FUNKTIONEN. ein Leitprogramm für die Berufsmaturität

Transkript

1 FUNKTIONEN ein Leitprogramm für die Berufsmaturität von Johann Berger 2000

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung 3 Arbeitsanleitung 3 1 Der Funktionsbegriff 3 2 Lineare 6 3 Quadratische 10 EINLEITUNG Dieses Leitprogramm behandelt den Funktionsbegriff. Es werden alle elementaren behandelt, welche für die Berufsmaturität vorgeschrieben sind. Der Stoff ist in Kapitel eingeteilt, gemäss der Einteilung der. Gemeinsamkeiten aller Funktionstypen werden hervorgehoben. Die Verwendung eines grafikfähigen Taschenrechners wird empfohlen. Als Lehrmittel wird auf 'Mathematik für Berufsmittelschulen' von Peter Frommenwiler verwiesen. Voraussetzungen: Algebra (Termumformungen), Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen, rechtwinklige Koordinatensysteme. Wertvolle Anregungen stammen aus den Leitprogrammen der ETH. Dieses Leitprogramm wird weiter entwickelt. Weitere Anregungen nimmt gerne entgegen: Johann Berger Gäbelbachstrasse Bern hans.berger@johnny.ch Einleitung, Lineare Seite J. Berger

3 ARBEITSANLEITUNG Die verschiedenen Kapitel sollten der Reihe nach bearbeitet werden. Jedes Kapitel beginnt mit den Lernzielen. Danach folgt die Darstellung des Stoffes und darin eingebettet verschiedene Übungsaufgaben. Es kann einzeln oder in kleinen Gruppen gearbeitet werden. Die eingestreuten Aufgaben sollten selbständig gelöst werden. Die Lösungen befinden sich jeweils am Kapitelende. Jedes Kapitel wird mit einer Lernkontrolle abgeschlossen. Die Lernenden bestimmen selbst wann sie diesen Test beim Lehrer ablegen wollen. Das nächste Kapitel kann erst nach dem bestandenem Test bearbeitet werden. Die Angegebenen Zeiten beziehen sich nur auf die Bearbeitung des Leitprogrammes. Je nach Kapitel sind weitere Übungen nach Angabe des Lehrers zu machen. Einleitung, Lineare Seite J. Berger

4 1. Der Funktionsbegriff (Zeit: 3 Lektionen) Lernziele: Definition einer Funktion kennen, Grundbegriffe kennen (Definitionsbereich, Wertebereich), verschiedene Schreibweisen für kennen, Darstellung im rechtwinkligen Koordinatensystem beherrschen. gehören neben den Gleichungen zum zentralen Mathematiklehrstoff. Beispiel: Die meisten Lehrer bewerten schriftliche Arbeiten nach einem Punktesystem. z.b. sollen 20 Punkte die Note 6 ergeben und 4 Punkte die Note 2. Es besteht also ein eindeutiger Zusammenhang zwischen den Punkten und der Note. Für eine bestimmte Punktzahl kann es nicht zwei verschiedene Noten geben. Andererseits ist eine Note nur für Punkte zwischen 4 und 20 definiert. Für die Berechnung der Noten benutzt der Lehrer meistens die Formel: N = 0.25P + 1 aber auch diese Formel N = P P würde (fast) die gleichen Noten ergeben (die Zahlenwerte sind hier gerundet). Definition: Im obigen Beispiel ist der Definitionsbereich D = { 4, 5, 6,..., 18, 19, 20 }, also eine Teilmenge der natürlichen Zahlen. (Wenn der Lehrer auch Bruchteile von Punkten vergibt oder wenn auch weniger als 4 Punkte benotet werden, muss D entsprechend erweitert werden.) Die Funktionsvorschrift wird mit einer Funktionsgleichung N = 0.25P + 1 festgelegt. Der Wertebereich W ist eine Teilmenge der rationalen Zahlen zwischen 2 und 6. Aufgaben 1.1 Welche Note bekommt man für 10 Punkte? 1.2 Wie viele Punkte muss man für die Note 4.5 machen? 1.3 Gibt die quadratische Formel bessere Noten? Die Schreibweise für ist unterschiedlich: - als Zuordnung: f : x y jedem x wird genau ein y zugeordnet - als Funktionsvorschrift: f(x) = 0.25x + 1 'f von x gleich...' - als Funktionsgleichung: y = 0.25x + 1 Wir verwenden meistens die Funktionsgleichung, gelegentlich die Funktionsvorschrift. Nicht jede Gleichung ist jedoch eine Funktionsgleichung. Beispiel: Die Gleichung y=± x+3 ist keine Funktionsgleichung, da jedem x > -3 zwei Zahlenwerte zugeordnet werden Aufgabe 1.4 Welche der Gleichungen sind Funktionsgleichungen? (1) y = x2-6x + 7 (2) y 2 = x 2-25 (3) y -1 = x (4) sin(x) = cos(x) Eine Funktion ist eine Vorschrift, welche jeder Zahl aus einem Definitionsbereich D genau eine Zahl in einem Wertebereich W zuordnet. Einleitung, Lineare Seite J. Berger

