(Prüfungs-)Aufgaben zur Berechenbarkeits- und Komplexitätstheorie

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1 (Prüfungs-)Aufgaben zur Berechenbarkeits- und Komplexitätstheorie 1) Schreiben Sie ein LOOP-Programm, das die Funktion f: N \ {0} N, f (n) = n n berechnet. Sie dürfen in Ihrem Programm die Multiplikation verwenden (sowie beliebige Variablennamen, nicht notwendigerweise x 0, x 1, ). 2) Das P-NP-Problem fragt, ob P = NP oder P NP ist. a) Erklären Sie dieses Problem, indem Sie die Definitionen der Klassen P und NP angeben. b) Beschreiben Sie kurz, welche Bedeutung dieses Problem in der Informatik hat. 3) Geben Sie eine Lösung für das folgende Post sche Korrespondenzproblem an: K = ( (100,110), (11,1), (1,01) ) 4) Zeigen Sie, dass das folgende Post sche Korrespondenzproblem keine Lösung besitzt (am einfachsten durch umgangssprachliches, aber präzises Argumentieren): K = ( (01,10), (0,011), (10,101), (01,010), (101,1011) ) 5) Zeigen Sie, dass das folgende Post sche Korrespondenzproblem keine Lösung besitzt (am einfachsten durch umgangssprachliches, aber präzises Argumentieren): K = ( (10,01), (01,1), (10,11), (0,10) ) 6) Gegeben sei das folgende WHILE-Programm (die Eingabe steht in x 1): repeat := 1; WHILE repeat 0 DO x 2 := 2 x 1; x 1 := x 1 2; repeat := x 1 + x 2; END x 0 := 1; a) Überlegen Sie, was die 3 fett gedruckten Zeilen bewirken, und geben Sie ein IF THEN ELSE Konstrukt an, das dasselbe bewirkt (aber nicht unbedingt genau dasselbe tut). Hinweis: Beachten Sie die modifizierte Definition der Subtraktion! b) Welche (evtl. partielle) Funktion f: N N wird durch obiges WHILE-Programm berechnet? Das Argument der Funktion ist der Wert von x 1, der Funktionswert ist der Wert von x 0 nach Ausführung des Programms. c) Ist diese Funktion LOOP-berechenbar (mit kurzer Begründung)?

2 7) Schreiben Sie ein LOOP-Programm, das die Funktion f: N 2 N, f (n,m) = n m berechnet. Sie dürfen in Ihrem Programm die Multiplikation verwenden (sowie beliebige Variablennamen, nicht notwendigerweise x 0, x 1, ). Hinweis: Machen Sie sich keine Gedanken darüber, was 0 0 ist, da darf irgendetwas herauskommen. Aber n 0 und 0 m müssen korrekt berechnet werden. 8) Gegeben sei das folgende WHILE-Programm (die Eingabe steht in x 1): n := 0; repeat := 1; WHILE repeat 0 DO n := n+1; x 2 := 0; i := n; WHILE i 0 DO x 2 := x 2 + n; i := i 1; END; x 3 := x 2 x 1; x 4 := x 1 x 2; repeat := x 3 + x 4; END x 0 := n; a) Geben Sie ein (!) Hochsprachenstatement an, das den 3 kursiv gedruckten Zeilen entspricht. b) Überlegen Sie, was die 3 fett gedruckten Zeilen bewirken, und geben Sie ein (!) Hochsprachenstatement an, das dieselbe Wirkung hat (aber nicht ganz genau dasselbe tun muss). c) Welche (evtl. partielle) Funktion f: N N wird durch obiges WHILE-Programm berechnet? Das Argument der Funktion ist der Wert von x 1, der Funktionswert ist der Wert von x 0 nach Ausführung des Programms. d) Ist diese Funktion LOOP-berechenbar (mit kurzer Begründung)? 10) Nennen Sie zwei bisher ungelöste Probleme der theoretischen Informatik. Geben Sie nicht nur den Namen des Problems an, sondern auch eine kurze Erklärung. 11) Geben Sie für die folgenden Funktionen an, ob sie berechenbar sind oder nicht, oder ob man dies mit dem momentanen Wissen nicht entscheiden kann. Begründen Sie jeweils Ihre Antwort. a) f(n) = 1 falls P = NP 0 sonst b) f(n) = 1 falls n der Anfangsabschnitt der Dezimalbruchentwicklung von e ist 0 sonst

