1. Lineare Funktionen und lineare Gleichungen

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1 Liebe Schülerin! Lieber Schüler! In den folgenden Unterrichtseinheiten wirst du die Unterrichtssoftware GeoGebra kennen lernen. Mit ihrer Hilfe kannst du verschiedenste mathematische Objekte zeichnen und Aufgaben lösen. Lies dazu die folgenden Anweisungen und Aufgabenstellungen genau durch und bearbeite sie mit Hilfe von GeoGebra. Sollte einmal etwas schief gehen, klicke einfach auf die Buttons ( Rückgängig und Wiederherstellen ) in der rechten oberen Ecke des GeoGebra-Fensters! Viel Spaß! 1. Lineare Funktionen und lineare Gleichungen Eine lineare Funktion ist eine Funktion der Form f: # : f(x) = k x + d. Ü 1) Finde heraus, welche Form der Funktionsgraph einer linearen Funktion besitzt! Gegeben ist die lineare Funktion f(x) = 0.5 x + 2. Zeichne den Graphen der Funktion mit Hilfe der Wertetabelle. Wie viele Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-achse) besitzt die Funktion? x f(x) Mag. Judith Preiner 1

2 Eine Gleichung der Form a x + b = 0, wobei a und b reelle Zahlen sind und a 0 ist, nennt man lineare Gleichung. Man verwendet sie zum Beispiel, um die Nullstellen einer linearen Funktion zu berechnen. Ü 2) Berechne die Nullstelle der linearen Funktion f(x) = 0.5 x + 2, indem du in der entsprechenden Gleichung f(x) = 0 setzt! Vergleiche dein Ergebnis mit dem Funktionsgraphen aus Übung 1! 2. Quadratische Funktionen und quadratische Gleichungen Eine quadratische Funktion ist eine Funktion der Form f: # : f(x) = a x² + b x + c. Sie wird auch Polynomfunktion zweiten Grades genannt. Eine Gleichung der Form a x² + b x + c = 0, bei der a, b und c reelle Zahlen sind und a 0 ist, nennt man quadratische Gleichung oder Gleichung zweiten Grades. Man verwendet sie zum Beispiel, um die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu berechnen. Ü 3) Berechne die Nullstelle(n) der quadratischen Funktion f(x) = 0.5 x² x + 3.4, indem du in der entsprechenden Gleichung f(x) = 0 setzt! Wie viele Lösungen erhältst du? Mag. Judith Preiner 2

3 3. GeoGebra 1. Starte GeoGebra Öffne den Internet-Browser und gib folgende Internet-Adresse ein: Klicke in der linken Menüleiste auf WebStart und anschließend auf den Button um GeoGebra zu starten. 2. Die Oberfläche von GeoGebra Menüleiste Buttons Zeichenfenster Button Rückgängig Algebrafenster Eingabezeile 3. Punkte zeichnen mit GeoGebra Punkte mit der Maus zeichnen und ihre Lage verändern Klicke auf den Button (Modus: Neuer Punkt) und anschließend auf das Koordinatensystem. Beschreibe, was du im Zeichenfenster und im Algebrafenster siehst! Klicke auf den Button (Modus: Bewegen) und ziehe den Punkt A im Zeichenfenster mit gedrückter Maustaste. Wenn du den Punkt genau erwischt hast, bekommt er einen Schatten! Beschreibe, was sich dabei im Algebrafenster verändert! Mag. Judith Preiner 3

4 Ziehe den Punkt A auf die Koordinaten A = (5, 6). Worin könnten hierbei Schwierigkeiten liegen? Wähle im Menü Ansicht Koordinatengitter um Gitternetzlinien einzublenden. Ziehe nun den Punkt A auf die Koordinaten A = (-4, 7). Bemerkst du dabei einen Unterschied? Wenn ja, welchen? Punkte mit der Tastatur eingeben und ihre Lage verändern Klicke in die Eingabezeile und gib B = (9, 1) ein. Drücke anschließend die Enter-Taste! Klicke auf den Button (Modus: Bewegen) und anschließend im Algebrafenster auf den Punkt B. Der Punkt ist nun grau markiert. Betätige nun die Pfeiltasten bzw. deiner Tastatur und beobachte, was im Zeichenfenster und im Algebrafenster geschieht. Notiere deine Beobachtungen! Wiederhole den letzten Schritt mit den Pfeiltasten bzw. und notiere wieder deine Beobachtungen! Doppelklicke auf den Punkt A im Algebrafenster. Gib die neuen Koordinaten A = (-2, 5) des Punktes A nun direkt mit der Tastatur ein. Bestätige anschließend mit der Enter-Taste. Ändere die Koordinaten des Punktes B auf B =(5, 2). Mag. Judith Preiner 4

