FH- Kurs Mathematik Übungsaufgaben für 2. Klausur

Transkript

1 Aufgabe 1: Gegeben ist die Funktion f mit 1 f x = x x x + x R ( ) = ( );. a) Untersuchen sie das Schaubild K von f auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Hoch- und Tiefpunkte. Zeichnen sie K in ein Achsenkreuz für 3 x 5. Schaubild: = f ( x) x x x Bemerkung: Lösung siehe unter, 2. Hausarbeit

2 Aufgabe 1b: Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von K und der Tangente an K im Hochpunkt eingeschlossen wird. Schaubild: f ( x ) = = f ( x) x x x Fläche A

3 Aufgabe 2: Gegeben sind die Funktionen ƒ und g durch ƒ( x) = x + x ; x R. 4 2 und g( x) = x + x 3 x ; x R. 12 K ist das Schaubild von ƒ, G ist das Schaubild von g. a) Untersuchen Sie die K und G auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Skizzieren Sie K und G in ein Koordinatensystem. b) K und G schließen zwei Flächenstücke ein. Berechnen Sie den Gesamtinhalt.

4 Schaubild der Gesamtflächen: A 1 = 18FE A 2 45 = FE 16 1 = g( x) = x + x 3x 1 3 = f ( x) = x + x

5 3. Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = ; 3 x x x R a) Untersuchen Sie das Schaubild K von f auf Schnittpunkte mit der x - Achse, Hoch- und Tiefpunkte. Zeichnen Sie K in ein Achsenkreuz für 3 x 3.

6 b) Bestimmen Sie die Maßzahl der Fläche, die von K und der Tangente an K in 3 3 P / f 2 2 eingeschlossen wird.

7 4. Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f durch 1 = f(x) = x x + 1, x R. K ist das Schaubild von f. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von K, der x-achse und den Geraden mit den Gleichungen x = 1 und x = 2 eingeschlossen wird. 1 f x x x ( ) = + 1 A =? (FE)

8 5. Aufgabe: a) Eine Parabel 3. Ordnung berührt die x Achse in B( 2 / 0) und verläuft durch die Punkte C(0 / 2) und N(1/ 0). Bestimmen Sie die Parabelgleichung.

9 b) Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die vom Schaubild K von f und der x Achse begrenzt wird.

10 Aufgabe 6 : a) Untersuchen Sie K auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen,auf 3 2 Kf ist das Schaubild der Funktion f mit f(x) = x + x ; x R. f Extrem und Wendepunkte. Zeichnen Sie den Graf K. f

11 b) Eine Gerade verläuft durch die Punkte B( 1/ 2) und C(0,5 / 0,25). Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden. c) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von der Geraden g mit y = 1,5x + 0,5 und K im 4 Feld eingeschlossen wird. f

12 Aufgabe 7: Gegeben ist die Funktion f mit 2 = f(x) = x + 2x 4x a) Untersuchen Sie das Schaubild K von f auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und skizzieren Sie K in ein Achsenkreuz. b) K und die x-achse schließen im 4. Quadranten eine Fläche mit dem Inhalt A ein. Berechnen Sie A.

13 Aufgabe 8: 1 5 = + R Gegeben ist die Funktion f mit f(x) x x 1 ; x a) Untersuchen Sie das Schaubild K von f auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und skizzieren Sie K in ein Achsenkreuz. b) K und die x-achse begrenzen drei Flächenstücke. Bestimmen Sie den Inhalt der Gesamtfläche

14 Aufgabe 9: Gegeben ist die Funktion f mit 1 3 f ( x) = x ³ x² + 5; x R. 8 4 a) Untersuchen Sie das Schaubild K von f auf Hoch- und Tiefpunkte. b) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von K, den Koordinatenachsen und der Parallelen zur y-achse durch den Tiefpunkt eingeschlossen wird.