3 c) f(n) = 1 falls in der Dezimalbruchentwicklung von e irgendwo mindestens n mal hintereinander eine 4 vorkommt 0 sonst 12) In der Vorlesung wurde gezeigt, dass die Additionsfunktion add: N x N N, add(x 1,x 2) := x 1 + x 2 LOOP-berechenbar ist. Zeigen Sie, dass auch die Funktion mult: N x N N, mult(x 1,x 2) := x 1 * x 2 LOOP-berechenbar ist. 13) Welche Funktion f(x) wird durch folgendes WHILE-Programm berechnet? Der Funktionswert ist der Wert von x nach Ausführung des Programms. Beachten Sie die (modifizierte) Definition der Subtraktion! END y := x - 5; WHILE y 0 DO x := y; y := y - 5; 14) Welche (partielle) Funktion f(x) wird durch folgendes GOTO-Programm berechnet? L 1 : if x = 0 then goto L 4; L 2 : x := 0; L 3 : halt; L 4 : goto L 4; 15) Sie betrachten ein neues Problem Neu, von dem Sie vermuten, dass es NPvollständig ist. a) Um zu zeigen, dass das neue Problem NP-hart ist, genügt es nachzuweisen, dass ein bekanntes NP-hartes Problem Bekannt polynomial auf Neu reduzierbar ist, also Bekannt < P Neu. Beschreiben Sie die Schritte, die für diesen Beweis durchgeführt werden müssen. b) Was muss dann noch gezeigt werden, um nachzuweisen, dass Neu NP-vollständig ist? Wie gelingt dieser Nachweis bei den meisten Problemen sehr einfach? 16) Es sei bekannt, dass die Anweisungen x i := x k + x m (Addition) x i := x k - x m (modifizierte Subtraktion) x i := x k * x m (Multiplikation) als GOTO-Programme geschrieben werden können. Zeigen Sie, dass die Anweisung IF x i = x k THEN GOTO M n durch ein GOTO- Programm dargestellt werden kann.

4 17) Das folgende GOTO-Programm erhält seine Eingabe in x 1 (alle anderen Variablen sind also anfänglich 0), die Ausgabe steht in x 0. L 1: x 0 := x 2 * x 2; L 2: IF x 0 = x 1 THEN GOTO L 5; L 3: x 2 := x 2 + 1; L 4: GOTO L 1; L 5: HALT; Welche (evtl. partielle) Funktion wird von diesem GOTO-Programm berechnet? 18) Die im folgenden zu konstruierenden Post schen Korrespondenzprobleme müssen jeweils mindestens 2 Paare enthalten, von denen keines die Form (x,y) mit x=y hat. Wählen Sie aber ansonsten möglichst einfache Probleme! a) Geben Sie ein lösbares Post sches Korrespondenzproblem und eine Lösung an. b) Geben Sie ein unlösbares Post sches Korrespondenzproblem an, und begründen Sie, warum dieses unlösbar ist. c) Zeigen Sie: Ein Post sches Korrespondenzproblem P = ( (x 1,y 1),, (x n,y n) ) hat entweder keine oder unendlich viele Lösungen. 19) Wir betrachten die beiden folgenden Probleme: Ungerichteter Hamiltonkreis: gegeben: Ein ungerichteter Graph (V, E). gefragt: Besitzt G einen Hamilton-Kreis? Travelling Salesman: gegeben: gefragt: Eine n x n Matrix (M i,k) von "Entfernungen" zwischen n "Städten" und eine Zahl m N (maximale Reiselänge ). Gibt es eine geschlossene Reihenfolge der Städte (eine "Rundreise"), so dass die Reiselänge < m ist? Betrachten Sie die Abbildung, die einem ungerichteten Graphen (V,E) folgendes Travelling- Salesman-Problem zuordnet: Menge der Städte = V = {V 1, V 2,, V n}. M i,k = 1, falls die Knoten V i und V k im Graphen durch eine Kante verbunden sind, M i,k = 2 sonst. Rundreiselänge = n. a) Zeigen Sie, dass diese Abbildung eine polynomiale Reduktion des Problems des ungerichteten Hamiltonkreises auf das Travelling-Salesman-Problem ist. b) Was folgt aus dieser Tatsache, wenn bekannt ist, dass das Problem des ungerichteten Hamiltonkreises NP-vollständig ist? 20) Das folgende (GOTO-ähnliche) Programm erhält seine Eingabe in x 1 (alle anderen Variablen sind also anfänglich 0), die Ausgabe steht in x 0. L 1: x 3 := x 2 * x 2;

