14 Kurven in Parameterdarstellung, Tangentenvektor und Bogenlänge
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- Reinhold Winkler
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1 Dr. Dirk Windelberg Leibniz Universiä Hannover Mahemaik für Ingenieure Mahemaik hp:// 14 Kurven in Parameerdarsellung, Tangenenvekor und Bogenlänge Aufgabe 14.1 (Tangenenvekor und Bogenlänge: Als Beispiel für eine Kurve, die in Parameerdarsellung beschrieben wird, werden wir hier eine Zykloide unersuchen. a Es wird ein Kreis mi dem Radius 1 berache. Es sei P ein Punk auf dem Radius des Kreises. Die Kurve, die der Punk P beschreib, wenn der Kreis auf der x-achse abroll, heiß dann Zykloide. Besimmen Sie die Parameerdarsellung für diese Kurve, wobei Sie den Wälzwinkel als Parameer wählen, und zeichnen Sie diese Zykloide für 0 2 π. Aufgabe 14.1: Zykloide (Punk P lieg auf dem Radius Lösung von Aufgabe 14.1a [AUF 18.1 (d] Es wird zunächs der Mielpunk (x m (, y m ( des Rades verfolg: ( ( ( xm ( xm (0 0 Für 0 is und y m ( ( y m (0 ( 1 xm ( für ein beliebiges is. y m ( 1 Der ( Weg des( Punkes P soll ( nun beschrieben werden durch x( xm ( xp ( +, y( y m ( y P ( wobei (x P (, y P ( die relaive Bewegung des Punkes P auf dem Rad beschreib. ( ( ( xp ( xp (0 0 Für 0 is und y P ( ( y P (0 ( 1 xp ( sin( für ein beliebiges is. y P ( cos( Folglich is x( ( x( y( ( 1 + ( sin( cos( ( sin( 1 cos( ( Aufgabe 14.1: Zykloide (Punk P lieg auf dem Radius
2 Windelberg: Mahemaik für Ingenieure, Kapiel 14 Sand: 18. Dezember Aufgabe 14.1b Eliminieren Sie den Wälzwinkel, um eine explizie Darsellung der Zykloide zu erhalen. Verwenden Sie dazu die Gleichung sin 2 ( + cos 2 ( 1 und arccos(1 y. Lösung von Aufgabe 14.1b [AUF 18.1 (d] Nach ( gil x sin(, also sin( x. Ferner gil y 1 cos( nach (14.1.1, also auch arccos(1 y, also insgesam sin( arccos(1 y x. Ebenfalls nach ( gil y 1 cos(, also cos( 1 y. Dami is 1 sin 2 ( + cos 2 ( (arccos(1 y x 2 + (1 y 2 oder (arccos(1 y x 2 1 (1 y 2 1 (1 2 y + y 2 2 y y 2 oder arccos(1 y x 2 y y 2 für 0 y 2 und 0 x π oder x arccos(1 y 2 y y 2 für 0 y 2 und 0 x π Aufgabe 14.1c Besimmen Sie die Gleichung der Zykloide, für die der Punk P nich auf dem Radius des sich drehenden Rades lieg, sondern den Absand a > 0 vom Kreismielpunk ha. Berechnen Sie die Winkel (in Abhängigkei von a, uner denen die Zykloide die x-achse schneide. Lösung von Aufgabe 14.1c [AUF 18.3] Die Gleichung einer Zykloide im Sinne dieser Aufgabe laue ( ( x( a sin( y( 1 a cos( ( Zunächs is zu unersuchen, für welche a die Zykloide überhaup die x-achse schneide: für einen Schnipunk muss es ein geben mi 0 2 π und y( 0, also 1 a cos( 0 nach ( oder cos( 1 a Also schneide die Zykloide