Dank. 1 Ableitungsbäume. 2 Umformung von Grammatiken. 3 Normalformen. 4 Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen. 5 Pushdown-Automaten (PDAs)

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1 ank Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert iese Vorlesungsmaterialien basieren ganz wesentlich auf den Folien zu den Vorlesungen von atrin Erk (gehalten an der Universität oblenz-andau) Jürgen ix (gehalten an der TU Clausthal) Institut für Informatik Sommersemester 2007 Ihnen beiden gilt mein herzlicher ank. Bernhard Beckert, pril 2007 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS / 359 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS / 359 Teil IV ellerautomaten und kontextfreie Sprachen Inhalt von Teil IV ie von ellerautomaten (Push-own-utomaten, Ps) erkannten Sprachen sind genau die vom Typ 2 (kontextfrei). Normalformen für kontextfreie Grammatiken. Pumping-emma für kontextfreie Sprachen. Effiziente lgorithmen für Probleme über Ps 1 bleitungsbäume 2 Umformung von Grammatiken 3 Normalformen 4 Pumping-emma für kontextfreie Sprachen 5 Pushdown-utomaten (Ps) 6 eterminierte Ps 7 bschlusseigenschaften 8 Wortprobleme 9 er CY-lgorithmus B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS / 359 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: bleitungsbäume SS / 359

2 Zur Erinnerung: kontextfreie Grammatiken Zur Erinnerung: kontextfreie Sprachen ontextfreie Grammatiken ontextfreie Regel: Eine Variable wird durch ein Wort ersetzt, (egal in welchem ontext die Variable steht) Es wird eine einzelne Variable ersetzt. as Wort in der Conclusio kann Variablen und Terminale in beliebiger Mischung enthalten. Beispiel 18.1 (kontextfreie Sprachen) {a n b n n N 0 } {a n ba n n N 0 } {ww R w {a,b} } B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: bleitungsbäume SS / 359 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: bleitungsbäume SS / 359 bleitungsbäume bleitungsbäume efinition 18.2 (bleitungsbaum zu einer Grammatik) Sei G = (V,T,R,S) eine kontextfreie Grammatik. Ein bleitungsbaum (parse tree) zu G ist ein angeordneter Baum B = (W,E,v 0 ) efinition 18.3 (bleitungsbaum zu einer Grammatik, Fortsetzung) Zudem muss gelten: Jeder noten v W ist mit einem Symbol aus V T {ε} markiert. ie Wurzel v 0 ist mit S markiert. Jeder innere noten ist mit einer Variablen aus V markiert. Jedes Blatt ist mit einem Symbol aus T {ε} markiert. Ist v W ein innerer noten mit Söhnen v 1,...,v k in dieser nordnung und ist die Markierung von v und i die Markierung von v i, dann ist 1... k R. Ein mit ε markiertes Blatt hat keinen Bruder (denn das entspräche einer bleitung wie abεbc). B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: bleitungsbäume SS / 359 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: bleitungsbäume SS / 359

3 bleitungsbäume bleitungsbäume efinition 18.4 blesen eines Wortes vom bleitungsbaum Wenn Wort w von Grammatik G erzeugt wird, dann gibt es einen bleitungsbaum mit den Buchstaben von w als Blätter von links nach rechts. Seien b 1,b 2 Blätter. ann: b 1 < b 2 gdw b 1, b 2 sind Brüder, und b 1 liegt links von b 2, oder v,v 1,v 2 W v v 1, v v 2, v 1 < v 2 und v i ist Vorfahre von b i für i {1,2}. Merke ie Blätter eines bleitungsbaumes sind angeordnet. Es gibt eine Ordnung unter den Söhnen eines notens. efinition 18.5 Sei {b 1,...,b k } die Menge aller Blätter in B mit b 1 <... < b k, und sei i die Markierung von b i. ann heißt das Wort 1... k die Front von B. B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: bleitungsbäume SS / 359 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: bleitungsbäume SS / 359 bleitungsbäume bleitungsbäume: Beispiel Theorem 18.6 Sei G = (V,T,R,S) eine kontextfreie Grammatik. ann gilt für w T : ( S = G w) gdw Es existiert ein bleitungsbaum zu G mit Front w. Beispiel 18.7 Grammatik für die Menge aller aussagenlogischen Formeln über den Variablen {x,x 0,x 1,x 2,...}: G = ({S,,N,N }, {x,0,...,9,(,),,, },R,S) mit der Regelmenge Beweis. Einfach aus den efinitionen. R = {S (S S) (S S) S x xn N 1N 2N... 9N 0 N 0N 1N... 9N ε} B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: bleitungsbäume SS / 359 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: bleitungsbäume SS / 359