5 L 2: IF x 3 = x 1 THEN GOTO L 5; L 3: x 2 := x 2 + 1; L 4: GOTO L 1; L 5: x 0 := x 2; L 6: HALT; Welche (evtl. partielle) Funktion wird von diesem Programm berechnet? 21) Als mögliche Anweisungen in einem LOOP-Programm sind zugelassen: Wertzuweisungen: x i := x k + c bzw. x i := x k - c Hintereinanderausführung: P 1; P 2 LOOP-Schleifen der Form: LOOP x i DO P END Dabei sind x i und x k Variablen, c eine konstante natürliche Zahl, P,P 1,P 2 LOOP-Programme. a) Geben Sie LOOP-Programme an, die die Anweisungen x m := x i x k realisieren. b) Geben Sie ein LOOP-Programm an, dass die Anweisung IF x i x k DO P END realisiert. 22) In einem WHILE-Programm sind alle Konstrukte eines LOOP-Programms erlaubt, sowie zusätzlich WHILE x i 0 DO P END für eine Variable x i und ein WHILE- Programm P. Auf LOOP-Schleifen kann dann wieder verzichtet werden. Sie sollen in den folgenden Programmen WHILE-Schleifen verwenden, und dürfen keine LOOP-Schleife benutzen! a) Geben Sie WHILE-Programme an, die die Anweisungen x m := x i x k realisieren. b) Geben Sie ein WHILE-Programm an, das die Anweisung IF x i 3 DO P END (P ein beliebiges WHILE-Programm) realisiert. 23) Es gibt unendlich viele verschiedene Gründe, warum ein Post sches Korrespondenzproblem (PCP) keine Lösung hat (denn sonst wäre PCP entscheidbar). In den folgenden Aufgaben sollen Sie 3 relativ einfache solche Gründe für konkrete PCPs finden. Am einfachsten ist jeweils eine umgangssprachliche, aber präzise Argumentation. Zeigen Sie, dass die folgenden PCPs keine Lösung besitzen: a) K = ( (10,01), (01,1), (10,11), (0,10) ) b) K = ( (101,0), (01,011), (0,101), (10,1) ) c) K = ( (101,1), (1,01), (11,0100), (110, 01) ) 24) Als mögliche Anweisungen in einem WHILE-Programm sind zugelassen: Wertzuweisungen: x i := x k + c bzw. x i := x k - c Hintereinanderausführung: P 1; P 2 WHILE-Schleifen der Form: WHILE x i 0 DO P END Dabei sind x i und x k Variablen, c eine konstante natürliche Zahl, P,P 1,P 2 WHILE-Programme. Es sei bekannt, dass Anweisungen der Form x i := x k x l WHILE-Programmen entsprechen.

6 Geben Sie ein WHILE-Programm an, dass die Anweisung WHILE x i x k DO P END realisiert. 25) Das folgende GOTO-Programm erhält seine Eingabe in x 1 (alle anderen Variablen sind anfänglich 0), der Funktionswert steht in x 0. L 1: x 2 := x 1-2; L 1: IF x 2 = 0 THEN GOTO L 5; L 2: x 0 := x 0 + 1; L 3: x 1 := x 1-3; L 4: GOTO L 1; L 5: HALT; Welche (evtl. partielle) Funktion wird von diesem GOTO-Programm berechnet? 26) Als mögliche Anweisungen A i in einem GOTO-Programm der allgemeinen Form L 1: A 1; L 2: A 2; L k: A k sind zugelassen: Wertzuweisungen: x i := x k + c bzw. x i := x k - c Unbedingter Sprung: GOTO L i Bedingter Sprung: IF x i = c THEN GOTO L k Stoppanweisung: HALT Dabei sind x i und x k Variablen, c eine konstante natürliche Zahl, und L i und L k Marken (Labels). Geben Sie ein GOTO-Programm an, das die Anweisung IF x i = x k THEN GOTO L m realisiert. 27) Das folgende GOTO-Programm erhält seine Eingabe in x 1 (alle anderen Variablen sind also anfänglich 0), die Ausgabe steht in x 0. (Es werde dabei als bekannt vorausgesetzt, dass die Programmiersprache GOTO auch Variablen miteinander multiplizieren kann. Außerdem ist die Anweisung hinter L 2 nach Aufgabe 26 in einem GOTO-Programm möglich.) L 1: x 3 := x 2 * x 2; L 2: IF x 3 = x 1 THEN GOTO L 5; L 3: x 2 := x 2 + 1; L 4: GOTO L 1; L 5: x 0 := x 2; L 6: HALT Welche (evtl. partielle) Funktion wird von diesem GOTO-Programm berechnet? 28) a) Geben Sie eine Lösung für das Post sche Korrespondenzproblem K = ( (100,110), (11,1), (1,01) ) an. b) Das Post sche Korrespondenzproblem ist bekanntlich nicht entscheidbar. Trotzdem konnten Sie zu obigem Problem K eine Lösung finden. Erläutern Sie kurz, warum dies kein Widerspruch ist. c) Erläutern Sie den Unterschied zwischen ungelöst und nicht entscheidbar. d) Geben Sie ein ungelöstes Problem der Informatik an, und erklären Sie dieses kurz.

