Kapitel 5. Eigenwerte. Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich der Produktion ist, d.h. wenn.

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1 Kapitel 5 Eigenwerte Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 1 / 42 Geschlossenes Leontief-Modell Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich der Produktion ist, d.h. wenn V x = x Es handelt sich dabei um einen Spezialfall eines Eigenwertproblems. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 2 / 42 Eigenwert und Eigenvektor Ein Vektor x R n, x = 0, heißt Eigenvektor einer n n-matrix A zum Eigenwert λ, falls A x = λ x Die Eigenwerte der Matrix A sind alle Zahlen λ für die ein Eigenvektor existiert. Für eine 3 3-Diagonalmatrix gilt a a 11 A e 1 = 0 a = 0 = a 11 e a e 1 ist also Eigenvektor zum Eigenwert λ = a 11. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 3 / 42

2 Berechnung der Eigenwerte Für eine n n-matrix A müssen wir die Gleichung A x = λx = λix (A λi)x = 0 lösen. Falls (A λi) invertierbar ist, dann ist Dann ist aber λ kein Eigenwert. x = (A λi) 1 0 = 0 λ ist genau dann Eigenwert von A, wenn (A λi) nicht invertierbar ist, d.h. wenn det(a λi) = 0 Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 4 / 42 Charakteristisches Polynom det(a λi) ist ein Polynom n-ten Grades in λ und heißt das charakteristische Polynom der Matrix A. Die Eigenwerte sind die Nullstellen dieses Polynoms. Bemerkung: Es kann sein, dass (alle oder einzelne) Nullstellen des charakteristischen Polynoms komplex sind. Man spricht dann von komplexen Eigenwerten. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 5 / Wir suchen die Eigenwerte von A =. 1 4 Dazu bilden wir das charakteristische Polynom und berechnen deren Nullstellen. 1 λ 2 det(a λi) = 1 4 λ = λ2 5λ + 6 = 0 Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind λ 1 = 2 und λ 2 = 3. A besitzt daher die Eigenwerte 2 und 3. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 6 / 42

3 Berechnung der Eigenvektoren Wir können die Eigenvektoren x zum bekannten Eigenwert λ durch Einsetzen in (A λi)x = 0 berechnen. 1 2 Eigenvektoren von A = zum Eigenwert λ 1 = 2: x 1 0 (A λ 1 I)x = = Lösung mittels Gauß-Elimination: x 2 = α und x 1 = 2α 2 v 1 = α für ein α R \ {0} 1 x 2 Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 7 / 42 Eigenraum Falls x ein Eigenvektor zum Eigenwert λ ist, dann auch jedes Vielfache αx: A (αx) = α(a x) = αλ x = λ (αx) Falls x und y Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert λ sind, dann ist auch x + y ein Eigenvektor: A (x + y) = A x + A y = λ x + λ y = λ (x + y) Die Menge aller Eigenvektoren zum Eigenwert λ (vereinigt mit 0) ist daher ein Unterraum des R n und wird als Eigenraum bezeichnet. Man gibt daher immer nur eine Basis des Eigenraumes an. Die Dimension des Eigenraumes wird auch als (geometrische) Vielfachheit des Eigenwertes bezeichnet. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 8 / Sei A = Eigenvektor zum Eigenwert λ 1 = 2: v 1 = 1 1 Eigenvektor zum Eigenwert λ 2 = 3: v 2 = 1 Die Eigenvektoren zum Eigenwert λ i sind dann alle nichtverschwindenden Vielfache (d.h., = 0) von v i. Computerprogramme geben meist normierte Eigenvektoren aus: v 1 = ( ) und v 2 = ( ) Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 9 / 42

4 2 0 1 Eigenwerte und Eigenvektoren von A = Wir bilden das charakteristische Polynom und berechnen dessen Nullstellen. 2 λ 0 1 det(a λi) = 0 3 λ 1 = (2 λ) λ (λ 5) = λ Wir erhalten die Eigenwerte λ 1 = 2, λ 2 = 0 und λ 3 = 5. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 10 / 42 Eigenvektor(en) zum Eigenwert λ 3 = 5 durch Lösen der Gleichung (2 5) 0 1 (A λ 3 I)x = 0 (3 5) (2 5) x 1 x 2 x 3 = 0 Durch Gauß-Elimination erhalten wir Somit x 3 = α, x 2 = 1 2 α und x 1 = 1 3α für ein beliebiges α R \ {0}. Eigenvektor v 3 = (2,3,6) t Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 11 / 42 1 Eigenvektor zum Eigenwert λ 1 = 2: v 1 = Eigenvektor zum Eigenwert λ 2 = 0: v 2 = Eigenvektor zum Eigenwert λ 3 = 5: v 3 = 3 Die Eigenvektoren zum Eigenwert λ i sind dann alle nichtverschwindenden Vielfache (d.h., = 0) von v i. 6 Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 12 / 42

