SiSy1, Praktische Übung 3. Fourier-Analyse (periodischer Signale) kann als Fourier-Reihe 1 beschrieben werden:

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1 /5 Fourier-Analyse (periodischer Signale) Grundlagen Ein periodisches, kontinuierliches Signal x(t) der Periodendauer kann als Fourier-Reihe beschrieben werden: wie folgt ( ) = c k x t + e j k 2πf t k= Jeder komplexe Fourier-Koeffizient c k gehört zu einer Frequenz f k, die ein ganzes Vielfaches der sogenannten Grundfrequenz f = / ist: f k = k f. Negative Werte von k werden negativen Frequenzen zugeordnet 2. Die Menge dieser Koeffizienten bilden das Spektrum, die derer Beträge c k das Amplitudenspektrum und die derer Argumente c k das Phasenspektrum des Signals..5 Signal Zeit in ms Amplitudenspektrum Frequenz in Hz Figur Periodisches Signal mit Grundfrequenz f = 2 Hz und (zweiseitiges 3 ) Amplitudenspektrum. Man beachte, dass wegen der alternierenden Symmetrieeigenschaft des Dreiecksignals die Spektrallinien für geradzahlige Vielfache der Grundfrequenz f verschwinden. Das Amplitudenspektrum eines reellen Signals ist gerade, d. h. symmetrisch zur Achse f =, das Phasenspektrum ist ungerade, d. h. symmetrisch zum Koordinatenursprung. [] Führer, Heidemann, Nerreter, Grundgebiete der Elektrotechnik, Band 2, Hanser, bis 9..5, 9.3, 9.3., 9.3.2, 9.4., Tafel S. 298 [2] Martin Meyer, Signalverarbeitung, Vieweg, 998, 2.2, 5.3 [3] Daniel Ch. von Grünigen, Digitale Signalverarbeitung, Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag, 2, 2.2., [4] Lothar Papula, Mathematische Formelsammlung, Vieweg 2 Positive und negative Frequenzen entsprechen gegenläufigen Drehzeigern. 3 Das Spektrum wird zweiseitig genannt, weil es auch für negative Frequenzen existiert.

2 Das Bestimmen der Fourier-Koeffizienten für eine gegebene periodische Funktion x(t) heisst Fourier- Analyse. Die Koeffizienten können nach folgender Formel bestimmt werden: c k = x( t)e jk2πf t dt Dieses Integral kann nur für einfache Funktionsverläufe geschlossen gelöst werden. In den meisten Fällen muss es numerisch mittels der diskreten Fourier-Transformation (DFT) approximativ berechnet werden. Die Funktion x(t) muss in diesem Fall in abgetasteter Form vorliegen, d. h. als Zahlenfolge {x k } = {x(kt s )} = {x, x, x 2,, x N } mit k =,,, N. T s ist dabei das Abtastintervall, N die Anzahl der abgetasteten Werte von x(t), die sogenannte Blocklänge. Zur Berechnung der DFT existiert ein effizienter Algorithmus: die schnelle Fourier-Transformation (Fast Fourier Transformation: FFT). Für die (approximative) Berechnung der Fourier-Koeffizienten eines kontinuierlichen und periodischen Signals mit der DFT sind folgende Hinweise und Bedingungen zu beachten: Auch wenn man kontinuierliche Signale prinzipiell nicht zeitdiskret darstellen kann, müssen diese zur numerischen Berechnung durch eine Folge von zeitdiskreten Abtastwerten dargestellt werden. Um dennoch ein dem kontinuierlichen Signal entsprechendes diskretes Signal zu erhalten, sollte der zeitliche Abstand der Abtastwerte (Abtastintervall T s = /f s ) mindestens 2 mal kleiner sein als die Periodendauer der höchsten noch interessierenden Oberwelle des Signals. Ein periodisches Signal kann wegen seiner unendlichen Dauer ebenfalls nicht dargestellt werden. Damit bei endlicher Signaldauer das Signalspektrum dennoch mit dem des periodischen Signals übereinstimmt, muss die Länge des Signals N T s (Fensterlänge, "Messdauer") ein ganzes vielfaches der Periodendauer der Grundschwingung sein. Damit die Matlab-Funktion fft besonders effizient arbeitet, sollte die Anzahl N der Abtastwerte des Signals eine ganzzahlige Potenz von 2 sein: z. B. 2 9 = 52. Beachten Sie, dass die komplexen Fourier-Koeffizienten wie sie die Matlab-Funktion fft berechnet, betragsmässig um die Blocklänge N grösser als die Koeffizienten c k der Fourier-Reihe sind. Die entsprechenden Matlab-Befehle zur Berechnung des Spektrums lauten: % Definition des Signals f=; % Grundfrequenz T=/f; % Grundperiode n=2^5; % Anzahl Abtastungen pro Periode Ts=T/n; % Abtastintervall fs=/ts; % Abtastfrequenz Tp=4*T; % Signaldauer (hier 4 Perioden) N=4*n; % Blocklänge t=(:n-)*ts; % Zeitvektor A=2; % Signalamplitude x=a*square(2*pi*f*t);%signal(z. B. periodisches Rechtecksignal) figure() plot(t,x) axis([ Tp -.2*A.2*A]) % Approximation der Fourier-Koeffizienten durch DFT X=fft(x,N); % DFT (fft: fast fourier transform) ck=x/n; % Approximation der Fourier-Koeffizienten ck=fftshift(ck); % Zentrieren des Spektrums um f= fk=((:n-)-n/2)*fs/n;% diskrete Frequenzwerte für welche die ck berechnet wurden Ak=abs(ck); % Amplitudenspektrum Pk=8*angle(ck)/pi; % Phasenspektrum in Grad figure(2) stem(fk,ak,'.') % zeichnen des diskreten Amplitudenspektrums axis([-fs/2 fs/2.*max(ak)]) 2/5

