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1 wwwmathematik-netzde Copyright, Page 1 of 5 Die Determinante Determinanten sind ein äußerst wichtiges Instrument zur Untersuchung von Matrizen und linearen Abbildungen Außerhalb der linearen Algebra ist die Determinante zb für die Integrationstheorie für Funktionen mehrerer Variablen von Bedeutung Definition: Es sei R ein Ring Die Determinante von A=(a ij ) M nn (R) ist das Ringelement sgn( σ ) a1 (1) a2 (2) a n (n) R σ σ σ σ Sn Die Determinante von A wird mit det(a) oder A bezeichnet, und man nennt die Formel nach dem Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibnitz auch Leibnitz-Formel Zu Beachten ist, dass die Determinante nur für n n-matrizen n IN, dh für quadratische Matrizen, definiert ist Wir untersuchen die Formel für spezielle (und einfache) n: Fall n=2: a11 a Sei A = M 22 (R) Die Elemente von S 2 sind folglich die Permutationen id = a21 a und 1 2 τ = S 2 ist eine endliche Gruppe {1,2} und hat somit n! (n Fakultät) Permutationen, also 1*2=2 2 1 Permutationen Die Signatur der identischen Permutation ist 1, und die Signatur von τ ist -1 Die Summanden der Formel sgn( σ ) a1 (1) a2 (2) a n (n) R σ σ σ sind damit: σ S n det(a) = sgn(σ ) (a 11 a 22 ) + sgn(σ ) (a 12 a 21 ) = 1(a 11 a 22 ) + -1(a 12 a 21 ) = a 11 a 22 a 12 a 21 Fall n=3: Sei a a a A a a a = a31 a32 a 33 mit folgenden Permutationen: M 33 (R) Die Gruppe S 3 hat 3! = 1*2*3 = 6 Elemente Permutation Signatur Summand in der Leibnitzformel 1 a 11 a 22 a 33 1 a 12 a 23 a 31 1 a 13 a 21 a 32

2 wwwmathematik-netzde Copyright, Page 2 of a 12 a 21 a a 11 a 23 a a 13 a 22 a 31 Merkregel: Schreiben Sie A und die ersten beiden Spalten von A in eine Matrix Sie erhalten a a a a a A a a a a a = a31 a32 a33 a31 a 32 Wenn Sie die Diagonalen von links oben nach rechts unten laufen, finden Sie die ersten drei Permutationen mit positiver Signatur Wenn Sie die Diagonalen von rechts oben nach links unten laufen, finden Sie die zweiten drei Permutationen mit negativer Signatur Anders formuliert: Man muss die drei Diagonalen in Richtung Hauptdiagonalen mit Plus und die drei Diagonalen in Richtung Nebendiagonalen mit Minus versehen Achtung: Für n>3 gilt nichts Analoges zur Sarrus-Regel Beispiel: Sei A = 4 9 6, dann setzt sich die det(a) zusammen aus: Permutation Signatur Summand in der Leibnitzformel 1 (11*9*0) 1 (20*6*7) 1 (3*4*8) -1 -(20*4*0) -1 -(11*6*8) -1 -(3*9*7) det(a) = = 219

3 wwwmathematik-netzde Copyright, Page 3 of 5 Proposition 1: (Determinanten von Transponierten) Sei A M nn (R) Dann gilt det(a) = det(a T ) Proposition 2: (Determinanten von Matrizen mit Nullzeile oder -spalte) Sei A M nn (R), und Sei A eine Matrix mit einer Nullzeile oder einer Nullspalte Dann ist det(a) = 0 Proposition 3: (Determinanten von Matrizen mit gleichen Zeilen oder Spalten) Sei A M nn (R), wobei zwei Zeilen oder Spalten gleich sind Dann ist det(a) = 0 Definition: Eine Matrix A=(a ij ) M nn (R) heißt obere Dreiecksmatrix, wenn a ij = 0 für alle i>j A heißt untere Dreiecksmatrix, wenn a ij =0 für alle j>i Bei einer oberen Dreiecksmatrix sind also alle Einträge unterhalb der Diagonalen 0, und bei einer unteren Dreiecksmatrix sind alle Einträge oberhalb der Diagonalen 0 Als Beispiele, ist eine obere Dreiecksmatrix, und ist eine untere Dreiecksmatrix Proposition 4: (Determinanten von Dreiecksmatrizen) Sei A M nn (R) eine obere oder untere Dreiecksmatrix Dann gilt det(a) = a 11 a 22 a nn Proposition 5: (Determinanten und elementare Zeilenumformung) Sei A M nn (R) (i) (ii) (iii) Verwandelt man A durch Multiplikation einer Spalte mit einem Element r R in A, so ist det(a )= r * det(a) Verwandelt man die n x n-matrix A durch Addition eines Vielfachen einer Spalte/Zeile zu einer anderen aus A in die Matrix A, so ist die det(a ) = det(a) Verwandelt man A durch Vertauschung zweier Zeilen/Spalten in A, so ist det(a )=-det(a)