5 Eigenschaften von Eigenwerten 1. A und A t besitzen dieselben Eigenwerte. 2. Seien A und B zwei n n-matrizen. Dann besitzen die Matrizen A B und B A dieselben Eigenwerte. 3. Ist x ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ, dann ist x ein Eigenvektor von A k zum Eigenwert λ k. 4. Ist x ein Eigenvektor einer regulären Matrix A zum Eigenwert λ, dann ist x ein Eigenvektor von A 1 zum Eigenwert 1 λ. 5. Die Determinante einer n n-matrix A ist gleich dem Produkt der Eigenwerte λ i von A: det(a) = n λ i i=1 6. Die Summe der Eigenwerte λ i einer Matrix A ist gleich der Summe der Diagonalelemente von A (der Spur von A). Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 13 / 42 Eigenwerte ähnlicher Matrizen Sei U eine Transformationsmatrix und C = U 1 A U. Ist x ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ, dann ist U 1 x Eigenvektor von C zum gleichen Eigenwert: C (U 1 x) = (U 1 AU)U 1 x = U 1 Ax = U 1 λx = λ (U 1 x) Ähnliche Matrizen A und C haben die gleichen Eigenwerte und besitzen (unter Berücksichtigung des Basiswechsels) die gleichen Eigenvektoren. Wir wählen für unsere Abbildung eine Basis, sodass die entsprechende Matrix A möglichst einfach wird. Die einfachsten Matrizen sind Diagonalmatrizen. Können wir immer eine Darstellung durch eine Diagonalmatrix finden? Leider nicht immer. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 14 / 42 Symmetrische Matrix Eine n n-matrix A heißt symmetrisch, falls A t = A. Für eine symmetrische Matrix A gilt: Alle n Eigenwerte sind reell. Die Eigenvektoren v i zu verschiedenen Eigenwerten λ i sind orthogonal, d.h. v t i v j = 0 falls i = j. Es gibt eine Orthonormalbasis {v 1,..., v n } aus Eigenvektoren für den R n, d.h. die v i sind normiert und paarweise orthogonal. Die Transformationsmatrix U = (v 1,..., v n ) ist dann eine Orthogonalmatrix: U t U = I U 1 = U t Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 15 / 42

6 Diagonalisieren Für den i-ten Einheitsvektor e i gilt U t A U e i = U t A v i = U t λ i v i = λ i U t v i = λ i e i Also λ U t 0 λ A U = D = λ n Jede symmetrische Matrix wird bezüglich einer Orthonormalbasis aus Eigenvektoren zu einer Diagonalmatrix. Deren Diagonalelemente sind die Eigenwerte von A. Man nennt diesen Vorgang Diagonalisieren der Matrix A. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 16 / Wir wollen A = diagonalisieren. 2 1 Eigenwerte sind λ 1 = 1 und λ 2 = 3 mit den normierten Eigenvektoren v 1 = ( ) bzw. v 2 = ( 2 1 Bezüglich dieser Basis wird A zur Diagonalmatrix ) Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 17 / 42 Ein geometrische Interpretation I 1 2 Die Abbildung x Ax = x bildet den 2 1 Einheitskreis im R 2 in eine Ellipse ab. Die beiden Halbachsen werden durch λ 1 v 1 bzw. λ 2 v 2 gebildet. A 3v 2 v 1 v 2 v 1 Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 18 / 42

7 Quadratische Form Sei A eine symmetrische Matrix. Dann heißt die Funktion q A : R n R, x q A (x) = x t A x eine quadratische Form Sei A = Dann ist t x q A (x) = x 2 x x 1 x 2 x 3 = x x x2 3 Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 19 / 42 Allgemein gilt für eine n n-matrix A = (a ij ): q A (x) = n n i=1 j=1 a ij x i x j q A (x) = = x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 t x 1 x 2 x 3 t x 1 + x 2 2x 3 x 1 + 2x 2 + 3x 3 x 3 2x 1 + 3x 2 + x 3 = x x 1x 2 4x 1 x 3 + 2x x 2 x 3 + x 2 3 Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 20 / 42 Definitheit Eine quadratische Form q A heißt positiv definit, wenn für alle x = 0, q A (x) > 0. positiv semidefinit, wenn für alle x, q A (x) 0. negativ definit, wenn für alle x = 0, q A (x) < 0. negativ semidefinit, wenn für alle x, q A (x) 0. indefinit in allen anderen Fällen. Eine Matrix A heißt positiv (negativ) definit (semidefinit), wenn die entsprechende quadratische Form positiv (negativ) definit (semidefinit) ist. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 21 / 42