7 e) Das Post sche Korrespondenzproblem kann auf das Regularitätsproblem für kontextfreie Grammatiken reduziert werden. (Regularitätsproblem: Gegeben: eine kontextfreie Grammatik G. Gefragt: ist die von G erzeugte Sprache L(G) regulär?) Was folgt daraus für das Regularitätsproblem für kontextfreie Grammatiken? 29) Betrachten Sie das sog. Rucksackproblem: gegeben: Natürliche Zahlen a 1, a 2,..., a k N und b N. gefragt: Gibt es eine Teilmenge J von {1, 2,..., k}, so dass a i = b? i J Zeigen Sie, dass das Rucksackproblem zur Klasse NP gehört. 30) Als mögliche Anweisungen in einem LOOP-Programm sind zugelassen: Wertzuweisungen: x i := x k + c bzw. x i := x k c (modifizierte Subtraktion) Hintereinanderausführung: P 1 ; P 2 Schleife: LOOP x i DO P END Dabei sind x i und x k Variablen, c eine Konstante und P, P 1 und P 2 LOOP-Programme. Sei Q ein beliebiges LOOP-Programm. Geben Sie ein LOOP-Programm an, das die Anweisung IF x i = x k THEN Q realisiert. 31) Das folgende WHILE-Programm erhält seine Eingabe in x 1 (alle anderen Variablen sind also anfänglich 0), der berechnete Funktionswert steht in x 0. (Es wird dabei als bekannt vorausgesetzt, dass die Programmiersprache WHILE auch multiplizieren kann. Außerdem ist die verwendete IF-Anweisung nach Aufgabe 6 in einem LOOP-Programm, und somit auch in einem WHILE-Programm möglich.) repeat := 1 WHILE repeat 0 DO x 2 := x 2 + 1; x 3 := x 2 * 7; IF x 3 = x 1 THEN repeat := 0 END x 0 := x 2; Welche (evtl. partielle) Funktion wird von diesem WHILE-Programm berechnet? 32) a) Geben Sie ein lösbares Post sches Korrespondenzproblem mit 3 Wortpaaren an mit einer Lösung, die alle 3 Wortpaare verwendet. b) Zeigen Sie, dass das Post sche Korrespondenzproblem K = ( (01,011), (00101,111), (110,10110) ) keine Lösung hat. c) Was bedeutet die Aussage, dass das Post sche Korrespondenzproblem semientscheidbar ist? (Dies braucht aber nicht gezeigt zu werden.)

8 d) Warum muss es unendlich viele verschiedene Gründe dafür geben, warum ein konkretes Post sches Korrespondenzproblem keine Lösung haben kann? 33) Zeigen Sie: PCP 1 (PCP-Probleme mit genau einem Wortpaar) ist entscheidbar. 34) Betrachten Sie das sog. Partitionsproblem: gegeben: Natürliche Zahlen a 1, a 2,..., a k N. gefragt: Gibt es eine Teilmenge J von {1, 2,..., k}, so dass a i = a i? i J a) Zeigen Sie, dass das Partitionsproblem zur Klasse NP gehört. i J b) Geben Sie einen deterministischen Algorithmus zum Finden einer Lösung des Partitionsproblems und dessen Wachstumsordnung an. (Wie ist egal, z.b. einfach in Worten.) 35) Gegeben ist das konkrete Post sche Korrespondenzproblem K = ( (110,11), (1,101), (010,01), (01,00) ) a) Geben Sie eine Lösung für K an. b) Geben Sie eine weitere Lösung für K an, die mit einem anderen Paar beginnt als die von Ihnen in a) angegebene Lösung. c) Wieviele Lösungen für K gibt es insgesamt? 36) Betrachten Sie das folgende Problem, nennen wir es 4-CLIQUE : gegeben: gefragt: Ein ungerichteter Graph (V,E). Gibt es eine 4-Clique in dem Graphen, also eine 4-elementige Teilmenge von Ecken, die alle paarweise miteinander durch Kanten verbunden sind? Zeigen Sie, dass 4-CLIQUE zur Klasse P gehört. Geben Sie auch die Wachstumsordnung des Algorithmus an, den Sie in Ihrer Begründung verwenden. 37) Gegeben sei ein beliebiges GOTO-Programm M 1: A 1 M 2: A 2 M n: A n mit Marken M i und in GOTO-Programmen erlaubten Anweisungen A i.

