2. Schulaufgabe aus der Mathematik Lösungshinweise
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- Lars Hofmeister
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1 2. Schulaufgabe aus der Mathematik Lösungshinweise Gruppe A (a) Allgemein ist eine Geradengleichung in der Form g(x) = m x+b gegeben, wobei m die Steigung der Geraden und b der y-achsenabschnitt, also gerade der Funktionswert für x = 0 ist. Aus der Angabe kann man also direkt m = 2 und b = 1, 5 entnehmen, und die Funktionsgleichung ist: Aufgabe 1 g(x) = 2 x + 1, 5 Die Gerade lässt sich ganz schnell zeichnen, wenn man zuerst den Punkt (0 1, 5) markiert und dann ein Steigungsdreieck einzeichnet: Wenn man 1 LE nach rechts geht, geht man 2 LE nach unten (man landet dann also beim Punkt (1 0, 5)). (4 Punkte) (b) Man muss nach Angabe bestimmen, welche wann g(x) = 0 ist, also: 2x + 1, 5 = 0, entsprechend muss dann 2x = 1, 5 sein, also x = 0, 75. (c) Die Parallele zu g durch den Punkt (3 2) zeichnet man am besten, wenn man den Punkt markiert und dann wieder wie in Aufgabe a) ein Steigungsdreieck benutzt (die parallele Gerade muss ja die gleiche Steigung wie g haben). (1 Punkt)
2 (a) Da sich der Tarif aus einer Grundgebühr und einem Minutenpreis zusammensetzt, gilt für die Kostenfunktion zunächst: Aufgabe 2 k(x) = }{{} m x + }{{} G Grundgebühr. Minutenpreis Es handelt sich natürlich um eine lineare Funktion, der Minutenpreis entspricht der Steigung und die Grundgebühr dem y-achsenabschnitt. Die Steigung m lässt sich mit Hilfe zweier Wertepaare -z.b. (30 12,5e) und (40 15 e) - aus der Tabelle ermitteln, es ist:. m = k(x 1) k(x 2 x 1 x 2 = 15e 12, 5e = 2, 5e 10 = 0, 25 e Um jetzt noch G zu bestimmen, setzt man ein Wertepaar - z.b. (60 20e) in die Funktionsgleichung ein: Entsprechend bekommt man 20e = 0, 25 e 60 + G 20e = 15 e + G und somit G = 5 e. Die Kostenfunktion ist also k(x) = 0, 25 e x + 5 e, die Grundgebühr beträgt 5 e und der Minutenpreis 25 ct. (6 Punkte) (b) Auch die Kostenfunktion für Tarif B ist natürlich linear. Da der Minutenpreis der Steigung entspricht, kann man für die Funktion hier gleich den Term: k B (x) = 0, 15 e x + G B angeben, dabei ist G B gerade die gesuchte Grundgebühr. Setzt man nun das Wertepaar (10 11,5 e) in die Gleichung ein, erhält man 11, 5 e = 0, 15 e 10 + G B und entsprechend 11, 5 e = 1, 5e + G B, also ist G B = 10 e. Natürlich kann man auch viel einfacher argumentieren, dass die Grundgebühr 11, 5 e 10 0, 15 e = 10 e ist. (3 Punkte)
3 (c) Sind die Kosten für Tarif A und Tarif B gleich, dann gilt k(x) = k B (x). Mit den vorher ermittelten Funktionstermen also und somit demnach ist 0, 25 e e x + 5 e = 0, 15 x + 10 e, 0, 10 e x = 5 e, x = 5 e 0, 10 e = 50. Für 50 Minuten sind also die Gesprächskosten gleich. (3 Punkte) (a) Die beiden Gleichungen beschreiben Geraden, deren Steigungen (bei erster Gleichung: 3, bei zweiter Gleichung: 4) unterschiedlich groÿ sind. Die beiden Geraden haben somit einen Schnittpunkt und das bedeutet, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung hat. Aufgabe 