Über die Bedeutung der zwei Zahlen m und x 1 für das Aussehen des Graphen wird an anderer Stelle informiert.

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1 Lineare Funktionen - Term - Grundwissen Woran erkennt man, ob ein Funktionsterm zu einer Linearen Funktion gehört? oder Wie kann der Funktionsterm einer Linearen Funktion aussehen? Der Funktionsterm einer Linearen Funktion kann, nachdem man den Funktionsterm so weit wie möglich vereinfacht hat, prinzipiell zwei unterschiedliche Formen haben: A: Die Allgemeine Form: ( x ) m x + n mit m, n IR und m Über die Bedeutung der zwei Zahlen m und n für das Aussehen des Graphen wird an anderer Stelle informiert B: Die Nullstellenform: ( x ) m ( x x ) mit m, x IR und m Über die Bedeutung der zwei Zahlen m und x für das Aussehen des Graphen wird an anderer Stelle informiert Beispiele: (x) x +, also m und n ; ( x ) ( x ), also m und x ; (x) ( x ) x, also m und n ; ( x + ) ( x ( )), also m L (M) M +,m, also kg P (s),5 s +,4, also km m und m m und n,m ; kg m,5 und n,4 km x ; Thomas Unkelbach Seite von

2 Lineare Funktionen - Graph - Grundwissen Woran erkennt man, ob ein Funktionsgraph zu einer Linearen Funktion gehört? oder Wie kann der Funktionsgraph einer Linearen Funktion aussehen? Der Funktionsgraph einer Linearen Funktion hat stets die Form einer Gerade, die nicht parallel zur horizontalen Achse (Rechtsachse, Abszisse) und nicht parallel zur vertikalen Achse (Hochachse, Ordinate) verläuft: Jede (zu einer Linearen Funktion gehörende) Gerade schneidet die vertikale Achse (Hochachse, Ordinate) an genau einer Stelle und schneidet die horizontale Achse (Rechtsachse, Abszisse) an genau einer Stelle Thomas Unkelbach Seite von

3 Lineare Funktionen - Wertetabelle - Grundwissen Woran erkennt man, ob eine Wertetabelle zu einer Linearen Funktion gehört? oder Wie kann die Wertetabelle einer Linearen Funktion aussehen? Die Wertetabelle einer Linearen Funktion hat immer folgende Eigenschaft: Für alle Paare von Wertepaaren ( x ) und ( x ) gilt: x x dh die Quotienten der Differenzen (deshalb der griechische Großbuchstabe Delta) aus -Werten und x-werten haben immer den selben Wert Man beachte die oben angegebene Reihenfolge: die Differenzen der -Werte stehen im Zähler des Bruches, die Differenzen der entsprechenden x-werte stehen im Nenner des Bruches Über die Bedeutung der Zahl m für das Aussehen des Graphen wird an anderer Stelle informiert x m, Beispiele: x ( 7) ( ) ( ) 5 6 ; ; ( ) ; hier ist also m x ( ) ( ) ( ) ; ( ) ; ( ) ; hier also m M in kg,,6,5, 4,5 6, L in m,,,5,7,,7,,m,m,kg kg,m,kg m kg ;,m,m 6,kg,kg,m,kg m kg ; hier ist also m m kg s in km P in,4 7,65,9 8,5,4 8,65,9 7,65 5km,4 km 5,5 5km,5 km ;,9 km,4 km,5 km,5 km ; also m,5 km Thomas Unkelbach Seite von

4 Lineare Funktionen - Grundwissen Funktionen mit Funktionstermen der Form (x) m x + n mit m, n und m heißen Lineare Funktionen; ihre Funktionsgraphen heißen Geraden Der Einfluss der zwei im Funktionsterm auftretenden Parameter m und n auf die Form der Gerade ist wie folgt: Der Parameter m bestimmt Der Parameter n bestimmt über sein Vorzeichen, ob die Gerade (im Koordinatensstem von links nach rechts betrachtet) steigt oder fällt und über seinen Betrag, ob die Gerade stärker oder schwächer als die entsprechende Winkelhalbierende des Koordinatensstems steigt oder fällt Aus diesem Grund bezeichnet man den Parameter m als den Steigungsfaktor der Gerade über sein Vorzeichen, ob die Gerade die Ordinate oberhalb, auf oder unterhalb der Abszisse schneidet über seinen Betrag, in welchem Abstand von der Abszisse die Gerade die Ordinate schneidet Aus diesem Grund bezeichnet man den Parameter n als den Ordinatenabschnitt der Gerade Genauer gilt: Genauer gilt: m > : Die Gerade steigt m < : Die Gerade fällt m < : Die Gerade steigt oder fällt schwächer als die Winkelhalbierende m : Die Gerade steigt oder fällt genau so wie die Winkelhalbierende m > : Die Gerade steigt oder fällt stärker als die Winkelhalbierende n > : Die Gerade schneidet die Ordinate oberhalb der Abszisse im Punkt ( n ) n : Die Gerade schneidet die Ordinate im Punkt ( ) n < : Die Gerade schneidet die Ordinate unterhalb der Abszisse im Punkt ( n ) Geht man von einem beliebigen Punkt der Gerade aus um eine Einheit nach rechts und dann falls m > um m nach oben oder falls m < um m nach unten, dann trifft man auf einen Punkt der Gerade Thomas Unkelbach Seite von