4 bleitungsbäume: Beispiel bleitungsbäume: Beispiel bleitungsbaum für (( x x38) x2) S ( S S ) ( S S ) x N S x N 2 x 3 N 8 N N ε bleitung für (( x x38) x2) er bleitungsbaum steht für viele äquivalente bleitungen, darunter diese: S (S S) ((S S) S) (( S S) S) (( S) S) (( x S) S) (( x ) S) (( x xn) S) (( x x3n ) S) (( x x38n ) S) (( x x38) S) (( x x38) ) (( x x38) xn) (( x x38) x2n ) (( x x38) x2) ε B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: bleitungsbäume SS / 359 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: bleitungsbäume SS / 359 inks- und Rechtsableitung Mehrdeutigkeit efinition 18.8 (inksableitung) Eine bleitung w 1 = G w 2 = G... = G w n heißt inksableitung falls w i+1 durch Ersetzen der linkesten Variable in w i entsteht für alle i < n. ie Rechtsableitung ist analog definiert. efinition 18.9 (Mehrdeutigkeit) Eine cf-grammatik G heißt mehrdeutig gdw es gibt ein Wort w (G), zu dem es in G zwei verschiedene inksableitungen gibt. Eine Sprache 2 heißt inhärent mehrdeutig gdw alle kontextfreien Grammatiken für sind mehrdeutig. Bemerkung Eine Grammatik G ist mehrdeutig, gdw : es gibt zwei verschiedene bleitungsbäume in G mit gleicher Front. B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: bleitungsbäume SS / 359 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: bleitungsbäume SS / 359

5 Mehrdeutigkeit: Beispiele Mehrdeutigkeit: Beispiele Beispiel (Mehrdeutigkeit) Eindeutige Grammatik für aussagenlogische Formeln: S (S S) (S S) S x xn N 1N 2N... 9N 0 N 0N 1N... 9N ε} ( ) Mehrdeutige Grammatik für aussagenlogische Formeln: ( ) Regel mit lammer-ersparnis! ( ) v w x y z x y v w x y v w B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: bleitungsbäume SS / 359 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: bleitungsbäume SS / 359 Mehrdeutigkeit: Beispiele Teil IV ellerautomaten und kontextfreie Sprachen 1 bleitungsbäume Beispiel (Inhärente Mehrdeutigkeit) ie Sprache := {a i b j c k i = j oder j = k} ist inhärent mehrdeutig. 2 Umformung von Grammatiken 3 Normalformen 4 Pumping-emma für kontextfreie Sprachen 5 Pushdown-utomaten (Ps) 6 eterminierte Ps 7 bschlusseigenschaften 8 Wortprobleme 9 er CY-lgorithmus B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: bleitungsbäume SS / 359 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Umformung von Grammatiken SS / 359

6 Startsymbol nur links Nutzlose Symbole Einfache nnahme Im folgenden soll für alle cf-grammatiken gelten: as Startsymbol S kommt nie auf einer rechten Regelseite vor. Umformung Ist das bei einer Grammatik nicht gegeben, kann man es wie folgt erreichen: Führe ein neues Startsymbol S neu ein Füge die Regel Nutzlose Symbole und Regeln: Intuition Variablen und Symbole, die vom Startsymbol aus unerreichbar sind. Variablen, von denen aus kein Terminalwort abgeleitet werden kann. Regeln, die solche Variablen und Symbole enthalten hinzu. S neu S B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Umformung von Grammatiken SS / 359 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Umformung von Grammatiken SS / 359 Nutzlose Symbole Nutzlose Symbole efinition 19.1 ((co-)erreichbare, nutzlose Symbole) Sei G = (V,T,R,S) eine Grammatik. Ein Symbol x (V T ) heißt erreichbar: Es gibt α,β (V T ) : S = αxβ G co-erreichbar: Es gibt w T : x = w G nutzlos: x ist nicht erreichbar oder nicht co-erreichbar. Theorem 19.2 (cf-grammatik ohne nutzlose Symbole) Ist G = (V, T, R, S) eine cf-grammatik mit (G) /0, dann existiert eine cf-grammatik G = (V,T,R,S ) mit: Beweis G ist äquivalent zu G. Jedes x (V T ) ist erreichbar und co-erreichbar. Man kann G aus G effektiv konstruieren: Wie im folgenden beschrieben, die nutzlosen Symbole bestimmen. iese Symbole und alle Regeln, die sie enthalten, entfernen. B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Umformung von Grammatiken SS / 359 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Umformung von Grammatiken SS / 359

7 Nutzlose Symbole Nutzlose Symbole lgorithmus zur Berechnung der co-erreichbaren Variablen Input: Grammatik G = (V,T,R,S) Output: co-erreichbare Variablen lt := /0 Neu := { V w T ( w R)} while lt Neu { lt := Neu Neu := lt { V α (T lt) ( α R)} } output Neu lgorithmus zur Berechnung der erreichbaren Symbole Input: Grammatik G = (V,T,R,S) Output: erreichbare Symbole lt := /0 Neu := {S} while lt Neu { lt := Neu Neu := lt {x (V T ) lt α,β (V T ) } output Neu ( αxβ R)} B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Umformung von Grammatiken SS / 359 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Umformung von Grammatiken SS / 359 Normalform für Regeln Normalform für Regeln Theorem 19.3 (Normalform) Zu jeder Grammatik G (beliebigen Typs) existiert eine äquivalente Grammatik G, bei der für alle Regeln P Q R gilt: Q V und P beliebig Q T und P V Für alle Typen außer den linearen hat G denselben Typ wie G. Beweis. Für jedes Terminal t T erzeuge man eine neue Variable V t. V = V {V t t T } R entsteht aus R, indem für jede Regel P Q R in Q alle Vorkommen eines Terminals t durch die zugehörige Variable V t ersetzt werden. ußerdem enthält R für jedes t T eine neue Regel V t t. lso (G ) = (G), und für alle Sprachklassen außer 3 hat G denselben Typ wie G. B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Umformung von Grammatiken SS / 359 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Umformung von Grammatiken SS / 359