3 (b) Wenn man die zweite Gleichung durch 2 dividiert, erhält man genau die erste Gleichung. Daher hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. (a) Wenn man die erste Zahl mit x und die zweite Zahl mit y bezeichnet, bekommt man aus den Angaben sofort zwei Gleichungen, nämlich: Aufgabe 4 4 x + 2 y = 30 3 x 2 y = 12. Am schnellsten lässt sich das System lösen, wenn man die beiden Gleichungen addiert, dann ergibt sich: 7x = 42, also x = 6. Setzt man das in die erste Gleichung ein, erhält man und demnach 2y = 6, also y = y = 30
4 Die erste Zahl ist 6 und die zweite Zahl ist 3. Das Gleichungssystem darf man natürlich auch mit dem Einsetzverfahren lösen. (b) Es bezeichne x das Geld von Peter und y das Geld von Seppi. (6 Punkte) Wenn Peter 20% des Geldes von Seppi, also 20% y = 0, 2y bekommt, dann hat er x + 0, 2y. Das sollen 11 e mehr sein als Seppis Geld, also y Das ergibt die erste Gleichung: x + 0, 2y = y + 11 (I) Ganz genauso kann man die Aussage von Seppi verwerten zur zweiten Gleichung y + 0, 2x = x + 2 (II) Die Gleichungen kann man noch ein bisschen einfacher schreiben: x 0, 8y = 11 y 0, 8x = 2 (I') (II') Zum Lösen des Gleichungssystems kann man hier zum Beispiel das Einsetzverfahren verwenden. Dazu löst man zuerst (I') nach x auf: x = , 8y (I) und setzt diesen Ausdruck für x dann in Gleichung (II') ein: y 0, 8 (11 + 0, 8y) = 2 und muss dann nur noch nach y auösen: y 8, 8 + 0, 64y = 2 0, 36y 8, 8 = 2 0, 36y = 10, 8 y = 10, 8 : 0, 36 = 30 Nun muss man noch y = 30 in (II') einsetzen und erhält: x = , 8 30 = = 35. Peter hat 35 e in seinem Geldbeutel und Seppi hat 30e. (7 Punkte)
5 Gruppe B (a) Allgemein ist eine Geradengleichung in der Form g(x) = m x+b gegeben, wobei m die Steigung der Geraden und b der y-achsenabschnitt, also gerade der Funktionswert für x = 0 ist. Aus der Angabe kann man also direkt m = 3 und b = 1, 8 entnehmen, und die Funktionsgleichung ist: Aufgabe 1 g(x) = 3 x + 1, 8 Die Gerade lässt sich ganz schnell zeichnen, wenn man zuerst den Punkt (0 1, 8) markiert und dann ein Steigungsdreieck einzeichnet: Wenn man 1 LE nach rechts geht, geht man 3 LE nach unten (man landet dann also beim Punkt (1 1, 2)). (4 Punkte) (b) Man muss nach Angabe bestimmen, welche wann g(x) = 0 ist, also: 3x + 1, 8 = 0, entsprechend muss dann 3x = 1, 8 sein, also x = 0, 6. (c) Die Parallele zu g durch den Punkt (3 2) zeichnet man am besten, wenn man den Punkt markiert und dann wieder wie in Aufgabe a) ein Steigungsdreieck benutzt (die parallele Gerade muss ja die gleiche Steigung wie g haben). (1 Punkt)
6 (a) Da sich der Tarif aus einer Grundgebühr und einem Minutenpreis zusammensetzt, gilt für die Kostenfunktion zunächst: Aufgabe 2 k(x) = }{{} m x + }{{} G Grundgebühr. Minutenpreis Es handelt sich natürlich um eine lineare Funktion, der Minutenpreis entspricht der Steigung und die Grundgebühr dem y-achsenabschnitt. Die Steigung m lässt sich mit Hilfe zweier Wertepaare -z.b. (30 13e) und (40 16 e) - aus der Tabelle ermitteln, es ist:. m = k(x 1) k(x 2 x 1 x 2 = 16e 13e = 3e 10 = 0, 