8 Definitheit Jede symmetrische Matrix ist diagonalisierbar. Sei {v 1,..., v n } eine Orthonormalbasis Eigenvektoren von A. Dann gilt für jeden Vektor x: x = c 1 v c n v n = n c i v i = Uc i=1 U = (v 1,..., v n ) ist die Transformationsmatrix für die Orthonormalbasis, c der entsprechende Koeffizientenvektor. Für die quadratische Form erhalten wir dann q A (x) = x t A x = (Uc) t A Uc = c t U t AU c = c t D c wobei D die Diagonalmatrix aus den Eigenwerten λ i von A ist. Daher q A (x) = n c 2 i λ i i=1 Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 22 / 42 Definitheit und Eigenwerte Aus q A (x) = n i=1 c2 i λ i folgt sofort: Seien λ i die Eigenwerte der Matrix A. Dann gilt: Die quadratische Form q A ist genau dann positiv definit, wenn alle λ i > 0 sind. positiv semidefinit, wenn alle λ i 0 sind. negativ definit, wenn alle λ i < 0 sind. negativ semidefinit, wenn alle λ i 0 sind. indefinit, wenn es positive und negative Eigenwerte gibt. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 23 / Die Eigenwerte von lauten λ 1 = 6 und λ 2 = Die Matrix ist daher positiv definit Die Eigenwerte von lauten λ 1 = 0, λ 2 = 3 und λ 3 = 9. Die Matrix ist daher positiv semidefinit Die Eigenwerte von lauten λ 1 = 6, λ 2 = 6 und λ 3 = 12. Die Matrix ist daher indefinit. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 24 / 42

9 Hauptminoren Die Definitheit einer Matrix kann auch mit Hilfe der sogenannten Hauptminoren bestimmt werden. Sei A = (a ij ) eine symmetrische n n-matrix. Dann heißt die Determinanten der Untermatrix a a 1k H k =..... a k1... a kk der k-te (führende) Hauptminor von A. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 25 / 42 Hauptminoren und Definitheit Eine quadratische Matrix A ist genau dann positiv definit, wenn alle H k > 0 sind. negativ definit, wenn ( 1) k H k > 0 für alle k. indefinit, wenn A = 0 und keiner der beiden Fälle zutrifft. ( 1) k H k > 0 bedeutet, dass H 1, H 3, H 5,... < 0, und H 2, H 4, H 6,... > 0. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 26 / 42 Gesucht ist die Definitheit der Matrix A = H 1 = det(a 11 ) = a 11 = 2 > 0 a 11 a 12 H 2 = a 21 a 22 = > H 3 = A = = > 0 A und q A sind positiv definit. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 27 / 42

10 Gesucht ist die Definitheit der Matrix A = H 1 = det(a 11 ) = a 11 = 1 > 0 a 11 a 12 H 2 = a 21 a 22 = = 1 > H 3 = A = = 28 < A und q A sind indefinit. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 28 / 42 Allgemeine Hauptminoren Die Bedingung für Semidefinitheit ist leider nicht so einfach. Die k-ten allgemeinen Hauptminoren sind die Unterdeterminaten a i1,i 1... a i1,i k H i1,...,i k = i 1 <... < i k n. a ik,i 1... a ik,i k Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 29 / 42 Allgemeine Hauptminoren und Semidefinitheit Eine quadratische Matrix A ist genau dann positiv semidefinit, wenn alle H i1,...,i k 0 sind. negativ semidefinit, wenn ( 1) k H i1,...,i k 0 für alle k. indefinit in allen anderen Fällen. ( 1) k H i1,...,i k 0 bedeutet, dass H i1,...,i k 0, falls k gerade ist, und H i1,...,i k 0, falls k ungerade ist. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 30 / 42