5 Oft werden graphisch dargestellt. In einem rechtwinkligen Koordinatensystem (kartesisches Koordinatensystem) werden die x-werte auf der x- Achse eingezeichnet, rechtwinklig dazu die y-werte. Der Graph einer Funktion ist die Punktmenge P = {(x ;y) x D }. Die komplizierte Schreibweise besagt: wir nehmen eine beliebige Zahl x aus dem Definitionsbereich D wir berechnen mit der Funktionsgleichung das zugehörige y beide Zahlen bilden ein Zahlenpaar (x;y) jedes Zahlenpaar (x;y) ein Punkt im Koordinatensystem die Menge aller Punkte P heisst Graph der Funktion Aufgabe 1.5 Welcher der folgenden Graphen gehört zu einer Funktion? Aufgaben 1.6 Zeichnen Sie den Graphen der Notenfunktion aus dem einleitenden Beispiel. Der Definitionsbereich D einer Funktion gibt an, für welche Zahlen die Funktion definiert ist. In der Regel ist der Definitionsbereich eine Teilmenge der reellen Zahlen. Der Definitionsbereich bezieht sich auf die x-achse. In Aufgabe 1.4 gilt für (1) D = R, und für (3) ist D = R \ {0} Aufgabe 1.7 Lösen Sie die Aufgabe 592 (Frommenwiler) Der Wertebereich W ist die Menge aller Funktionswerte. Der Wertebereich bezieht sich auf die y-achse. Beispiel (1) in Aufgabe 1.4 hat den Wertebereich W = { y R y 2 } (siehe quad. ) Beispiel (3) hat den Wertebereich W = { y R y 0} Aufgabe 1.9 Bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion y= x+5 Die Lösungen zu den Kapitelaufgaben finden Sie auf der nächsten Seite. Damit ist das erste Kapitel abgeschlossen. Bevor Sie zum zweiten Kapitel übergehen, melden Sie sich bitte beim Lehrer für den Kapiteltest. Einleitung, Lineare Seite J. Berger

6 Lösungen zu den Kapitelaufgaben: 1.1 Es gilt N = 0.25* = Es gilt 4.5 = 0.25P + 1, somit P = 14 Punkte 1.3 Für 4 Punkte gibt es die Note und für 20 Punkte die Note Der Graph der zugehörigen Funktion ist eine nach unten geöffnete Parabel und verläuft somit überall oberhalb der linearen Notenfunktion. Es gibt bessere Noten. (quadratische werden später behandelt) 1.4 (1) ist eine Funktionsgleichung, jedem reellen x wird genau eine Zahl zugeordnet. (2) ist keine Funktionsgleichung, jedem reellen x <5 werden zwei Zahlen zugeordnet. (3) ist eine Funktionsgleichung (y = 1/x) (4) ist keine Funktionsgleichung, die Zuordnung fehlt 1.5 Der Kreis ist nicht Graph einer Funktion, da den meisten x-werten zwei Kreispunkte zugeordnet werden. Der mittlere Graph gehört zu einer Funktion. Der rechte Graph gehört nicht zu einer Funktion, da auf der linken Seite einem x-wert mehrere Punkte zugeordnet werden Frommenwiler Der Wurzelterm ist definiert für x 5 Der Wertebereich ist W = { y R y 0} (Der Graph ist rechts abgebildet) Einleitung, Lineare Seite J. Berger

7 2. Lineare (Zeit 5 Lektionen) Lernziele: Lineare y = ax + b erkennen, Bedeutung der Parameter a und b kennen, Steigung und y-achsenabschnitt bestimmen, Graph skizzieren, Nullstelle berechnen, Geradengleichungen bestimmen, Schnittpunkte zweier Geraden berechnen, rechtwinklige Geraden, Steigungswinkel. Definition: Eine Funktion mit der Funktionsgleichung y = ax + b heisst linear Aufgabe 2.1 Lösen Sie Aufgabe 599 (Frommenwiler) Der Graph der speziellen linearen Funktion y = ax ist eine Gerade. Dies lässt sich mit den Strahlensätzen oder mit der Ähnlichkeit überprüfen. Aufgabe 2.2 Zeichnen Sie die Graphen der y = 2x und y = 0.5x Der Graph der allgemeinen linearen Funktion y = ax + b unterscheidet sich von jenem der Funktion y = ax nur durch eine Parallelverschiebung um b (in y-richtung). Der Graph jeder linearen Funktion y = ax + b ist eine Gerade. Die beiden Parameter a und b bestimmen die Gerade: setzt man für x = 0 ein, so folgt y = b, d.h. b ist der y-achsenabschnitt der Geraden A und B seien zwei beliebige Punkte der Geraden: A(x A ;y A ), B(x B ;y B ) Die Differenz der y-koordinaten ist y = y A - y B und die Differenz der x-koordinaten ist x = x A - x B Der Quotient y y yb = x x x A = A B a ist die Steigung der Geraden. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens eines Winkels definiert als Quotient der Gegenkathete und der Ankathete. Somit ist die Steigung a einer Geraden gleich dem Tangens des Steigungswinkels. Einleitung, Lineare Seite J. Berger