5 Lineare Funktionen - Wert aus Stelle - Grundwissen Gegeben sind eine Lineare Funktion durch den Funktionsterm und eine Stelle x Gesucht ist der zur Stelle x gehörende Funktionswert (x) m x + n Den Funktionswert zur Stelle x einer Linearen Funktion mit dem Funktionsterm (x) m x + n berechnet man, indem man die Stelle x in den Funktionsterm Term (x ) m x n ) + (x) m x + n einsetzt (man erhält den und den Wert des Terms bestimmt Der Wert des Terms ist der gesuchte Funktionswert Beispiele: a) Gegeben ist der Funktionsterm (x) x + und die Stelle x Gesucht ist der zugehörige Funktionswert Setzt man in den Funktionsterm (x) x + die Stelle x ein, so erhält man den Term () + Der Wert dieses Terms ist 5, dh der gesuchte Funktionswert ist 5 b) Gegeben ist der Funktionsterm (x) x und die Stelle x Gesucht ist der zugehörige Funktionswert Setzt man in den Funktionsterm (x) x die Stelle x ein, so erhält man den Term ( ) ( ) Der Wert dieses Terms ist, dh der gesuchte Funktionswert ist c) Gegeben ist der Funktionsterm a(b),5 b, 5 und die Stelle b Gesucht ist der zugehörige Funktionswert a Setzt man in den Funktionsterm a(b),5 b, 5 die Stelle b ein, so erhält man den Term a(),5, 5 Der Wert dieses Terms ist, dh der gesuchte Funktionswert ist a Thomas Unkelbach Seite von

6 Lineare Funktionen - Ordinatenabschnitt aus Term - Grundwissen Was versteht man unter dem Ordinatenabschnitt einer Funktion? Der Ordinatenabschnitt einer Funktion ist per Definition der Wert (dh der - Wert), an dem der Funktionsgraph die Ordinate (oder Hochachse, das ist die vertikale Achse des Koordinatensstems) schneidet Da alle Punkte auf der Ordinate als erste Koordinate den Wert haben, ist der Ordinatenabschnitt einer Funktion der Funktionswert, der zu der Stelle x gehört Wie berechnet man den Ordinatenabschnitt einer Linearen Funktion mit dem Funktionsterm (x) m x + n? Setze die Stelle x in den Funktionsterm (x) m x + n ein; Du erhältst den Term () m + n Berechne den Wert des Terms (Bemerkung: Dieser Wert ist wenn der Funktionsterm in der Form (x) m x + n vorliegt stets der Wert n ) Der Wert des Terms ist der gesuchte Ordinatenabschnitt der Linearen Funktion Beispiele: a) Gegeben ist der Funktionsterm (x) x + Gesucht ist der Ordinatenabschnitt der Funktion Setzt man in den Funktionsterm (x) x + die Stelle x ein, so erhält man den Term () + Der Wert dieses Terms ist, dh der Ordinatenabschnitt der Funktion ist b) Gegeben ist der Funktionsterm (x) x Gesucht ist der Ordinatenabschnitt der Funktion Setzt man in den Funktionsterm (x) x die Stelle x ein, so erhält man den Term () Der Wert dieses Terms ist, dh der Ordinatenabschnitt der Funktion ist c) Gegeben ist der Funktionsterm a(b),5 b, 5 Gesucht ist der Ordinatenabschnitt der Funktion Setzt man in den Funktionsterm a(b),5 b, 5 die Stelle b ein, so erhält man den Term a(),5, 5 Der Wert dieses Terms ist -,5, dh der Ordinatenabschnitt der Funktion ist, 5 Thomas Unkelbach Seite von