die x-achse nur für a > 1. Es sei 0 ein Parameer, bei dem die Zykloide die x-achse schneide. ( Für eine in Parameerdarsellung gegebene Kurve x x( is nach REP 18.1 der Tangenenvekor in einem ( Punk x 0 x( 0 auf der Kurve ( besimm durch x( ẋ(0 1 a cos( 0. - Hier is daher. ẏ( 0 a sin( An einem Schnipunk 0 gil cos( 0 1 nach (14.1.3, also is dann a sin( 0 1 cos 2 ( 1 1 a a a 2 a a 2 1 und dami ( ( ( 1 a cos(0 0 a sin( 0 a 1 a 0. a 2 1 a2 1 Für a 1 is cos( 0 1 und dami 0 0 oder 0 2 π und den Rändern keine Tangene. ( 0 0 Für a > 1 is 0. Also wird dor die x-achse senkrech geschnien.. Dami exisier an
3 Windelberg: Mahemaik für Ingenieure, Kapiel 14 Sand: 18. Dezember Aufgabe 14.1d Berechnen Sie die Bogenlänge der Zykloide mi a 1. Lösung von Aufgabe 14.1d [AUF 18.5 (b] Nach REP 18.1 wird die Bogenlänge L einer in Parameerform gegebenen Kurve berechne durch 1 L (ẋ( 2 + (ẏ( 2 d 0 wobei x( 0 der Anfangs- und x( 1 der Endpunk des zu berechnenden Bogens is. Nach ( wird die Zykloide beschrieben durch ( sin( x mi 1 cos( also is hier x ( ẋ( ẏ( ( 1 cos( sin( 0 2 π Daraus ergib sich (ẋ( 2 + (ẏ( 2 (1 cos( 2 + sin 2 ( 1 2 cos( + cos 2 ( + sin 2 ( 2 2 cos( und dami wegen sin 2 ( 1 2 (1 cos(2 oder 1 cos( 2 sin( : π 2 π 2 π L (ẋ( 2 + (ẏ( 2 d 2 1 cos( d 2 sin( d 8 Aufgabe 14.1e Berechnen Sie die Bogenlänge der Zykloide mi a 2. Lösung von Aufgabe 14.1e Wie in der L ösung von Aufgabe 14.1d is für die Zykloide ( 2 sin( x mi 0 2 π 1 2 cos( hier x ( ẋ( ẏ( ( 1 2 cos( 2 sin( Daraus ergib sich ẋ 2 + ẏ 2 (1 2 cos( sin 2 ( 1 4 cos( + 4 cos 2 ( + 4 sin 2 ( 5 4 cos( und dami 2 π x2 π L (ẋ( 2 + (ẏ( 2 d 5 4 cos(x dx (1 0 x0 Wenn versuch wird, dieses Inergral mi Hilfe der Generalsubsiuion zu lösen, so ergib sich mi cos(x d und dx 2 L 2 x2 π x d 2 x2 π x ( d Ein solches Inegral is in der Formelsammlung nich enhalen. Also wird (1 numerisch inegrier:
4 Windelberg: Mahemaik für Ingenieure, Kapiel 14 Sand: 18. Dezember Aufgabe 14.1e: Bogenlänge einer Zykloide mi a 2 als Fläche uner der obigen Kurve x anfang x ende y Fläche Aufgabe 14.2: Zur Beschreibung der Abhängigkei des Schallpegels P P (v eines Schienenverkehrsmiels von dessen Geschwindigkei v wird die Gleichung ( ] v P (v [ log 10 db(a 100 km/h verwende. Nach dieser Gleichung is P (v. lim v 0 Suchen Sie nach einer geeigneen Funkion, für die gil P (0 0 db(a P (100 km/h 51 db(a P (200 km/h 57 db(a und zeichnen Sie dann beide Funkionen für Geschwindigkeien zwischen 0 km/h und 5 km/h Lösung der Aufgabe 14.2: Aufgabe 14.2: ( v Kurve P (v log km/h (ausgezogen Ziel dieser Veransalung is es, Kreaiviä bezüglich mahemaischer Lösungsverfahren zu beweisen. Daher is der hier angegebene Lösungsweg nur einer von vielen möglichen.