3 3/5 Die diskrete Fourier-Transformation liefert grundsätzlich ein periodisches Spektrum mit der Abtastfrequenz als frequenzmässige Periodenlänge. Somit kann die DFT die Koeffizienten der Fourier- Reihe prinzipiell nur approximativ liefern. Für den Vergleich mit dem Spektrum der Fourier-Reihe können nur die Frequenzen bis zur halben Abtastfrequenz herangezogen werden. Die Übereinstimmung ist um so besser, je kleiner die Koeffizienten der Fourier-Reihe bei der halben Abtastfrequenz sind.

4 4/5 Aufgaben. Fourier-Analyse (theoretische Vorarbeit) Bestimmen und skizzieren Sie das zweiseitige Fourier-Spektrum (Amplituden- und Phasenspektrum) der periodischen und kontinuierlichen Rechteckpulsfolge: x(t) = τ / τ t k für τ < T τ. k= Periodische Rechteckpulsfolge Zeit t/ (τ = /4) Figur 2 Rechteckpulsfolge der Periodendauer und Pulsbreite τ (τ < ) gemäss der Formel oben Die Pulshöhe beträgt /τ, so dass die Fläche unterhalb eines Pulses beträgt.. Bestimmen Sie die Fourier-Koeffizienten durch Lösen des Integrals c k = x( t)e jk2πf t dt. Allgemeine Herleitung. Benötigte Formeln: sin( α) = e jα e jα, sinc x 2 j ( ) = sin( π x) π x.2 Welchen Einfluss auf das Amplitudenspektrum hat die Verringerung der Pulsbreite τ gegenüber der (festen) Periodendauer (z. B. = und τ = /2, /4 und /8)? Geben Sie die Koordinaten aller markanten Punkte des Amplitudenspektrums sowie von dessen Umhüllenden. Wie sieht das Amplitudenspektrum im Grenzfall aus, wo τ gegen Null geht? Hinweis: Die einzelnen Pulse werden dabei zu Dirac-Stössen, d. h. verschwindend breit und unendlich hoch..3 Untersuchen Sie was sich für die Koeffizienten ändert, falls das Signal zeitlich um eine halbe Periode (d. h. t = /2) verzögert wird. Bestimmen Sie die Koeffizienten des Signals das durch die Differenz aus dem ursprünglichen und dem neuen Signal gebildet wird.

5 5/5 2. Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) als Approximation der Fourier-Reihe 2. Bestimmen Sie das Spektrum eines Sinussignals mit der DFT (Matlab-Funktion fft). Überprüfen Sie das Ergebnis mit dem erwarteten Amplituden- und Phasenspektrum. Bemerkung: Es sollte möglich sein, ein den Erwartungen entsprechendes Spektrum zu erhalten 4. Damit stellen Sie sicher, dass das Verfahren, bzw. Ihr Programm richtig funktioniert. Dies ist Voraussetzung für das Bearbeiten der weiteren Aufgaben. 2.2 Bestimmen Sie numerisch das Amplitudenspektrum eines Dreiecksignals (mit derselben Grundfrequenz wie das vorhin getestete Sinussignal). Vergleichen Sie das erhaltene Spektrum mit dem theoretisch erwarteten und überprüfen Sie, ob die Beträge der diskreten Amplituden auch tatsächlich umgekehrt mit dem Quadrat der Frequenz abnehmen. Bestimmen Sie ausserdem den Klirrfaktor des Signals aus den Amplitudenwerten und vergleichen Sie ihn mit dem theoretisch ermittelten Wert. Benötigte Formel für die Reihenentwicklung des Klirrfaktors: = = π 4 4 2n 96 n= ( ) 4 Welche Massnahmen können getroffen werden, um eine bessere Übereinstimmung des numerisch ermittelten mit dem theoretischen Spektrum zu erhalten? 2.3 Bestimmen Sie die Fourier-Spektren der Signale aus den Aufgaben. und.3 (z. B. für = und τ = /4) und vergleichen Sie die Ergebnisse mit den theoretischen Ergebnissen Ihrer Vorarbeit. Bemerkung: Im Fall der Pulsfolge, bestimmt die Pulsbreite die benötigte Abtastfrequenz: Wählen Sie mindestens 2 Abtastwerte innerhalb der Pulsdauer. 4 Sollte dies nicht der Fall sein, so müssen Sie das Einhalten der Hinweise für die Bestimmung der Fourier-Koeffizienten mit der DFT sicherstellen.