7 Lineare Funktionen - Punkte - Grundwissen Gegeben sind eine Lineare Funktion durch den Funktionsterm und ein Wertepaar bzw ein Punkt (x ) P P(x (x) m x + n Zu entscheiden ist, ob das Wertepaar ) zu der Linearen Funktion gehört bzw ob der Punkt P(x ) auf dem Graphen der Linearen Funktion liegt Man überprüft, ob ein Wertepaar P(x ) zu einer Linearen Funktion mit dem Funktionsterm (x) m x + n gehört bzw ob ein Punkt P(x ) auf dem Graphen der Linearen Funktion mit dem Funktionsterm (x) m x + n liegt, indem man die Koordinaten x und in die Funktionsgleichung m x + n einsetzt (man erhält die Aussage m x + n ) und überprüft, ob es sich um eine wahre oder um eine falsche Aussage handelt Handelt es sich um eine wahre Aussage, so gehört das Wertepaar zu der Linearen Funktion, handelt es sich um eine falsche Aussage, so gehört das Wertepaar nicht zu der Linearen Funktion Beispiele: a) Gegeben ist der Funktionsterm (x) x + und das Wertepaar P ( 5) Zu entscheiden ist, ob das Wertepaar zu der Linearen Funktion gehört Setzt man in die Funktionsgleichung x + die Koordinaten x und 5 ein, so erhält man die Aussage Dies ist eine wahre Aussage, das Wertepaar gehört also zu der Linearen Funktion b) Gegeben ist der Funktionsterm (x) x und der Punkt P( ) Zu entscheiden ist, ob der Punkt auf dem Graphen der Linearen Funktion liegt Setzt man in die Funktionsgleichung x die Koordinaten x und ein, so erhält man die Aussage ( ) Dies ist eine falsche Aussage, der Punkt liegt also nicht auf dem Graphen der Linearen Funktion Thomas Unkelbach Seite von

8 Lineare Funktionen - Stelle aus Wert - Grundwissen Gegeben sind eine Lineare Funktion durch den Funktionsterm und ein Funktionswert Gesucht ist die zum Funktionswert gehörende Stelle x (x) m x + n Die zum Funktionswert gehörende Stelle x einer Linearen Funktion mit dem Funktionsterm (x) m x + n berechnet man, indem man, indem man den Funktionswert in die Funktionsgleichung m x + n einsetzt (man erhält die Gleichung m x + n mit der Variablen x) und die Lösungsmenge dieser Gleichung bestimmt Die Zahl in der Lösungsmenge ist die gesuchte Stelle x Beispiele: a) Gegeben ist der Funktionsterm (x) x + und der Funktionswert 5 Gesucht ist die zugehörige Stelle x Setzt man in die Funktionsgleichung x + den Funktionswert 5 ein, so erhält man die Gleichung 5 x + mit der Variablen x Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist L { }, dh die gesuchte Stelle ist x b) Gegeben ist der Funktionsterm (x) x und der Funktionswert Gesucht ist die zugehörige Stelle x Setzt man in die Funktionsgleichung x den Funktionswert ein, so erhält man die Gleichung x mit der Variablen x Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist L { }, dh die gesuchte Stelle ist c) Gegeben ist der Funktionsterm a(b),5 b, 5 und der Funktionswert a Gesucht ist die zugehörige Stelle b Setzt man in die Funktionsgleichung a,5 b, 5 den Funktionswert a ein, so erhält man die Gleichung,5 b, 5 mit der Variablen b Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist L {}, dh die gesuchte Stelle ist b x Thomas Unkelbach Seite von

