Grundlagen der Mathematik II (LVA U)

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1 Dr. Marcel Dettling Dr. Daniel Haase FS 2010 Grundlagen der Mathemati II (LVA U) Lösung 10 Zur Übungsstunde vom Aufgabe 28 (Die Gleichverteilung) (a) Die Wahrscheinlicheitsfuntion für die Zufallsvariable X = Anzahl der geworfenen Augen mit einem regulären Würfel ist eine Uniform-Verteilung. Nun wird ein solcher regulärer Würfel aber 2x geworfen und Y = Summe der Augenzahlen aus den beiden Würfen. Es handelt sich nun nicht mehr um eine Uniform-Verteilung. Bestimme und zeichne die entsprechende disrete Wahrscheinlicheitsfuntion. auf. Beachte dass die Summe über alle Wahrscheinlicheiten gleich Eins sein muss. (b) Nun haben wir es mit einem gefälschten Würfel zu tun. Er ist so gefälscht, dass die Wahrscheinlicheit für eine bestimmte Augenzahl umgeehrt proportional zur Augenzahl ist. Es sei nun X = Anzahl der geworfenen Augen. Bestimme und zeichne die entsprechende Wahrscheinlicheitsfuntion. Der gefälschte Würfel wird nun 2x geworfen. Bestimme und zeichne die Wahrscheinlicheitsverteilung für Y = Summe der Augenzahlen aus den beiden Würfen. (c) Ein auf der Strasse gefundener Franen ist leicht verbogen. Er wird 10mal geworfen, und das dreimal hintereinander. Die Würfe lauten KZZKKZZZKK, KZZZZZZZZZ, ZZZZZZZZZZ. Berechne die relative Häufigeit der Kopf-Würfe separat für die drei Folgen. Danach berechne die Wahrscheinlicheit für diese Folgen unter der Annahme, dass die Münze fair ist (also 50% Wahrscheinlicheit für Kopf), und dann unter der Annahme, dass der Kopf eine Wahrscheinlicheit von nur 0.4 besitzt. Beachte dass es hier auf die orrete Reihenfolge anommt. Lösung Zu a): Da nur die Augensumme gezäht wird sind die möglichen Ergebnisse 2, 3, 4,..., 12, die haben allerdings unterschiedliche Wahrscheinlicheiten, weil die Augensumme 3 beispielsweise durch die Würfe (1, 2) und (2, 1) erreicht werden ann, die Summe 2 aber nur durch den einzigen Wurf (1, 1). Jedes Paar (x 1, x 2 ) hat die gleiche Wahrscheinlicheit (weil x 1 und x 2 jeweils uniform verteilt sind). Da es 6 6 = 36 mögliche Paare gibt, ist die Einzelwahrscheinlicheit für jedes Paar Wir zählen wieviele Paare zu einer gegebenen Augensumme führen:

2 Wert von Y Ergebnisse von (X 1, X 2 ) zu Y Wahrscheinlicheit 2 Augen (1, 1) P (Y = 2) = Augen (1, 2), (2, 1) P (Y = 3) = Augen (1, 3), (2, 2), (3, 1) P (Y = 4) = Augen (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) P (Y = 5) = Augen (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) P (Y = 6) = Augen (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) P (Y = 7) = Augen (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) P (Y = 8) = Augen (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) P (Y = 9) = Augen (4, 6), (5, 5), (6, 4) P (Y = 10) = Augen (5, 6), (6, 5) P (Y = 11) = Augen (6, 6) P (Y = 12) = 1 36 Als Histogramm: Zu b): Hier müssen wir zuerst die nicht-uniforme Verteilung von X bestimmen, der Anzahl der Augen eines Wurfes mit einem (gefälschten) Würfel. Laut Aufgabe soll sie