15 Aufgabe 10: Gegeben ist die Funktion f mit 1 3 f ( x) = x³ + x² 4; x R. 4 2 a) Zeigen Sie: K schneidet die x-achse an der Stelle x=-2. Untersuchen Sie das Schaubild K auf weitere Schnittpunkte mit der x-achse, auf Hoch-, Tief-, und Wendepunkte. b) Die Gerade g mit y = x + 2 und das Schaubild K begrenzen zwei Flächenpunkte. Berechnen Sie den Gesamtinhalt der beiden Flächenstücke.

16 Aufgabe 11: Gegeben ist die Funktion f mit ( ) 3 f x = x 4x + 3; x R a) Untersuchen Sie das Schaubild Kvon f auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und skizzieren Sie Kin ein Achsenkreuz. b) K und die Koordinatenachsen schließen im 1. Feld eine Fläche ein. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche. 5 A= FE 4

17 12. Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f mit 1 3 = + R f(x) x x 2x ;x a) Untersuchen Sie das Schaubild K von f auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und skizzieren Sie K in ein Achsenkreuz. b) K schließt mit der x Achse zwei Flächenstücke ein. Zeigen Sie: Die Flächenstücke haben den gleichen Inhalt.

18 Aufgabe 13: Gegeben ist die Funktion f mit 1 4 = R f ( x) x x ; x a) Untersuchen Sie das Schaubild K von f auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und skizzieren Sie K in ein Achsenkreuz. b) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die von K und der x-achse im 3. Feld eingeschlossen wird.

19 Aufgabe 38: Gegeben ist eine Funktion f durch f(x) = x x 1;x R. 6 2 a) Untersuchen Sie ihr Schaubild K f auf Hoch-, Tief-, und Wendepunkte. Bestimmen Sie den Schnittpunkt von K f mit der y-achse. Skizzieren Sie K f in ein Achsenkreuz. b) K f, die Koordinatenachsen und die Parallele zur y-achse durch den Wendepunkt begrenzen im 4. Quadranten eine Fläche. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche.

20 Aufgabe 15 : 3 2 Gegebenist diefunktionf durch f(x)=x -3x -x+3,x R. Das SchaubildK von f schließt mit der x-achse zweiflächenstücke ein. BerechnenSie dengesamtinhalt A.

21 Aufgabe 16: Gegeben ist die Funktion f. Das Schaubild K von f schließt mit der x-achse eine Fläche ein. Berechnen Sie den Inhalt A diese Fläche. 1 = f(x) = x + 3x 6

22 Aufgabe 17: Gegeben ist die Funktion f. Das Schaubild K von f schließt mit der x- Achse eine Fläche ein. Berechnen Sie den Inhalt A diese Fläche. 1 f(x) = 4x x ( )

23 Aufgabe 12: Gegeben sind die Funktionen f und g durch f(x) = 3 3 ; x + x x R und g(x) = x + x x R 3 ;. a) Untersuchen Sie K f auf Schnittpunkte mit der x - Achse und auf Extrempunkte. Bestimmen Sie den Scheitelpunkt von K g. Zeichnen Sie K f und K g im Bereich 1 x 2. b) Berechnen Sie die gemeinsamen Punkte von K f und K g. c) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von K f und K g im 1. Feld eingeschlossen wird.

24 Aufgabe 19: Gegeben ist die Funktion f mit f ( x) = x 3x + 4 x; x R 2 a) Untersuchen sie das Schaubild K von f auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Hoch- und Tiefpunkte. Zeichnen sie K in ein Achsenkreuz für 0 x 4,5. b) Eine Parabel 2. Ordnung verläuft durch den Ursprung und schneidet K von W ( 2 0) senkrecht. Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel. c) K schließt mit der Parabel P von g mit g( x) = x x; x R zwei 4 2 Flächenstücke ein. Bestimmen Sie die Maßzahl der Fläche, die den Punkt D ( 1 0) enthält.

25 Aufgabe 20 : Gegeben ist die Funktion f mit 4 2 f(x) = x + 2x + 4, x R. = + + a) Untersuchen Sie das Schaubild K von f auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Hoch und Tiefpunkte. Zeichnen Sie K für 2 x 2. b) K und die Verbindungsgerade der Hochpunkte umschließen eine Fläche. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche.