9 Lineare Funktionen - Nullstelle aus Term - Grundwissen Was versteht man unter einer Nullstelle einer Funktion? Eine Nullstelle einer Funktion ist per Definition eine Stelle (dh ein x-wert), an der der Funktionsgraph die Abszisse (oder Rechtsachse, das ist die horizontale Achse des Koordinatensstems) schneidet Da alle Punkte auf der Abszisse als zweite Koordinate den Wert haben, ist eine Nullstelle einer Funktion eine Stelle x, die als Funktionswert hat Wie berechnet man die Nullstelle einer Linearen Funktion mit dem Funktionsterm (x) m x + n? Setze den Funktionswert in die Funktionsgleichung m x + n ein; Du erhältst die (Lineare) Gleichung m x + n mit der Variablen x Bestimme (durch Auflösen der Gleichung nach der Variablen x ) die Lösungsmenge dieser (Linearen) Gleichung Die Zahl in der Lösungsmenge ist die gesuchte Nullstelle der Linearen Funktion Beispiele: a) Gegeben ist der Funktionsterm (x) x + Gesucht ist die Nullstelle der Funktion Setzt man in die Funktionsgleichung x + den Funktionswert ein, so erhält man die Gleichung x + mit der Variablen x Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist { }, dh die Nullstelle der Funktion ist x L b) Gegeben ist der Funktionsterm (x) x Gesucht ist die Nullstelle der Funktion Setzt man in die Funktionsgleichung x den Funktionswert ein, so erhält man die Gleichung x mit der Variablen x Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist L { 5}, dh die Nullstelle der Funktion ist x 5 c) Gegeben ist der Funktionsterm a(b),5 b, 5 Gesucht ist die Nullstelle der Funktion Setzt man in die Funktionsgleichung a,5 b, 5 den Funktionswert a ein, so erhält man die Gleichung,5 b, 5 mit der Variablen b Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist L {6}, dh die Nullstelle der Funktion ist b 6 Thomas Unkelbach Seite von

10 Lineare Funktionen - Graph in Term - Grundwissen Wie bestimmt man den Funktionsterm (x) m x + n einer Linearen Funktion, genauer die Werte der beiden Parameter m und n des Funktionsterms, wenn nur der Graph der Funktion bekannt ist? Der Parameter m des Funktionsterms ist der Steigungsfaktor des Funktionsgraphen; der Parameter n des Funktionsterms ist der Ordinatenabschnitt des Funktionsgraphen Zuerst bestimmt man den Wert des Parameters n (des Ordinatenabschnitts): Lies auf der Ordinate, das ist die vertikale oder Hochachse, ab, an welcher Stelle der Funktionsgraph die Ordinate schneidet Dieser Wert ist der gesuchte Wert des Parameters n (des Ordinatenabschnitts) Dann bestimmt man den Wert des Parameters m (des Steigungsfaktors): Zeichne an den Funktionsgraphen ein (rechtwinkliges und möglichst großes) Steigungsdreieck Lies in diesem Steigungsdreieck die Länge der vertikalen Kathete ab (falls der Graph fällt, ist dieser Wert negativ) Lies im gleichen Steigungsdreieck die Länge x der horizontalen Kathete ab Berechne aus den Werten und x den Quotienten x Dieser Quotient ist der gesuchte Wert des Parameters m (des Steigungsfaktors) Thomas Unkelbach Seite von

11 Beispiele: 8 6 n O 4 - x m x 4-4 x 4 n O x x - - m x - L in m O n,m L m M 6kg M in kg L m m M 6kg m kg Thomas Unkelbach Seite von

12 Lineare Funktionen - Punkte in Term - Grundwissen Gegeben sind zwei Punkte P(x ) und Q(x ), die auf einer Geraden, dh dem Graphen einer Linearen Funktion liegen Gesucht ist der Funktionsterm (x) m x + n dieser Linearen Funktion Den Funktionsterm (x) m x + n der Linearen Funktion, auf deren Graph die Punkte P(x ) und Q(x ) liegen, berechnet man, indem man den Steigungsfaktor m mit dem Term m berechnet x x den berechneten Steigungsfaktor m und die Koordinaten eines der beiden Punkte, zb ( x ), in die Funktionsgleichung m x + n einsetzt (man erhält die Gleichung m x n mit der Variablen n) + und die Lösungsmenge dieser Gleichung bestimmt Die Zahl in der Lösungsmenge ist der noch fehlende Ordinatenabschnitt n Beispiele: a) Gegeben sind die Punkte P ( ) und Q ( 7), die auf einer Geraden, dh dem Graphen einer Linearen Funktion liegen Gesucht ist der Funktionsterm dieser Linearen Funktion 7 4 Zuerst berechnet man m Dann setzt man diesen Steigungsfaktor m und die Koordinaten eines der beiden Punkte, zb ( ) in die Funktionsgleichung ein und erhält die Gleichung + n mit der Variablen n Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist L { }, also ist der Ordinatenabschnitt n und der Funktionsterm lautet (x) x + b) Gegeben sind die Punkte P (,5,8) und Q (,), die auf einer Geraden, dh dem Graphen einer Linearen Funktion liegen Gesucht ist der Funktionsterm dieser Linearen Funktion,,8,6 Zuerst berechnet man m, 4,5,5 Dann setzt man diesen Steigungsfaktor m, 4 und die Koordinaten eines der beiden Punkte, zb (,5,8) in die Funktionsgleichung ein und erhält die Gleichung,8,4,5 + n mit der Variablen n Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist L {,9}, also ist der Ordinatenabschnitt n,9 und der Funktionsterm lautet (x),4 x +, 9 Thomas Unkelbach Seite von