11 Gesucht ist die Definitheit der Matrix A = Die Matrix ist daher positiv semidefinit. (Aber nicht positiv definit!) 1-te Hauptminoren: H 1 = 5 0 H 2 = 2 0 H 3 = te Hauptminoren: 5 1 H 1,2 = 1 2 = H 1,3 = 4 5 = H 2,3 = 1 5 = ter Hauptminor: H 1,2,3 = A = 0 0 Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 31 / 42 Gesucht ist die Definitheit der Matrix A = Die Matrix ist negativ semidefinit. (Aber nicht negativ definit!) 1-te Hauptminoren: H 1 = 5 0 H 2 = 2 0 H 3 = te Hauptminoren: 5 1 H 1,2 = 1 2 = H 1,3 = 4 5 = H 2,3 = 1 5 = ter Hauptminor: H 1,2,3 = A = 0 0 Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 32 / 42 Jede positiv definite Matrix ist auch positiv semidefinit (aber nicht notwendigerweise umgekehrt). Die Matrix A = ist positive definit da alle führenden Hauptminoren > 0 sind (siehe oben). A ist daher auch positiv semidefinit. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 33 / 42

12 Ellipse Die Gleichung ax 2 + by 2 = 1, a, b > 0 beschreibt eine Ellipse in Hauptlage. 1/ b 1/ a Die Halbachsen haben die Längen a bzw. 1 b. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 34 / 42 Eine geometrische Interpretation II Der Term ax 2 + by 2 ist aber eine quadratische Form mit Matrix a 0 A = 0 b Diese hat Eigenwerte und Eigenvektoren λ 1 = a mit v 1 = e 1 und λ 2 = b mit v 2 = e 2 λ2 v 2 λ1 v 1 Die Eigenvektoren spannen die Hauptachsen der Ellipse auf. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 35 / 42 Eine geometrische Interpretation II Sei A eine eine symmetrische 2 2-Matrix mit positiven Eigenwerten. Die Gleichung x t Ax = 1 beschreibt eine Ellipse, deren Hauptachsen durch die normierten Eigenvektoren v 1 und v 2 von A aufgespannt werden. λ2 v 2 λ1 v 1 Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 36 / 42

13 Eine geometrische Interpretation II Durch den Basiswechsel V = (v 1, v 2 ) von {e 1, e 2 } zu {v 1, v 2 } wird die Ellipse in die Hauptlage gedreht. U t λ2 v 2 λ1 v 1 λ2 e 2 λ1 e 1 Man nennt daher diesen Vorgang (Diagonalisieren) auch Hauptachsentransformation. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 37 / 42 Eine statistische Anwendung Wir haben n Beobachtungen von k metrischen Merkmalen X 1,..., X k, die wir zu Vektoren zusammenfassen können: x i = (x i1,..., x ik ) R k Das arithmetischen Mittel ist (wie bei univariaten Daten) x = 1 n n x i = (x 1,..., x k ) i=1 Die Summe der Abweichungsquadrate ist ein Maß für die Streuung TSS = n x i x 2 = i=1 ( k n ) x ij x j 2 = j=1 i=1 und kann komponentenweise berechnet werden. k TSS j j=1 Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 38 / 42 Eine statistische Anwendung Ein orthogonaler Basiswechsel verändert die Summe der Abweichungsquadrate TSS nicht. Er verändert aber die Aufteilung auf die einzelnen Komponenten. Kann man die Basis so wählen, dass sich ein großer Beitrag für die TSS auf wenige Komponenten konzentriert? Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 39 / 42

14 Hauptkomponentenanalyse (PCA) Annahme: Die Daten sind näherungsweise multinormal verteilt. Vorgangsweise: 1. Berechne Kovarianzmatrix Σ 2. Berechne Eigenwerte und Eigenvektoren von Σ 3. Ordne Eigenwerte (und -vektoren) so, dass λ 1 λ 2... λ k 4. Verwende Eigenvektoren v 1,..., v k als neue Basis. 5. Der Beitrag der m Komponenten in dieser Basis zum TSS ist näherungsweise m j=1 TSSj k j=1 TSSj m j=1 λ j k j=1 λ j Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 40 / 42 Hauptkomponentenanalyse (PCA) Mit Hilfe der PCA ist es möglich die Anzahl der Dimensionen so zu reduzieren, dass die Gesamtstreuung näherungsweise erhalten bleibt. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 41 / 42 Zusammenfassung Eigenwerte und Eigenvektoren Eigenraum Symmetrische Matrizen Diagonalisieren Quadratische Formen Definitheit Hauptminoren Hauptkomponentenanalyse Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 42 / 42

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