Zahlensysteme. Hardware Mathematische Grundlagen. Striche Römische Zahl Dezimalzahl Dualzahl

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Lothar Kraus
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1 Zahlensysteme Striche Römische Zahl Dezimalzahl Dualzahl 0 0 I 1 1 II 2 10 III 3 11 IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI XVII XVIII XIX XX XXI XXII XXIII XXIV XXV XXVI XXVII XXVIII XXIX XXX XXXI XXXII Wegener Info/2/Zahlensysteme Samstag :05:53

2 Stellenwertsysteme Dezimal(=Zehner)system Hundert- Zehntausender tausender Tausender Hunderter Zehner Einer = = 379 Dual(=Zweier)system Zwei- Fünf- hundert- Hunderthundert- sechsund- achtund- Vierund- Zweiund- Sechzwölfer fünfziger zwanziger sechziger dreißiger zehner Achter Vierer Zweier Einer = = 379 Sedezimal(=Sechzehner)system Zweihundertsechsund- Sechfünfziger zehner Einer B = = 379 2

3 Konversion Dezimal-Dual (1) Teile die Zahl durch 2, schreibe den Quotienten darunter und den Rest daneben. (2) Ist der Quotient gleich 0? Wenn nein, fahre mit Schritt (1) fort und nehme als Zahl den Quotienten. Wenn ja, mache weiter mit Schritt (3). (3) Schreibe die Reste von unten nach oben gelesen von links nach rechts hintereinander. Fertig. Beispiel: Dezimalzahl: 379 Umrechnung: 379:2 = 189 Rest 1 189:2 = 94 Rest 1 94:2 = 47 Rest 0 47:2 = 23 Rest 1 23:2 = 11 Rest 1 11:2 = 5 Rest 1 5:2 = 2 Rest 1 2:2 = 1 Rest 0 1:2 = 0 Rest 1 Dualzahl:

4 Konversion Dual-Dezimal (1) Nimm die am weitesten links stehende Ziffer und merke sie dir. (2) Nimm das, was du dir gemerkt hast, mal 2, zähle die nächste Ziffer nach rechts dazu und merke dir das Ergebnis. (3) Ist die am weitesten rechts stehende Ziffer schon dazugezählt? Wenn nein, fahre fort mit Schritt (2). Wenn ja, ist die gemerkte Zahl das Ergebnis und du bist fertig. Beispiel: Dualzahl: Umrechnung: 1 = = = = = = = = = 379 Dezimalzahl: 379 4

5 Addition von Dualzahlen Das Addieren von Zahlen im Dual(Zweier)system ist sehr einfach, weil man sich nur = 0, = 1, = 1 und = 10 merken muss. Beim letzten Fall (1+1=10) ist das Ergebnis zweistellig. Die vordere Stelle heißt Übertrag und muss zur nächsten Stelle mit dazugezählt werden. Dann kann natürlich auch der Fall = 11 auftreten. In den folgenden Beispielen werden jeweils zwei Dualzahlen addiert und die Überträge klein dazugeschrieben

6 Multiplikation von Dualzahlen Beim Multiplizieren zweier Zahlen geht man normalerweise folgendermaßen vor: Multipliziere den ersten Faktor nacheinander mit jeder Ziffer des zweiten und schreibe das Produkt jeweils rechtsbündig unter diese Ziffer. Anschließend addiere die erhaltenen Zwischenprodukte. Beispiele: Die Multiplikation von Dualzahlen wird genauso gemacht, aber weil als Ziffern ja nur 0 oder 1 vorkommen, muss man jeweils nur den ersten Faktor ab- oder lauter Nullen hinschreiben. Natürlich kann man die Nullreihen -bis auf die letzteweglassen. Das Addieren kann dafür schwieriger sein, weil der Übertrag häufig über mehr als eine Stelle reicht ( =101). Daher ist es sinnvoll, jeweils nur zwei Dualzahlen zu addieren. Beispiele:

7 Komplementdarstellung Im Computer stehen zur Darstellung einer Zahl nur endlich viele Stellen zur Verfügung. Daher kommt es zu Fehlermeldungen oder fehlerhaften Ergebnissen, wenn der vorgegebene Zahlbereich über- oder unterschritten wird. Außerdem müssen auch negative Zahlen dargestellt werden können. Dazu wird das Zweierkomplement verwendet. Der zur Verfügung stehende Zahlbereich wird so aufgeteilt, dass alle Zahlen mit einer 0 im höchsten Bit für Zahlen größer oder gleich Null verwendet werden und die anderen (mit einer 1 im höchsten Bit) die negativen Zahlen repräsentieren. Beispiele für Zweierkomplement der Länge 8:

8 Komplementdarstellung Zahlen im Zweierkomplement lassen sich auch auf einem Rad darstellen. Eine Addition entspricht dann einer Drehung im, eine Subtraktion gegen den Uhrzeigersinn auf dem Rad

9 Bildung des Zweierkomplementes Das Zweierkomplement einer Dualzahl wird folgendermaßen gebildet: (1) Kippe alle Bits um, d.h. ersetze jede 0 durch eine 1 und jede 1 durch eine 0. (2) Addiere zum Ergebnis eine 1. Ein evtl. entstehender Übertrag kann entfernt werden. Beispiele: 1 = > = = -1-1 = > = = 1 5 = > = = -5-7 = > = = 7 0 = > = = 0 9

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