5 Windelberg: Mahemaik für Ingenieure, Kapiel 14 Sand: 18. Dezember Ansaz: Gesuch sind Zahlen a und b mi der Eigenschaf, dass die Kurve ( P (v a log v b durch die Punke P (0 0, P (100 km/h 51 db(a und P (200 km/h 57 db(a geh. Nach Ansaz geh die Kurve bereis durch (0, 0. Wegen P (100 km/h 51 db(a muss gelen ( 100 km/h P (100 km/h a log b 51 db(a und wegen P (200 km/h 57 db(a muss gelen P (200 km/h a log 10 ( 1 + Daraus ergib sich jeweils 200 km/h 57 db(a b Aufgabe 14.2: Für welches a is a a 1? und km/h b 200 km/h b a b a b 100 km/h a km/h a 1 Gleichsezen von ( und ( ergib a 1 1 2, und diese Gleichung läss sich graphisch lösen: a a 1 Hieraus kann dann nach ( b besimm werden: b 0.28 km/h. Dami ergib sich als Lösung: P (v 20 log 10 (1 + v 0.28 km/h ( (14.2.2
6 Windelberg: Mahemaik für Ingenieure, Kapiel 14 Sand: 18. Dezember Aufgabe( 14.2: v Kurve P (v log 10 (ausgezogen 100 km/h v Kurve P (v 20 log 10 (1 + (gesrichel 0.28 km/h
7 Windelberg: Mahemaik für Ingenieure, Kapiel 14 Sand: 18. Dezember Als Beispiel für Kurven, die in Polarkoordianen-Darsellung beschrieben werden, sollen hier Spiralen, eine Kardioide und eine Lemniskae unersuch werden. Aufgabe 14.3a: Es wird ein Quadra mi den Ecken E 1 ( 5, 5, E 2 (5, 5, E 3 (5, 5 und E 4 ( 5, 5 (mi der Seienlänge 10 m berache. In jeder Ecke E i sare ein Hund H i, um dem vor ihm sizenden Hund H i+1 nachzulaufen (es wird H 5 H 1 gesez. Nun läuf jeder Hund H i 1 m wei in der Richung, in der er den anderen Hund H i+1 am Anfang gesehen hae. Dann erkenn der Hund H i, dass der Hund H i+1 auch weiergelaufen is; also änder er seine Richung und läuf nun wieder 1 m in der neuen Richung. Und so weier... Zeichnen Sie den Weg eines der Hunde. (Diese Kurve is eine logarihmische Spirale. b Zeichnen Sie die in Polarkoordinaen gegebene Kurve r e ϕ für 2 π ϕ 0 und für 0 ϕ 2 π. Lösung von Aufgabe 14.3a Aufgabe 14.3a Wege der vier Hunde Lösung von Aufgabe 14.3b Aufgabe 14.3b r e ϕ für 2 π ϕ 0 Aufgabe 14.3b r e ϕ für 0 ϕ 2 π
8 Windelberg: Mahemaik für Ingenieure, Kapiel 14 Sand: 18. Dezember c Unersuchen Sie, ob es Parameer a und b gib, so dass die Kurve r b e a ϕ die Kurve des Hundes H 1 beschreib. Lösung von Aufgabe 14.3c (mi Hilfe der Definiion des Tangenenvekors aus dem REP, S.500 Da die Spirale r b e a ϕ durch den Punk E 1 ( 5, 5 gehen soll, muss für r 5 2 und ϕ 5 4 π gelen: 5 2 b e a 5 4 π Nach REP, S.500 is für eine in Polarkoordinaen gegebene Kurve r r(ϕ der Tangenenvekor im Punk (r, ϕ 0 besimm durch ( ṙ(ϕ0 cos(ϕ (ϕ 0 r(ϕ 0 sin(ϕ 0 ṙ(ϕ 0 sin(ϕ 0 + r(ϕ 0 cos(ϕ 0 also hier mi r(ϕ b e a ϕ und ṙ(ϕ a b e a ϕ ( 5 ( 5 π b ea 4 π ( a 1 a + 1 Nun soll ( 5 π parallel zur x-achse sein, also muss a und dami a 1 sein. 4 Wird nun a 1 in die obige Gleichung für b eingesez, so ergib sich b 5 2 e 5 4 π 359. Aufgabe 14.3c logarihmische Spirale r b e a ϕ durch E 1 ( 5, 5 mi Tangenenseigung 0 in Punk E 1 a 1 und b 359 Aufgabe 14.3d Besimmen Sie die Winkel α, uner der die Spirale r e a ϕ eine Gerade y an(β x schneide. Lösung von Aufgabe 14.3d siehe AUF 18.4.
