Die Steigung m ist ein Quotient zweier Differenzen und heißt daher Differenzenquotient.

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1 Seite Definition lineare Funktion Eine Funktion f mit dem Funktionsterm f(x) = m x + b, also der Funktionsgleichung y = m x + b, heißt lineare Funktion. Ihr Graph G f ist eine Gerade mit der Steigung m und dem y Achsenabschnitt b. Steigung Berechnung, Steigungsdreieck, Differenzenquotient Die Steigung einer linearen Funktion ist konstant, d. h. überall gleichgroß. Für zwei beliebige Punkte auf der Geraden P (x /f(x )) und P (x /f(x )), also P (x /y ) und P (x /y ), f (x gilt: m = ) - f (x) y = - y x - x x - x Die Steigung m ist ein Quotient zweier Differenzen und heißt daher Differenzenquotient. Die Differenz im Zähler entspricht der Länge der senkrechten Strecke im Steigungsdreieck, die Differenz im Nenner entspricht der Länge der waagerechten Strecke im Steigungsdreieck. Darstellung des Zusammenhangs in einer Zeichnung: Achsenabschnitte y- Achsenabschnitt Kennt man einen beliebigen Punkt P(x/f(x)) bzw. P(x/y) und die Steigung m der Geraden, so berechnet man b mit der Formel b = y - m x. (Das ergibt sich aus y = m x +b) Nullstelle Der x- Wert, bei dem die Gerade die x-achse schneidet, heißt Nullstelle der Geraden. Man berechnet die Nullstelle durch das Lösen der Gleichung 0 = m x +b.

2 Seite Parallele und orthogonale Geraden Zwei Geraden G und G haben die Steigungen m und m. - Die Geraden sind genau dann parallel, wenn m = m gilt. - Die Geraden stehen genau dann senkrecht zueinander (sind orthogonal), wenn m = gilt. m Abstand von zwei Punkten Zwei beliebige Punkte P (x /f(x )) und P (x /f(x )), (also P (x /y ) und P (x /y )), haben den Abstand d = ( x - x) + (y - y) Dies ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras, der auf die nebenstehende Zeichnung angewandt ergibt: d = (x x ) + (y y ) Aufgaben ) Durch die Punkte P ( / 3) und P (4 / 5) ist eine Gerade festgelegt Wie lautet die Geradengleichung? ) Bestimmen Sie bei den folgenden Geraden die Gleichungen und die Nullstellen! a) P ( / ) und P (/4) b)p ( 0 4 / ) und 3 3 P (0/5) 5 c) P ( 3/ ) und P (/ ) d) P ( 7 / 3 9 ) und P (/ ) e) In welchem Punkt schneiden sich die Geraden aus a) und b)? f) Überprüfen Sie, ob der Punkt P(0/-9) auf der Geraden aus c) liegt. 3) Gegeben ist der Funktionsterm f (x) = 5 x + einer Geraden G. a) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden G, die an der Stelle x= senkrecht zu G steht. b) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden G 3, die parallel zur Geraden G durch den Punkt Q(/) verläuft. 4) Gegeben ist die Gerade G durch den Funktionsterm f(x) = 4 x - 3 und der Punkt P(/3). Berechnen Sie die kürzeste Entfernung zwischen dem Punkt P und der Geraden G.

3 Seite 3 Definition Eine Funktion der Form f : x a x + b x + c, mit a,b,c R, a 0 heißt quadratische Funktion, der zugehörige Graph heißt Parabel. a) Die Normalparabel f : x x Grundform und Grundeigenschaften y aller Graphen von quadratischen Funktionen kann man am Graph dieser 'einfachsten' quadratischen Funktion, der Normalparabel Normalparabel erkennen: Der Graph ist krummlinig [hier: steil fallend flach fallend flach steigend stark steigend] x hat genau einen Scheitelpunkt [hier:der Punkt (0/0) ist tiefster Punkt] ist symmetrisch zur Senkrechten durch den Scheitelpunkt [hier: symmetrisch zur y-achse] b) Stauchung, Spiegelung an der x-achse und Streckung f : x + x 4 f : x x 4 f3 : x + 4 x gestaucht y gestreckt f 3 f Je nach Wahl des Faktors vor dem x wird der Graph der Normalparabel folgendermaßen verändert: x -<Faktor<: Der Graph ist gestaucht, d. h.: Der Graph ist 'flacher' und 'breiter' als der Graph der Normalparabel. Beispiele hier: f, f. Faktor<0: Spiegelung an der x- Achse. Z.B.: Der Graph von f ist der an der x-achse gespiegelte Graph von f. f gespiegelt u. gestaucht Faktor<- oder Faktor>: Der Graph ist gestreckt, d.h.er ist 'steiler' und 'schmaler' als der Graph der Normalparabel. Beispiel hier: f 3.