3 e Um jetzt noch G zu bestimmen, setzt man ein Wertepaar - z.b. (60 22e) in die Funktionsgleichung ein: Entsprechend bekommt man 22e = 0, 3 e 60 + G 22e = 18 e + G und somit G = 4 e. Die Kostenfunktion ist also k(x) = 0, 3 e x + 4 e, die Grundgebühr beträgt 4 e und der Minutenpreis 30 ct. (6 Punkte) (b) Auch die Kostenfunktion für Tarif B ist natürlich linear. Da der Minutenpreis der Steigung entspricht, kann man für die Funktion hier gleich den Term: k B (x) = 0, 20 e x + G B angeben, dabei ist G B gerade die gesuchte Grundgebühr. Setzt man nun das Wertepaar (15 12 e) in die Gleichung ein, erhält man 12 e = 0, 20 e 15 + G B und entsprechend 12 e = 3e + G B, also ist G B = 9 e. Natürlich kann man auch viel einfacher argumentieren, dass die Grundgebühr 12 e 15 0, 20 e = 9 e ist. (3 Punkte)
7 (c) Sind die Kosten für Tarif A und Tarif B gleich, dann gilt k(x) = k B (x). Mit den vorher ermittelten Funktionstermen also und somit demnach ist 0, 3 e x + 4 e = 0, 2 e x + 9 e, 0, 10 e x = 5 e, x = 5 e 0, 10 e = 50. Für 50 Minuten sind also die Gesprächskosten gleich. (3 Punkte) (a) Die beiden Gleichungen beschreiben Geraden, deren Steigungen (bei erster Gleichung: 7, bei zweiter Gleichung: 5) unterschiedlich groÿ sind. Die beiden Geraden haben somit einen Schnittpunkt und das bedeutet, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung hat. Aufgabe 3 (b) Wenn man die zweite Gleichung durch 2 dividiert, erhält man genau die erste Gleichung. Daher hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. (a) Wenn man die erste Zahl mit x und die zweite Zahl mit y bezeichnet, bekommt man aus den Angaben sofort zwei Gleichungen, nämlich: Aufgabe 4 4 x + 3 y = 60 5 x 3 y = 21. Am schnellsten lässt sich das System lösen, wenn man die beiden Gleichungen addiert, dann ergibt sich: 9x = 81, also x = 9. Setzt man das in die erste Gleichung ein, erhält man und demnach 3y = 24, also y = y = 60
8 Die erste Zahl ist 9 und die zweite Zahl ist 8. Das Gleichungssystem darf man natürlich auch mit dem Einsetzverfahren lösen. (b) Es bezeichne x das Geld von Peter und y das Geld von Seppi. (6 Punkte) Wenn Peter 40% des Geldes von Seppi, also 40% y = 0, 4y bekommt, dann hat er x + 0, 4y. Das sollen 13 e mehr sein als Seppis Geld, also y Das ergibt die erste Gleichung: x + 0, 4y = y + 13 (I) Ganz genauso kann man die Aussage von Seppi verwerten zur zweiten Gleichung y + 0, 4x = x + 21 (II) Die Gleichungen kann man noch ein bisschen einfacher schreiben: x 0, 6y = 13 y 0, 6x = 21 (I') (II') Zum Lösen des Gleichungssystems kann man hier zum Beispiel das Einsetzverfahren verwenden. Dazu löst man zuerst (I') nach x auf: x = , 6y (I) und setzt diesen Ausdruck für x dann in Gleichung (II') ein: y 0, 6 (13 + 0, 6y) = 21 und muss dann nur noch nach y auösen: y 7, 8 + 0, 36y = 21 0, 64y 7, 8 = 21 0, 64y = 28, 8 y = 28, 6 : 0, 64 = 45 Nun muss man noch y = 45 in (II') einsetzen und erhält: x = , 6 45 = = 40. Peter hat 40 e in seinem Geldbeutel und Seppi hat 45e. (7 Punkte)
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