5 4. Geraden mit der Maus zeichnen Klicke auf den Button (Modus: Gerade durch zwei Punkte). Klicke im Zeichenfenster zuerst auf den Punkt A und anschließend auf den Punkt B. Beschreibe, was sich im Zeichenfenster verändert hat! Wie wird die Gerade im Algebrafenster dargestellt? Klicke im Algebrafenster mit der rechten Maustaste auf die Gleichung der Geraden. Wähle im erscheinenden Menü Gleichung y = k x + d. Was hat sich im Algebrafenster verändert? 5. Objekte löschen Klicke mit der rechten Maustaste auf eines der Objekte im Algebraoder Zeichenfenster (Punkte oder Gerade). Wähle im erscheinenden Menü Löschen. Lösche auch alle anderen Objekte. 6. Geraden mit der Tastatur eingeben Gib folgende Anweisungen in die Eingabezeile ein und bestätige jede mit der Enter-Taste: k = 3 d = 5 g: y = k x + d (Tipp: Leerzeichen oder * zwischen k und x!) Finde heraus, wofür der Parameter d in der Funktionsgleichung steht. Verändere dazu den Wert des Parameters mit Hilfe der Pfeiltasten (Tipp: Modus: Bewegen) und notiere deine Beobachtungen! Mag. Judith Preiner 5

6 7. Schieberegler Lass GeoGebra den Parameter k im Zeichenfenster anzeigen. Klicke dazu mit der rechten Maustaste auf den Parameter k und wähle im erscheinenden Menü Objekt anzeigen. Die Zahl k wird durch einen Schieberegler angezeigt und lässt sich nun auch mit der Maus verändern (Modus: Bewegen). Finde heraus, wofür der Parameter k in der Funktionsgleichung steht, indem du seinen Wert durch Ziehen des Schiebereglers (Modus: Bewegen) veränderst. Notiere deine Beobachtungen! Lösche die Gerade und die beiden Parameter! Ü 4) Schnittpunkt zweier Geraden Löse die folgende Aufgabe mit GeoGebra: Zeichne eine Gerade durch die beiden Punkte A = (-4.5, 5.2 ) und B = (5.6, 1.3) und lass sie dir in der Form y = k x + d anzeigen. Gib die Funktionsgleichung b: y = 0.8 x ein. Lies die Koordinaten des Schnittpunktes der beiden Geraden a und b ab und notiere sie: Schnittpunkt: 8. Schnittpunkte einzeichnen mit GeoGebra Überprüfe nun die Koordinaten des Schnittpunktes mit GeoGebra: Klicke dazu auf das kleine Dreieck im Button (Modus: Neuer Punkt) und wähle im erscheinenden Menü den Button (Modus: Schneide zwei Objekte). Klicke im Zeichenfenster nacheinander auf die beiden Geraden der Schnittpunkt wird angezeigt. Mag. Judith Preiner 6

7 Lies nun im Algebrafenster die Koordinaten des Schnittpunkts ab und notiere sie: Schnittpunkt: Vergleiche diese Koordinaten mit jenen, die du bei Übung 4 notiert hast! 9. Speichern von Dateien Speichere die Datei, indem du im Menü Datei auf Speichern klickst. Wähle ein Verzeichnis (Ordner) und gib einen Namen ein. Klicke auf den Button Speichern. 10. Drucken der Zeichnung Verkleinere das GeoGebra-Zeichenfenster, indem du die rechte untere Ecke des GeoGebra-Fensters mit der Maus ziehst. Wichtige Details deiner Zeichnung sollten noch gut sichtbar sein. Wähle im Menü Datei Druckvorschau Zeichenblatt... Gib im erscheinenden Fenster einen Titel, deinen Namen und das heutige Datum ein. Klicke auf den Button und im erscheinenden Menü auf OK! 11. Eine neue GeoGebra-Konstruktion erstellen Klicke im Menü Datei auf Neu. Ein leeres Zeichenblatt erscheint. Mag. Judith Preiner 7

8 Ü 5) Schnittpunkt einer Geraden mit der x-achse a) Löse die folgende Aufgabe mit GeoGebra: Gib die Parameter k = -1.5 und d = 3.7 ein und definiere anschließend eine lineare Funktion y = k x + d. Ermittle die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden mit der x-achse! Schnittpunkt: b) Löse die folgende Aufgabe mit GeoGebra: Lass dir die Parameter k und d als Schieberegler anzeigen. Finde Werte für die Parameter k und d, sodass der Schnittpunkt der Geraden mit der x-achse die Koordinaten S x = (-2, 0) und der Schnittpunkt der Geraden mit der y-achse die Koordinaten S y = (0, 4) besitzt! (Tipp: Zeichne die Schnittpunkte ein!) k = d = Geradengleichung: Speichere die Datei und drucke die Zeichnung aus! Ü 6) Quadratische Gleichungen und Funktionen I Starte mit einem leeren Zeichenblatt (Menü: Datei Neu ). Gib die Funktionsgleichung y = x² ( y = x^2 ) in die Eingabezeile von GeoGebra ein. Welche Form besitzt der Graph dieser quadratischen Funktion? Wie viele Schnittpunkte mit der x-achse besitzt der Graph der Funktion? Gib die Koordinaten an! Klicke auf den Button (Modus: Bewegen) und anschließend im Algebrafenster auf die Funktionsgleichung. Mag. Judith Preiner 8