antiproportional zur Augenzahl sein, also P (X = ) = c 1 für eine unbeannte Konstante c. Die ist dann aber durch die Normierungsbedingung P (Alles) = 1 festgelegt, wie in in Aufgabe 27 nur dass wir hier mit Summen statt Integralen arbeiten. Die Summe über alle möglichen Ergebnisse des Wurfes ist 6 6 ( c 1 P (Alles) = P (X = ) = = c ) 6 =1 = = c = c = c Damit die Gesamtwahrscheinlicheit Eins ist, müssen wir den Kehrwert c = einsetzen. Damit steht die Verteilung des gefälschten Würfels fest: Als Histogramm also P (X = 1) = c 1 = 0.408, P (X = 2) = c 2 = 0.204, P (X = 3) = c 3 = 0.136, P (X = 4) = c 4 = 0.102, P (X = 5) = c 5 = 0.081, P (X = 6) = c 6 =

3 Aus dieser Verteilung berechnen wir wieder die Doppelwurf-Verteilung für Y, jetzt sind aber nicht mehr alle Paare (x 1, x 2 ) gleichwahrscheinlich, wir müssen die Summen aus Teil (a) weiter auftrennen. Dazu überlegt man sich, dass wegen der Unabhängigeit der Würfe gelten muss P (Paar (x 1, x 2 ) gewürfelt) = P (X 1 = x 1 und X 2 = x 2 ) = P (X = x 1 ) P (X = x 2 ) = c x 1 c x 2 = x 1 x 2. Für jede mögliche Augenzahl müssen wir die verschiedenen Wahrscheinlicheiten über die Einzelpaare aufaddieren: Wert von Y Ergebnisse von (X 1, X 2 ) zu Y Wahrscheinlicheit 2 Augen (1, 1) P (Y = 2) = c 2 1 = Augen (1, 2), (2, 1) P (Y = 3) = c 2 ( ) = Augen (1, 3), (2, 2), (3, 1) P (Y = 4) = c 2 ( ) = Augen (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) P (Y = 5) = c 2 ( ) = Augen (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) P (Y = 6) = c 2 ( ) = Augen (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) P (Y = 7) = c 2 ( ) = Augen (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) P (Y = 8) = c 2 ( ) = Augen (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) P (Y = 9) = c 2 ( ) = Augen (4, 6), (5, 5), (6, 4) P (Y = 10) = c 2 ( ) = Augen (5, 6), (6, 5) P (Y = 11) = c 2 ( ) = Augen (6, 6) P (Y = 12) = c = Als Histogramm:

4 Zu c): Die relative Häufigeit der Kopf-Würfe ist einfach deren Anzahl geteilt durch die Gesamtzahl der Würfe: Folge KZZKKZZZKK : h = 5 10 = 0.5 Folge KZZZZZZZZZ : h = 1 10 = 0.1 Folge ZZZZZZZZZZ : h = 0 10 = 0.0 Diese Häufigeiten sind als Aussage grundsätzlich verschieden von den Wahrscheinlicheiten für das Auftreten dieser Würfe: Es sei X = (X 1,..., X 10 ) die Zufallsvariable die eine Wurffolge beschreibt, und X j die Zufallsvariable mit Werten {0, 1} mit X = 1 für Kopf im j-ten Wurf. Dann ist bei einer fairen Münze P (X j = 0) = P (X j = 1) = 1 2, und wegen der Unabhängigeit der Einzelwürfe folglich P (X = (x 1,..., x 10 )) = P (X 1 = x 1 und X 2 = x 2 und... und X 10 = x 10 ) = P (X 1 = x 1 ) P (X 2 = x 2 ) P (X 10 = x 10 ) = = = Dabei ist es ganz egal welche Werte wir in die Zielwerte x j schreiben, weil Kopf und Zahl in jedem Einzelwurf 1 die gleiche Wahrscheinlicheit haben. Jede der drei Wurffolgen hat also die gleiche Wahrscheinlicheit Jetzt nehmen wir an, dass die Münze nicht fair ist mit Kopf-Wahrscheinlicheit P (X j = 1) = 0.4 und dem Gegenereignis Zahl P (X j = 0) = 0.6 in einem Einzelwurf. Dann haben wir für die