9 Windelberg: Mahemaik für Ingenieure, Kapiel 14 Sand: 18. Dezember Aufgabe 14.3e Berechnen Sie die Bogenlänge der Spirale r e ϕ für 2 π ϕ 0. schneide. Lösung von Aufgabe 14.3e (mi Hilfe der Definiion der Bogenlänge einer in Polarkoordinaen gegebenen Kurve aus dem REP, S.501 Aufgabe 14.4: a Zeichnen Sie die in Polarkoordinaen gegebene Kurve r ϕ mi 0 ϕ 4 π. Diese Kurve heiß archimedische Spirale. b Besimmen Sie den Absand d(α zwischen den beiden Schnipunken einer Geraden G { (x, y IR 2 ; y an(α x } mi der uner a gezeichneen archimedischen Spirale. Aufgabe 14.5: a Zeichnen Sie die in Polarkoordinaen gegebene Kurve r 1 + cos(ϕ mi 0 ϕ 2 π. Diese Kurve heiß Kardioide. Lösung von Aufgabe 14.4a Lösung von Aufgabe 14.5a Aufgabe 14.4a archimedische Spirale Aufgabe 14.5a Kardioide b Berechnen Sie die Bogenlänge der Kardioide r 1 + cos(ϕ mi 0 ϕ 2 π.
10 Windelberg: Mahemaik für Ingenieure, Kapiel 14 Sand: 18. Dezember Aufgabe 14.6 (Bogenlänge: Gegeben sei das Kurvensück x( x( y( z( Für welche reelle Zahl a ha dieses Kurvensück die Bogenlänge 12? mi 0 a. Lösung von Aufgabe 14.6: Die Bogenlänge L is nach F+H, Seie 119, für eine in Parameerdarsellung gegebene Kurve der Form x( mi 0 1 definier durch wobei ẋ( : d x( d Hier is ẋ( x( ẏ( ż( L 1 0 und ẏ( : d y( d 2 2 (ẋ( 2 + (ẏ( 2 + (ż( 2 d undż( : d z( d is. 1 (ẋ( 2 + (ẏ( 2 + (ż( und dami Folglich is die Bogenlänge (in Abhängigkei von a: a [ ] a 1 L ( d a3 + a a ( 1 3 a2 + 1 Gesuch wird eine reelle Zahl a mi L 2 3 a3 + 2 a 12. Durch Probieren finde man a 3. Aufgabe 14.7 (Bogenlänge: Gegeben sei das Kurvensück y e x mi 0 x 1. Berechnen Sie die Bogenlänge. Lösung von Aufgabe 14.7: Die Bogenlänge L is nach F+H, Seie 119, für eine in explizier Darsellung gegebene Kurve der Form y f(x mi x 0 x x 1 definier durch x1 L 1 + (f (x 2 dx Hier is f (x e x 1 + (f (x e 2 x. x 0 und dami Nach F+H, Seie 93, solle bei der Inegraion von Funkionen, die e x enhalen, subsiuier werden: e x mi dx d also hier L x1 x0 x1 x1 1 + (f (x 2 dx 1 + e 2 x dx d x1 x0 x0 x d
11 Windelberg: Mahemaik für Ingenieure, Kapiel 14 Sand: 18. Dezember Die Lösung eines solchen Inegrals is in der F+H zu finden: auf Seie 102, Nr. 119: x2 + a 2 x dx ( a + x x 2 + a 2 a ln 2 + a 2 x also hier x1 [ ( ] x1 L d + 1 ln x0 x0 Da bei dieser Subsiuion e x gewähl wurde, gil für die Grenzen: x 0 e 0 1 x 1 e 1 e also L [ ( ] e + 1 ln ( ( e2 1 + ( ( e + 1 ln ln e Dieses Ergebnis is plausibel, denn nach Pyhagoras is Srecke zwischen (0, 1 und (1, e (e
12 Windelberg: Mahemaik für Ingenieure, Kapiel 14 Sand: 18. Dezember Aufgabe 14.8: a Zeichnen Sie die in Polarkoordinaen gegebene Kurve r 2 cos(2 ϕ mi π 4 ϕ π 4. Diese Kurve heiß Lemniskae. b Berechnen Sie die von der uner a gezeichneen Lemniskae eingeschlossene Fläche. Lösung zu Aufgabe 14.8a: Aufgabe 14.8 Lemniskae Lösung zu Aufgabe 14.8b: (siehe auch REP (S. 505 Es gil nach der Sekorformel für Polarkoordinaen für eine Funkion r r(ϕ im Inervall ϕ 0 ϕ ϕ 1 für die zwischen (0, 0 und der Kurve eingeschlossene Fläche F : F 1 2 ϕ1 ϕ 0 (r(ϕ 2 dϕ also hier F 1 2 ϕ π 4 ϕ π 4 2 cos(2 ϕ dϕ 1 2 [sin(2 ϕ]ϕ π 4 ϕ π 4 1 (
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