9 Geben Sie für jede mögliche in GOTO-Programmen erlaubte Anweisung A ein WHILE- Programm  an, so dass das WHILE-Programm counter := 1; WHILE counter 0 DO IF counter=1 THEN  1; IF counter=2 THEN  2; IF counter=n THEN  n END genau dasselbe tut wie das obige GOTO-Programm. Anweisung A WHILE-Programm  x i := x k + c x i := x k c GOTO M i IF x i = c THEN GOTO M k HALT 38) Auf der Papiermaschine einer Papierfabrik können viele verschiedene Papiersorten P 1, P n produziert werden, von der Wellpappe bis zum Toilettenpapier. Beim Wechsel von der Produktion der Papiersorte P i auf die Papiersorte P k wird eine Umrüstzeit T(i,k) für die Papiermaschine benötigt. Der Wechsel von Sorte P i auf die Sorte P k dauert i.a. unterschiedlich lang als der Wechsel von P k auf P i. Einmal die Woche wird anhand der Auftragslage festgelegt, welche m <n Papiersorten in der nächsten Woche (168 Stunden) produziert werden sollen. Die Produktionszeit für die benötigten Mengen darf dabei 160 Stunden nicht überschreiten (ein Erfahrungswert). Es muss dann eine Reihenfolge für die Produktion der verschiedenen Sorten gefunden werden, bei der die Summe der Umrüstzeiten höchstens 8 Stunden ist. a) Gehört diese Aufgabe zur Klasse P, oder zur Klasse NP, ist sie NP-hart oder sogar NPvollständig? (Ganz kurze Begründung, auf keinen Fall mittels einer Reduktion.) b) Wegen der hohen Umrüstzeiten werden Kleinaufträge gerne aufgeschoben, bis entweder weitere Aufträge für diese Papiersorte vorliegen, oder der Auftrag zum Auffüllen der Produktionszeit von 160 Stunden verwendet werden kann. Üblicherweise werden somit pro Woche nur 3-5 verschiedene Papiersorten produziert. Beziffern Sie unter diesen Randbedingungen den Aufwand (quantitativ). Ist dieser Aufwand auf heutigen Computersystemen in vernünftiger Zeit leistbar oder nicht?

10 39) Als mögliche Anweisungen in einem LOOP-Programm sind zugelassen: Wertzuweisungen: x i := x k + c bzw. x i := x k c (modifizierte Subtraktion) Hintereinanderausführung: P 1 ; P 2 Schleife: LOOP x i DO P END Dabei sind x i und x k Variablen, c eine Konstante und P, P 1 und P 2 LOOP-Programme. Sie dürfen außerdem voraussetzen, dass auch das Addieren und Subtrahieren zweier Variablen in einem LOOP-Programm erlaubt ist (2 Zusatzpunkte, falls Sie dies zeigen). Sei Q ein beliebiges LOOP-Programm. Geben Sie ein LOOP-Programm an, das die Anweisung IF x i x k THEN Q realisiert. 40) Wann heißt eine partielle Funktion f: N k N berechenbar? (N = Menge der natürlichen Zahlen) 41) Betrachten Sie das folgende Problem, nennen wir es 3-CLIQUE : gegeben: gefragt: Ein ungerichteter Graph (V,E) mit mindestens 3 Knoten. Gibt es eine 3-Clique in dem Graphen, also eine 3-elementige Teilmenge von Knoten, die alle paarweise miteinander durch Kanten verbunden sind? Zeigen Sie, dass 3-CLIQUE zur Klasse P gehört. Geben Sie auch die Wachstumsordnung des Algorithmus an, den Sie in Ihrer Begründung verwenden.