9 Betätige nun die Pfeiltasten bzw. deiner Tastatur und beobachte, was im Zeichenfenster und im Algebrafenster geschieht. Notiere deine Beobachtungen! Wiederhole den letzten Schritt mit den Pfeiltasten bzw. und notiere wieder deine Beobachtungen! Verändere die Funktionsgleichung mit Hilfe der Pfeiltasten (Modus: Bewegen) so, dass der Funktionsgraph die x-achse in den beiden Punkten S 1 = (2, 0) und S 2 = (6, 0) schneidet! (Tipp: Zeichne die Schnittpunkte ein!) Gib die Funktionsgleichung an! Speichere die Datei und drucke die Zeichnung aus! Ü 7) Quadratische Gleichungen und Funktionen II Starte mit einem leeren Zeichenblatt (Menü: Datei Neu ). Gib die folgenden Parameterwerte mit Hilfe der Eingabezeile ein: a = 1 b = 1 c = 1 Gib die allgemeine Form einer quadratischen Funktion y = a x² + b x + c ( y = a x^2 + b x + c ) in die Eingabezeile ein. Wie viele Schnittpunkte mit der x-achse besitzt der Funktionsgraph? Lass GeoGebra die Parameter a, b und c als Schieberegler anzeigen! Mag. Judith Preiner 9

10 Verändere den Wert des Parameters c mit Hilfe des Schiebereglers (Modus: Bewegen) und beobachte, was geschieht. Formuliere deine Beobachtungen! Was bewirkt eine Veränderung des Parameterwertes b? Verändere nun auch den Wert des Parameters a. Wie wird der Funktionsgraph dadurch beeinflusst? Liebe Schülerin! Lieber Schüler! Du hast nun die ersten Erfahrungen mit GeoGebra gesammelt und die Aufgabenstellungen erfolgreich gelöst. Falls du noch Zeit und Lust hast, kannst du auch noch die folgenden Zusatzaufgaben bearbeiten. Wenn du möchtest, kannst du GeoGebra natürlich auch zu Hause verwenden! Erkundige dich am besten bei deiner Lehrerin oder deinem Lehrer oder besuche die Homepage von GeoGebra Danke für deine Mitarbeit! Mag. Judith Preiner 10

11 4. Zusatzaufgaben ZÜ 1) Strecken zeichnen mit GeoGebra Starte mit einem neuen Zeichenblatt (Menü: Datei Neu ) und finde heraus, wie man mit GeoGebra eine Strecke zeichnen kann. Zeichne die Punkte A = (-2, -2), B = (8, -2) und C = (8, 6). Wähle den Punkt D so, dass ein Quadrat entsteht, wenn du die vier Punkte durch Strecken verbindest. Gib die Punkte E = (5.5, 2), G = (11.5, 5) und H = (5.5, 5) ein. Wähle den Punkt F so, dass ein Rechteck entsteht, wenn du die vier Punkte durch Strecken verbindest. Bestimme die Schnittpunkte des Rechtecks mit dem Quadrat und gib die Koordinaten an: Schnittpunkt 1: Schnittpunkt 2: Speichere die Datei und drucke die Zeichnung aus! ZÜ 2) Schnittpunkte einer quadratischen mit einer linearen Funktion Starte mit einem leeren Zeichenblatt (Menü: Datei Neu ). Zeichne eine Gerade durch die Punkte A = (2.5, 2) und B = (9.7, 4.7). Gib die quadratische Funktion y = 0.3 x² 2 x + 4 ( y = 0.3 x^2 2 x + 4 ) ein. Bestimme die Schnittpunkte der beiden Funktionen und gib die Koordinaten an! Schnittpunkt 1: Schnittpunkt 2: Speichere die Datei und drucke die Zeichnung aus! ZÜ 3) Schnittpunkte eines Kreises mit einer Geraden! Starte mit einem leeren Zeichenblatt (Menü: Datei Neu ) und finde heraus, wie man mit GeoGebra einen Kreis mit gegebenen Mittelpunkt M = (3.7, 2.3) und Radius r = 4.2 zeichnen kann. Zeichne eine Gerade durch die Punkte A = (-3, 2) und B = (6.6, 8.4). Bestimme die Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden und gib die Koordinaten an: Schnittpunkt 1: Schnittpunkt 2: Speichere die Datei und drucke die Zeichnung aus! Mag. Judith Preiner 11

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