drei Folgen: P (X = (KZZKKZZZKK)) = = P (X = (KZZZZZZZZZ)) = = P (X = (ZZZZZZZZZZ)) = = Hier ist es also wahrscheinlicher, eine Folge mit hohem Zahl-Anteil zu beommen. Aufgabe 29 (Die Binomialverteilung) (a) Wie hoch ist die Wahrscheinlicheit, mit einer fairen Münze bei 5 Würfen genau zweimal Kopf zu werfen? (b) Wie hoch ist die Wahrscheinlicheit, mit einer unfairen Münze (Kopf hat Wahrscheinlicheit 0.4) bei 5 Würfen höchstens zweimal Kopf zu werfen? (c) Wie hoch ist die Wahrscheinlicheit, genau 500mal Kopf zu werfen wenn man 1000mal werfen darf? Beantworte die Frage für den Fall dass die Münze fair ist (also echte 50%-Chance auf Kopf), und dass sie unfair ist (Wahrscheinlicheit nur 0.4 für den Kopf). Bearbeite diese Frage nicht per Hand, sondern verwende Mathematica: der Zufallsvariablen X ordnet man die Binomialverteilung B(n, p) zu mit dem Kommando X = BinomialDistribution[n,p], danach ann man mit PDF[X][] die Wahrscheinlicheit P (X = ) abfragen.

5 (d) Wie hoch ist bei einer fairen Münze die Wahrscheinlicheit, bei Würfen höchstens mal den Kopf zu erhalten? Lösung Die Binomialverteilung misst die Wahrscheinlicheit eine Anzahl von Erfolgen zu erzielen wie beim Münzwurf, nur dass es nicht mehr auf die Reihenfolge der einzelnen Würfe anommt. Beim Münzwurf fallen beispielsweise die Ergebnisse KZZZZZZZZZ und ZZZZZZZZZK zusammen. Ist die Erfolgswahrscheinlicheit im Wurf p [0, 1], so ist die geordnete Erfolgswahrscheinlicheit für die Folge von n Würfen p (1 p) n, genau Erfolge in n Würfen zu haben. Jetzt fallen alle Sortierungen der Folge zu einem einzigen Ereignis zusammen, es gibt ( ) n = n!!(n )! Möglicheiten die Folge anzuordnen wenn Erfolge und n Fehlschläge zu sortieren sind. Daher ist die Binomialverteilung gegeben durch ( ) n X B(n, p), P (X = ) = p (1 p) n. Zu a): Bei einer fairen Münze ist p = (1 p) = 1 2, also haben wir ( ) 5 P (X = 2) = = 5! 2 2! 3! 0.55 = Zu b): Bei der unfairen Münze haben wir p = 0.4 Erfolgswahrscheinlicheit, und 1 p = 0.6 Fehlschlagswahrscheinlicheit. Die Wahrscheinlicheit höchstens zweimal Kopf zu beommen ist 2 ( ) 5 P (X 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = =0 = = Zu c): Diese Werte berechnet Mathematica natürlich nicht mit den Binomialoeffizienten (die werden für n 10 so groß dass man nicht mehr anständig damit rechnen ann, sondern mit einer ausgefeilten Näherungsformel. Für die unfaire Münze gibt Mathematica einen Wert aus der annähernd Null ist, bei der fairen Münze dagegen den Wert PDF[X][500]= Diese Chance von ca. 2% ist überraschend hoch wenn man bedent dass es sich um ein Einzelergebnis unter möglichen Wurffolgen handelt. Das liegt daran, dass die Wurffolge bei der Binomialverteilung ungeordnet ist, und die geringe Einzelwahrscheinlicheit durch die extrem hohe Anzahl an möglichen Umordnungen ompensiert wird (ein ähnlicher Kompensationseffet findet im Teil a) der vorigen Aufgabe in der Tabelle für Y statt). Bei der unfairen Münze versagt die Kompensation (wie in Teil b) der vorigen Aufgabe), bei tausend Würfen dominiert die Verzerrung richtung