4 Seite 4 c) Verschiebungen in y- Richtung und in x- Richtung: f : x x +3; f : x x - 4 f 3 : x (x - 5) [= x -0x+5]; Wird nach dem Quadrieren von x eine Zahl addiert [oder subtrahiert], so wird der Graph der Normalparabel um den Wert dieser Zahl nach oben [unten] verschoben, denn alle Quadrate werden um den Wert dieser Zahl größer [kleiner]. f f y f 3 Wird vor dem Quadrieren eine Zahl zum x-wert addiert [oder subtrahiert], so wird der Graph der Normalparabel um den Wert dieser Zahl nach links [rechts] verschoben, denn die Quadratwerte (..) entstehen nicht direkt aus dem eingesetzten x-wert, sondern aus dem um die Zahl 'verschobenen' x-wert. x Die Verschiebung in x-richtung erkennt man nicht direkt aus der [rechten] ausmultiplizierten Form des Terms In a) bis c) sind die grundsätzlich möglichen Veränderungen der Normalparabel einzeln beschrieben. Alle Veränderungen sind beliebig kombinierbar. Dabei bleibt stets das typische, nur leicht veränderte Bild der Normalparabel wie es unter a) beschrieben ist, erhalten. Welche Informationen über den Verlauf des Graphen einer quadratischen Funktion können direkt aus dem Funktionsterm abgelesen werden? ) Die Scheitelpunktform f(x) =a ( x + s) + t ; a, s, t R a 0 Liegt der Funktionsterm in Scheitelpunktform vor, so kann man direkt ablesen:. die Verschiebung der Normalparabel in x- Richtung um -s und in y- Richtung um +t. damit ergeben sich die Koordinaten des Scheitelpunktes S: S(-s,t). Stauchung, Streckung und Spiegelung an der x-achse (je nach Wert des Faktors a) 3. die Art des Scheitelpunktes ( a>0: Hochpunkt, a< 0: Tiefpunkt) indirekt ergibt sich daraus 4. die Anzahl und Art der Nullstellen (x-wert(e) mit dem y-wert 0): - eine Nullstelle, wenn der Scheitelpunkt auf der x-achse liegt, der Graph schneidet die x-achse nicht, sondern die x-achse wird berührt, - zwei Nullstellen, wenn der SP oberhalb [unterhalb] der x-achse liegt und ein HP [TP] ist, der Graph schneidet die x-achse zweimal. - keine Nullstelle sonst, Beispiele: ) f(x) = (x 3) + 4 S(3/4) ist HP, Graph ist gestreckt, es gibt Nst.. ) f(x) = + (x + ) S(-/4) ist TP, Graph ist gestaucht, es gibt Nst.. 3) f(x) = x 5 S(0/-5) ist HP, Graph ist wie NP, es gibt keine Nst.

5 Seite 5 ) Die Polynomform f(x) = a x + b x + c Liegt der Funktionsterm in Polynomform vor, so kann man direkt ablesen:. Stauchung, Streckung und Spiegelung an der x-achse (je nach Wert des Faktors a). die Art des Scheitelpunktes ( a>0: Hochpunkt, a< 0: Tiefpunkt) 3. den y-achsenabschnitt (y-wert zum x-wert 0) : Bei y=c wird die y-achse geschnitten. Da jede Polynomform mit der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform umgewandelt werden kann, kann man indirekt auch erschließen: b 4. den x-wert des Scheitelpunktes: a Beispiele: ) f(x) = x + x 4 gespiegelt und gestreckt, S ist HP. y-a : -4 SP an der Stelle x =+3 ) f(x) = x + x gestaucht, S ist TP, y-achsenabschnitt: +, Sp an der Stelle x = Nullstellen von quadratischen Funktionen: Von besonderem Interesse sind stets die Nullstellen von Funktionen. Aus der Polynomform läßt sich nur sehr schwer oder nur in besonders einfachen Fällen etwas über die Anzahl und die Art der Nullstellen direkt ablesen. auch aus der Scheitelpunktform lassen sich die Nullstellen nicht direkt ablesen. Die Nullstellen müssen berechnet werden. (s. dazu besonderes Blatt ( p-q-formel) Allgemein kann hier über Nullstellen von quadratischen Funktionen aber festgehalten werden: Satz: Quadratische Funktionen haben entweder keine Nullstelle oder eine Nullstelle: das ist der x-wert des Scheitelpunktes, das bedeutet: der Graph berührt die x-achse in der Nullstelle/im SP oder zwei Nullstellen: das bedeutet: der Graph schneidet die x-achse zweimal, die Nullstellen liegen symmetrisch zum x-wert des Scheitelpunktes.