26 Aufgabe 21: Gegeben ist die Funktion f mit = f(x) = x x + ; x R K ist das Schaubild von f. a) Zeigen Sie: T(3/0) ist Tiefpunkt von K. Untersuchen Sie K auf Wendepunkte. Zeichnen Sie den Graphen K. b) K, die Koordinatenachsen und die Gerade mit x = 2 begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie den Flächeninhalt.

27 Aufgabe 22: a) Gegeben ist die Funktion f durch f(x) = x + 2x 3 Untersuchen Sie das Schaubild K von f auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, auf Hoch-Tief- und Wendepunkte b) K g ist das Schaubild der Funktion g mit g(x) = 2x + 3 Zeichnen Sie K in das Achsenkreuz ein. g Berechnen Sie die Schnittpunkte von K und K. f f g c) K f und K g umschließen im 1.Feld und 2.Feld eine Fläche. Berechnen Sie deren Inhalt.

28 Aufgabe 23: 1 2 Gegeben ist die Funktion f durch f(x) = ( x 4 ) 2 ; x R 8 a) Untersuchen Sie das Schaubild K von f auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, auf Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Zeichnen Sie K für - 3 x 3. b) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von K und der x-achse umschlossen wird.

29 Aufgabe 24: Gegeben ist die Funktion f mit 1 3 f ( x) = x ³ x² + 5; x R. 8 4 a) Untersuchen Sie das Schaubild K von f auf Hoch- und Tiefpunkte. b) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von K, den Koordinatenachsen und der Parallelen zur y-achse durch den Tiefpunkt eingeschlossen wird. 1 3 f ( x) = x³ x²

30 Fachschule für Aufgabe 24: Gegeben ist die Funktion f mit 1 1 f ( x ) = x 3 x 2 + 2; x R 6 2 a) Untersuchen Sie ihr Schaubild K auf Hoch-, Tief- und Wendepunkte. ( ) Zeichnen Sie K in ein Achsenkreuz für 2 x 3 1 LE 2 cm. b) K hat für 2 x 1 einen Schnittpunkt mit der x-achse. Achse. Bestimmen Sie die Schnittstelle xs mit Hilfe eines Näherungsverfahrens auf 2 Nachkommastellen genau. c) Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel 2. Ordnung, die K in deren Tiefpunkt berührt und in deren Schnittpunkt mit der y-achse y schneidet. d) 1 2 y = x 2 x + 2 ist die Gleichung einer Parabel G. Bestimmen Sie den Scheitelpunkt 6 3 der Parabel, sowie ihre Schnittpunkte mit K. Zeichnen Sie die Parabel G in das Koordinatensystem für 1 x 4. e) Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, Flächenstücks das von K und G im 1. Quadranten eingeschlossen wird.

31 Aufgabe 25: a) Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion 3. Grades verläuft durch N= (6 / 0),hat im Ursprung einen Tiefpunkt und schließt mit der x Achse im 1. Quadrant eine Fläche mit Inhalt A= 27 FE ein. Bestimmen Sie den Funktionsterm. 3 2 b) Gegeben ist eine Funktion f durch f(x) = 0,25x + 1,5x ;x R. Untersuchen Sie das Schaubild K von f auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, auf Hoch-, Tief-, und Wendepunkte. Skizzieren Sie K in ein Achsenkreuz. c) Die Gerade g mit y = 1,25x + 3 begrenzt mit K und der x Achse eine Fläche. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche. A

32 Aufgabe 26: Gegeben ist die Funktion f mit 1 3 = + R f ( x) x x 4; x a) Untersuchen Sie das Schaubild K von f auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Hoch-, Tief-, und Wendepunkte. b) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von K, der Wendetangente und der y-achse im 1. Quadrant eingeschlossen wird.

33 Aufgabe 27: 4 3 Gegeben ist diefunktion f mit f(x)= x -x ;x R. 1 3 a.)untersuchensie das SchaubildK von f auf Schnittpunkte mit der x-achse,hochundtiefpunkte. Zeichnen SieK. b.)die Tangente an K im Punkt P(2/f(2)) schließt mit K zwei Flächenstücke ein. BestimmenSie dengesamtinhalt.