Zahl einfach zu sehr. Zu d): Hier ann man auch Mathematica fragen, die analytische Näherung für B(n, p) ist so effizient, dass auch diese großen Werte problemlos verarbeitet werden. Mit ein wenig Nachdenen ommen man aber auch ohne Rechnung darauf, dass die Wahrscheinlicheit 1 2 sein muss, weil die Beschreibung aus der Aufgabe genau die Hälfte der ungeordneten Wurffolgen beschreibt. Die hat dann auch nach der Zusammenfassung zu den ungeordneten Ereignissen die Wahrscheinlicheit 1 2. Das der Wahrscheinlicheitswert den Mathematica hier produziert nicht exat.5 ist liegt daran, dass eine gerade Zahl ist: ein Ereignis liegt genau auf der Mitte, und man ann es leider nicht zerteilen. Aufgabe 30 (Eine Korrelation) Lade den Datensatz zur Serie 10 von der Homepage, und bearbeite dann die folgenden Aufgaben mit Mathematica:

6 (a) Auftrennung der Blumensorten: Sind es die Sepal- oder die Petalblätter, welche die verschiedenen Blumensorten am besten unterscheiden önnen? Probiere zur Beantwortung dieser Frage alle 4 quantitativen Variablen einzeln mit einem geeigneten Plot durch. (b) Scatterplot der Sepalblätter: Erstelle einen Scatterplot von Länge und Breite der Sepalblätter, ohne Regressions- und Glättungsgerade. (c) Separate Scatterplots: Nun drei separate Scatterplots jeweils für die drei Blumensorten, indem Du die Stichprobe auftrennst. (d) Berechnung der Korrelation: Berechne die Korrelation zwischen Länge und Breite der Sepalblätter sowohl mit der Methode von Pearson, wie auch mit der Methode von Spearman, über die gesamte Stichprobe. (e) Berechnen die Korrelation zwischen Länge und Breite für jede einzelne Blumensorte. Die Datensätze beschreiben die Längen und Breiten der verschiedenen Blatttypen dreier Blumensorten. Ziel ist es, Anhand der Blatteigenschaften die Art der Blume zu bestimmen. Die Strutur der Datensätze ist: (1) Sepal (Länge) (2) Sepal (Breite) (3) Petal (Länge) (4) Petal (Breite) (5) Blumensorte Lösung Vergleiche das NB-File auf der Homepage. (a) Die vier Plots der Variablen jeweils mit der Sorte zeigen, dass die Petalblätter durch die Sorte stärer beeinflusst werden als die Sepalblätter, wobei es nicht viel Unterschied macht ob man die Länge oder Breite verwendet. (b) Die drei Scatterplots der Sepalblätter sind für die drei Sorten ziemlich ähnlich. (c) Die Pearson-Korrelation zwischen Sepalbreite und Sepallänge über alle Sorten ist ϱ P = , das ist sehr gering. Das verwundert da die Breite und die Länge eines Blattes normalerweise voneinander abhängen. Die Spearman-Korrelation zwischen Sepalbreite und Sepallänge über alle Sorten ist mit ϱ P = nur wenig besser. (d) Mit ρ 1 = ist der Korrelationsoeffizient der Sepalblätter der Sorte 1 recht hoch, auch ρ 2 = für die zweite Sorte ist gut, ebenso ρ 3 = Alle drei Werte liegen weit über der Korrelation über die gesamte Stichprobe, d. h. die Blättlängen und Blattbreiten hängen schon star voneinander ab, nur ist die Art des Zusammenhangs bei jeder Sorte anders. Bei der Korrelationsprobe über die gesamte Stichprobe ist das aber nicht mehr erennbar.