6 Seite 6 Übungen: ) a) Ergänzen Sie die Wertetabelle. Rechnen Sie dabei möglichst günstig, indem Sie auf vorher berechnete Werte zurückgreifen. b) Machen Sie sich an diesen Beispielen noch einmal die Streckung, Stauchung, Spiegelung und Verschiebung bei quadratischen Funktionen klar. c) Zeichnen Sie die Graphen x - -,5 - -0,5 0 0,5,5,5 α) x β) x γ) x δ) x + 3 ε) x + 3 ζ)( x ) η)( x ) + 3 ϑ) ( x ) + 3 ) Welche Informationen über den Verlauf der Parabel lassen sich ohne Rechnung direkt aus dem gegebenen Funktionsterm ablesen? (Art und Lage des Scheitelpunktes, Anzahl und Art der Nullstellen, y-achsenabschnitt,...) a) f(x) = x 4 b) f(x) = 4 x + c) f(x) = x 3 5 d) f(x) = ( x ) e) f(x) =( x + ) + f) f(x) =5 ( x + ) 3 g) f(x) =x + x + h) f(x) = x + 4x 3 i) f(x) = 6x + x +

7 Lösungen Seite 7 Polynomdivision Terme der Form a n x n +a n- x n- + + a x + a x + a 0 mit reellen Zahlen a n,, a 0 und der Variablen x heißen Polynome n-ten Grades, wobei n der größte Exponent von x ist. Beispiel: 5x 4 + 3x - + x - ist ein Polynom 4. Grades. Vergleichen Sie die folgenden Multiplikationen: a) 3 = 655 b) ( ) ( 0+) = ( ) c) (3 x + x + ) ( x +) = (6 x x + 5 x + ) Vergleichen Sie nun die folgenden Divisionen: a) 655 : = 3 b) ( ): ( 0+) = ( ) 63 -( ) ( 0 + 0) c) (6 x x + 5 x + ): ( x+) = (3 x + x + ) -(6 x x ) x + 5 x + -( x + x) 4 x + 4 x + 0 Dividieren Sie nach derselben Methode und machen Sie die Probe! a) (3 x x + 5 x + ) : (x+) b) (3 x x + 5 x + ) : (3 x 3 + x+) c) (5 x 3 + x + 9 x + 4) : (5 x +x + ) d) ( x +0 x 5-8x 3 5x) : (7 x 3 5x) Anwendungen: Die Polynomdivision wird bei der Nullstellenberechnung und bei der Untersuchung von gebrochenrationalen (Funktions-) Termen eingesetzt. So kann durch Polynomdivision zu ( x + x + ),x x 3 x vereinfacht werden. x 4 x 3 a Dividieren Sie: a) b) x x a

8 Lösungen zu den Aufgaben Lösungen Seite 8 Es empfiehlt sich zu allen Aufgaben kleine qualitative Skizzen anzufertigen, die den Sachverhalt veranschaulichen. zu ) Werte einsetzen in die Formeln für m und b ergibt: y = 3 4 x - 3 zu ) Vorgehen wie in Aufgabe ) ergibt: a) y = x + b) y = 9 0 x + 5 c) y = 3 x d) y = 5 39 x e) Schnittpunkt S berechnen durch Gleichsetzen und Einsetzen: S( / ) f) Werte von P in die Gleichung einsetzen ergibt: -9 = =,7 (f) 5 0 Also liegt P nicht auf der Geraden. zu 3) Berechnung der Steigung (senkrecht zur Steigung 5 ) m = - 5 = - 5 f () = 5 + = 0 9. Also liegt P( / 0 9 ) auf G Berechnung von b : b = + = Die gesuchte Geradengleichung ist: y = - x +. 0 zu 4) Eine Skizze sollte den Sachverhalt veranschaulichen! Die kürzeste Entfernung verläuft entlang einer Geraden G, die durch P verläuft und senkrecht zu G ist. Die Entfernung ist dann durch den Abstand von P zum Schnittpunkt S der beiden Geraden gegeben. Die Geradengleichung von G und S müssen berechnet werden: m = - = - 4; b = = 7 Gleichung von G : y = -4x+7 4 Schnittpunkt S von G und G : (Berechnung durch Gleichsetzen und Einsetzen) S(/-). Entfernung von P(/3) und S(/-): (siehe Formel!) d = ( x + = - x) (y - y) ( - 3) + ( - ) = 7 4,