8 Aufgabe 2.3 Zeichnen Sie die Gerade durch A(3;5) und B(7;2) und berechne die Steigung und den Steigungswinkel. Ist die Steigung a > 0, so steigt die Gerade (wie im vorherigen Bild). Ist die Steigung a = 0, so verläuft die Gerade parallel zur x-achse. Ist die Steigung a < 0, so sinkt die Gerade. Es gibt zwar zu jedem reellen a eine lineare Funktion, und somit auch eine Gerade, aber nicht jede Gerade ist Graph einer linearen Funktion. Aufgaben 2.4 Welches sind die Ausnahmen? 2.5 Lösen Sie Aufgabe 604 (Frommenwiler) Die Nullstellen einer Funktion sind die Schnittpunkte ihres Graphen mit der x-achse. Lineare haben höchstens eine Nullstelle (Ausnahme y = 0). Sie wird berechnet indem für y = 0 eingesetzt wird. Aufgabe 2.6 Berechnen Sie die Nullstellen aus Nr 2.5 Gerade durch 2 Punkte In Aufgabe 2.3 wurde bereits die Steigung der Geraden durch A(3;5) und B(7;2) berechnet. Für den y-achsenabschnitt b setzt man die Koordinaten von A (oder von B) in die Gleichung y = ax + b ein: 5 = -0.75(3) + b und daraus b = 7.25 Aufgabe 2.7 Lösen Sie die Aufgaben 606 d, 609 b, und 610 a (Frommenwiler) Den Schnittpunkt zweier Geraden erhält man als Lösungsmenge des zugehörigen Gleichungssystems. Aufgabe 2.8 Lösen Sie Aufgabe 611 b Rechtwinklige Geraden Dreht man die Strecke AB mitsamt dem Steigungsdreieck um A um 90, so steht A'B' rechtwinklig zu AB und die Koordinaten von B' sind (x A - y ; y A + x) (y Die Steigung von B'A' ist A + x) ya (x A y) x A Ein Vergleich mit der Steigung von AB ergibt: y x = 1 x y Das Steigungsprodukt rechtwinkliger Geraden ist somit immer -1. Aufgaben 2.9 Lösen Sie Aufgabe 631 (Frommenwiler)0 Einleitung, Lineare Seite J. Berger

9 Die Lösungen zu den Kapitelaufgaben finden Sie auf der nächsten Seite. Damit ist das zweite Kapitel abgeschlossen. Bevor Sie zum dritten Kapitel übergehen, melden Sie sich bitte beim Lehrer für den Kapiteltest. Besuchen Sie meine Homepage unter Onlinete Learning und bearbeiten Sie das interaktive puzzle. Lösungen zu den Kapitelaufgaben: 2.1 f 1 ist nicht linear Gleichung y = (2t - 1) -1 f 2 ist nicht linear u 2 6 f 3 ist linear y= n+ 5 5 f 4 ist nicht linear 2 n f 5 ist nicht linear Gleichung y = (x - a)(x - b) -1 f 6 ist nicht linear 1 x f 7 ist linear f 8 ist linear y = a(b - 2) f 9 ist linear y ab z a = + 5 5b f 10 ist linear f 11 ist linear für x # 0 f 12 ist linear f(y) = -2ny + n Bild rechts 2.3 Steigung a = -0.75, Steigungswinkel Alle Geraden parallel zur y-achse 2.5 a: y = (1/3)x b: y = -2.5x c: y = (1/3)x + 3 d: y = 7 e: y = -x -4 f: y = -0.8x g: y = 2.5x a: N(0;0) b: N(0;0) c: N(-9;0) d: keine e: N(-4;0) f: N(-9.75;0) g: N(4.6;0) d: y = 3x b: y = 7.2x a: y = 5.5x b S(-10;12) H( ; ) Einleitung, Lineare Seite J. Berger