0 im Nenner. Die Geradengleichung ist x = 3, da beide Punkte x-koordinate 3 besitzen. c) P (3 5), Q( 1 7): y = 1 x d) P ( 0), Q(0 3): y = 3 x + 3. e) P (3 7), Q(5 7): y = 7. f) P ( 1 1), Q( 1 1 ): y = x. 3 3 () Geraden, deren Gleichungen die Form x = a haben, sind parallel zur y-achse. Was kann man über Gleichungen der Form y = b sagen? Diese beschreiben Geraden mit Steigung 0, sind also parallel zur x-achse. (3) Zeichne die Geraden x = und y = x 3. Bestimme deren Schnittpunkt zeichnerisch und rechnerisch. Die Gerade x = verläuft senkrecht und schneidet y = x 3 in S( 1). Rechnerisch erhält man den Schnittpunkt, indem man x = in y = x 3 einsetzt: y = 3 = 1. (4) Bestimme die Schnittpunkte der folgenden Geraden: a) y = x 3, y = x : Gleichsetzen liefert x 3 = x, also x = 1. Einsetzen in eine der beiden Geradengleichungen ergibt y = 1. Schnittpunkt S(1 1). b) S( 60, 11)

4 4 GERADEN c) S( 8 3 1) d) S( 3) e) kein Schnittpunkt: die Geraden sind parallel. (5) Welche der folgenden Geraden sind parallel, bzw. orthogonal zueinander? a) y = x 1 b) y = 1 3x c) y = 1 x d) y = 1 x + 3 e) y = 3x 1 f) y = x + 3 a) und f) sind parallel (gleich Steigung). a) und d), sowie d) und f) sind orthogonal zueinander: beidesmal ist m m = ( 1 ) = 1. (6) Bestimme die Gleichung der Geraden, die zu g : y = x 3 parallel ist und durch (a) A( 5) (b) O(0 0) (c) A( 1 1 ) geht. Parallel zu y = x 3 bedeutet, dass die Gerade Steigung m = hat. Den y-achsenabschnitt bestimmt man durch Einsetzen eines Punktes. (a) A( 5) : 5 = + b liefert b = 1 und y = x + 1. (b) O(0 0) : y = x (c) A( 1 1 ) : y = x 3. (7) Bestimme die Gleichung der Geraden, die zu g : y = x 3 orthogonal ist und durch (a) A( 5) (b) O(0 0) (c) A( 1 1 ) geht

5 (a) A( 5): y = 1 x + 6 (b) O(0 0): y = 1 x (c) A( 1 1 ) : y = 1 x 1 4. MATHEMATIK G10 5 (8) Bestimme die Schnittpunkte der folgenden Geraden mit den Koordinatenachsen, sowie deren Steigung. a) y = 3x 1 b) y = 5 4x c) x 3 + y = 1 5 d) x + 3y = 4. (a) Schnittpunkt mit der y-achse: x = 0 setzen; A(0 1). Schnittpunkt mit der x-achse: y = 0 setzen; B( 1 3 0). (b) A(0 5), B( 4 5 0) (c) A(3 0), B(0 5). (d) A( 0), B(0 4 3 ). (9) Bestimme die Schnittpunkte der folgenden Geraden. (a) y = x 1 und y = 3x 4: S(3 5) (b) y = 1x 1 und y = 1 x + : S(5, 5 9, 5) 5 7 (c) y = x und x + y 3 = 1: S( ). (10) Bestimme die Schnittpunkte der folgenden Geraden und Parabeln: (a) y = x + x + 1 und y = 3x + 1: S 1 (0 1), S (1 4). (b) y = 1 x + 1 und y = 5 x: S 1 ( 4 9), S ( 3). (c) y = x und y = 4x 4: S( 4) (11) Beschreibe, wie man den kürzesten Abstand eines Punkts P zu einer Geraden g findet. 1. Stelle die Lotgerade zu g durch P auf; die Steigung der Lotgeraden ist m = 1 m.. Schneide g und die Lotgerade; der Schnittpunkt ist der Lotfußpunkt L 3. Der Abstand von Punkt P und Gerade g ist gleich dem Abstand der beiden Punkte P und L: d = P L.

6 6 GERADEN (1) Bestimme den Lotfußpunkt von P auf die Gerade g und den Abstand von P zu g. (a) P (0 0), g : y = x. (b) P (0 4), g : y = x 1 (c) P (3 ), g : y = x + 1. a) Lotgerade y = 4 36 x; Lotfußpunkt L( d = P L = = (3 + 4 ) = ); Abstand 5 = 1 5. b) Lotgerade y = 1 x + 4, Lotfußpunkt L( 3), Abstand d = ( 0) + (3 4) = + 1 = 5. c) Lotgerade y = 1x + 7, Lotfußpunkt L(1 3), Abstand d = (3 1) + ( 1) = 5. (13) Sind P 1 (x 1 y 1 ) und P (x y ) zwei Punkte, dann ist M( x 1+x y 1+y ) der Mittelpunkt von P 1 P. Zeige: (a) Es ist P 1 M = MP = 1 P 1P. (b) Der Punkt M liegt auf der Geraden durch P 1 und P. Der Abstand von P 1 und P ist P 1 P = (x x 1 ) + (y y 1 ). Wir sollen zeigen, dass der Abstand von P 1 und M halb so groß ist. Um den Abstand von P 1 zum Mittelpunkt M auszurechnen, bestimmen wir zuerst den Vektor P 1 M. Dessen x-koordinate ist x 1 + x x 1 = x 1 + x x 1 = x x 1, und die y-koordinate ergibt sich entsprechend zu y y 1. Die Länge dieses Vektors ist P ( x x 1 ) (y y 1 ) (x x 1 ) 1 M = + (y y 1 ) + = 4 = 1 (x x 1 ) + (y y 1 ) = 1 P 1P.

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