4 wwwmathematik-netzde Copyright, Page 4 of 5 Determinanten von Matrizen über dem Körper K Algorithmus zur Berechnung von Determinanten von Matrizen über K: Sei A=(a ij ) M nn (K) 1Schritt: Überführe A durch elementare Zeilen- oder Spaltenoperationen in eine Dreiecksmatrix Verwende dabei die Typen Addiere Vielfache einer Zeile (Spalte) zu einer anderen Zeile (Spalte) der Matrix Vertausche zwei Zeilen (Spalten) 2Schritt: Sei k die Anzahl der Zeilen- und Spaltenvertauschungen Dann gilt: det( A) n k k k = ( 1) det( ) = ( 1) nn = ( 1) i= 1 A a a a a Beispiel: Berechnen Sie die Determinante folgender Matrix über IR: A = Zuerst müssen wir die Matrix in die Dreiecksform durch elementare Zeilenumformung bringen An der Position (3,1) steht der Wert 1 Wir addieren ein entsprechendes Vielfaches der dritten Zeile zu den übrigen Zeilen Durch diese Operationen verändert sich die det(a) nach Proposition 5 (ii) nicht Es gilt: ii det( A) = det( A') = Wir tauschen die 3 und die 1 Zeile miteinander Nach Proposition 5 (iii) ändert sich dadurch die det(a ) Es gilt det(a ) = - det(a ) det( A') = = det( A'') An der Position (3,2) steht der Wert -1) Wir addieren wieder vielfache der 3 Zeile zu den übrigen und fahren analog fort Als Ergebnis erhalten wir folgende Dreiecksmatrix

5 wwwmathematik-netzde Copyright, Page 5 of = det( A''') = Dieses Ergebnis ist nicht die einzig korrekte Lösung Je nach Zeilen- Spaltenumformung erhält man unterschiedliche Determinanten Das Produkt Ihrer Diagonalelemente muss jedoch immer der Determinante entsprechen, in unserem Beispiel -4 Reduzierung der Determinante auf eine Diagonalmatrix Sei A eine beliebige Matrix aus K(n n) Dann kann man A allein durch Anwendung von elementaren Zeilenumformungen vom Typ addiere ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen der Matrix in eine Matrix A verwandelt werden, bei der jedes Element unterhalb der Hauptdiagonalen Null ist (obere Dreiecksmatrix) Bei diesem Vorgang ändert sich die Determinante nach Proposition 5 (ii) nicht Wir wissen nun, wie wir die eine beliebige Determinante einer n n-matrix über K effektiv berechnen können, ohne die Leibnitzformel anwenden zu müssen Wozu das Ganze? Ein entscheidendes Ergebnis ist folgende Proposition Proposition 6: (Invertierbarkeit von Matrizen) Sei A M nn (K) Wenn A nicht invertierbar ist, dann ist det(a) = 0 Wenn A invertierbar ist, dann ist die det(a) ungleich 0 Proposition 7: (Determinantenmultiplikationssatz) Sei A, B M nn (K) Dann gilt det(ab) = det(a)det(b) Die Determinante des Produktes zweier Matrizen ist gleich dem Produkt ihrer Determinanten Beispiel: 1 9 Seien A, B M nn (K) Sei A 0 7 = 11 0 und B = Berechnen Sie det(a)*det(b) und det(a*b) und 3 90 vergleichen Sie mit Proposition 7: det(a) = 1*0-11*9 = -99 det(b) = 0*90 3*7 = -21 det(a) * det(b) = -99 * -21 = 2079 A*B = det(ab) = 27 * 77 0*817 = 2079