13 Lineare Funktionen - Steigung und Punkt in Term - Grundwissen Gegeben sind der Steigungsfaktor m einer Geraden und ein Punkt P(x ) der auf der Geraden, dh dem Graphen einer Linearen Funktion liegt Gesucht ist der Funktionsterm (x) m x + n dieser Linearen Funktion, Den Funktionsterm (x) m x + n der Linearen Funktion, deren Graph den Steigungsfaktor m hat und auf deren Graph der Punkt P(x ) liegt, berechnet man, indem man den Steigungsfaktor m und die Koordinaten des Punktes ( x ) in die Funktionsgleichung m x + n einsetzt (man erhält die Gleichung m x n mit der Variablen n) + und die Lösungsmenge dieser Gleichung bestimmt Die Zahl in der Lösungsmenge ist der noch fehlende Ordinatenabschnitt n Beispiele: a) Gegeben sind der Steigungsfaktor m einer Geraden und der Punkt P ( ), der auf der Geraden, dh dem Graphen einer Linearen Funktion liegt Gesucht ist der Funktionsterm dieser Linearen Funktion Zuerst setzt man diesen Steigungsfaktor m und die Koordinaten des Punktes ( ) in die Funktionsgleichung ein und erhält die Gleichung + n mit der Variablen n Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist L { }, also ist der Ordinatenabschnitt n und der Funktionsterm lautet (x) x + b) Gegeben sind der Steigungsfaktor m, 4 einer Geraden und der Punkt P (,5,8), der auf der Geraden, dh dem Graphen einer Linearen Funktion liegt Gesucht ist der Funktionsterm dieser Linearen Funktion Zuerst setzt man diesen Steigungsfaktor m, 4 und die Koordinaten des Punktes (,5,8) in die Funktionsgleichung ein und erhält die Gleichung,8,4,5 + n mit der Variablen n Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist L {,9}, also ist der Ordinatenabschnitt n,9 und der Funktionsterm lautet (x),4 x +, 9 Thomas Unkelbach Seite von

14 Lineare Funktionen - Ordinatenabschnitt und Punkt in Term - Grundwissen Gegeben sind der Ordinatenabschnitt n einer Geraden und ein Punkt P(x ) der auf der Geraden, dh dem Graphen einer Linearen Funktion liegt Gesucht ist der Funktionsterm (x) m x + n dieser Linearen Funktion, Den Funktionsterm (x) m x + n der Linearen Funktion, deren Graph den Ordinatenabschnitt m hat und auf deren Graph der Punkt P(x ) liegt, berechnet man, indem man den Ordinatenabschnitt n und die Koordinaten des Punktes ( x ) in die Funktionsgleichung m x + n einsetzt (man erhält die Gleichung m x n mit der Variablen m) + und die Lösungsmenge dieser Gleichung bestimmt Die Zahl in der Lösungsmenge ist der noch fehlende Steigungsfaktor m Beispiele: a) Gegeben sind der Ordinatenabschnitt n einer Geraden und der Punkt P ( ), der auf der Geraden, dh dem Graphen einer Linearen Funktion liegt Gesucht ist der Funktionsterm dieser Linearen Funktion Zuerst setzt man diesen Ordinatenabschnitt n und die Koordinaten des Punktes ( ) in die Funktionsgleichung ein und erhält die Gleichung m + mit der Variablen m Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist L {}, also ist der Steigungsfaktor m und der Funktionsterm lautet (x) x + b) Gegeben sind der Ordinatenabschnitt n, 9 einer Geraden und der Punkt P (,5,8), der auf der Geraden, dh dem Graphen einer Linearen Funktion liegt Gesucht ist der Funktionsterm dieser Linearen Funktion Zuerst setzt man diesen Ordinatenabschnitt n, 9 und die Koordinaten des Punktes (,5,8) in die Funktionsgleichung ein und erhält die Gleichung,8 m,5 +, 9 mit der Variablen m Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist L {,4}, also ist der Steigungsfaktor m,4 und der Funktionsterm lautet (x),4 x +, 9 Thomas Unkelbach Seite von