8 Idee Variablen, aus denen ε ableitbar ist, sollten eliminiert werden efinition 19.4 (ε-regel, nullbare Variablen) Eine Regel der Form P ε (P eine Variable) heißt ε-regel. Theorem 19.5 (ε-regeln sind eliminierbar) Zu jeder cf-grammatik G existiert eine äquivalente cf-grammatik G ohne ε-regeln und nullbare Variablen, falls ε (G), mit der einzigen ε-regel S ε und der einzigen nullbaren Variablen S, falls ε (G) und S das Startsymbol ist. Eine Variable heißt nullbar, falls = ε B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Umformung von Grammatiken SS / 359 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Umformung von Grammatiken SS / 359 lgorithmus zur Berechnung der nullbaren Variablen Input: Grammatik G = (V,T,R,S) Output: nullbare Variablen S o.b.d.. in keiner Regel rechts lt := /0 Neu := { V ε R} while lt Neu { lt := Neu für alle (P Q) R do { if Q = 1... n and i Neu für 1 i n and P Neu, then Neu := Neu {P} } } output Neu usgangsgrammatik G habe die Normalform, bei der für jede Regel P Q: Q V oder Q T. Für jede Regel P 1... n generiere alle möglichen ombinationen mit ann P α 1...α n α i {ε, i } α i = i falls i nullbar falls i nicht nullbar Füge alle diese neuen Regeln zur Grammatik hinzu Entferne alle Regeln der Form ε mit S B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Umformung von Grammatiken SS / 359 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Umformung von Grammatiken SS / 359

9 Zu zeigen: Für die neue Grammatik G gilt: (G ) = (G) Vorgehen: G hat die Normalform: Für jede Regel P Q gilt Q V oder Q T. Wir beweisen die etwas stärkere Behauptung für alle V für alle w (V T ) {ε} ( ( = G w) gdw ( = G w) ), araus folgt sofort (G ) = (G). Wir zeigen: us = G w folgt = G w (Induktion über änge einer bleitung von nach w in G). Induktionsanfang: änge = 0. ann ist w =, und = G gilt immer. Induktionsschritt: Es sei schon gezeigt: Wenn in G in n Schritten eine bleitung B = G u durchgeführt werden kann, dann folgt, daß in G die bleitung B = G u möglich ist. B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Umformung von Grammatiken SS / 359 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Umformung von Grammatiken SS / 359 ußerdem gelte in der usgangsgrammatik G: = G w ε in n + 1 Schritten. ann gilt: = G w = G w, w = 1... l = G w 1...w l = w, und es wird jeweils i zu w i in höchstens n Schritten für geeignete w, 1,..., l,w 1,...,w l. Per Induktionsvoraussetzung gilt also schon: Entweder i = G w i oder w i = ε für 1 i l. Fall 1: w i = ε, i ist nullbar. ann gibt es in G eine Regel 1... i 1 i+1... l nach der obigen onstruktionsvorschrift für G, falls 1... i 1 i+1... l ε. as ist der Fall, denn sonst hätten wir: = w = ε = w = ε (aus nichts wird nichts), aber w = ε ist ausgeschlossen. Fall 2: w i ε. ann gilt nach Induktionsvoraussetzung i = G w i. B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Umformung von Grammatiken SS / 359 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Umformung von Grammatiken SS / 359

10 Wir haben also folgendes gezeigt: Sei I = {i {1...l} w i ε} = /0. ann gibt es in R eine Regel i1... im mit I = {i 1,...,i m }, und die i sind so angeordnet wie in der ursprünglichen Regel 1... l. Mit dieser neuen Regel können wir w so ableiten: = G i1... im = G w i1...w im = w Wir zeigen: us = w folgt = w (Induktion über änge einer G G bleitung von nach w in G ): Induktionsanfang: änge = 0. ann ist w =, und = gilt immer. G Induktionsschritt: Es gelte für alle bleitungen = w einer änge G von höchstens n, daß = w. G Ist = w eine bleitung der änge n + 1, so gibt es ein G l, Wörter w 1,...,w l und Variablen 1,..., l mit = G 1... l = w = w G 1...w l. Es gilt jeweils i = w G i in höchstens n Schritten, und w i ε. B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Umformung von Grammatiken SS / 359 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Umformung von Grammatiken SS / 359 Nach der Induktionsvoraussetzung folgt daraus: für die Originalgrammatik G gibt es bleitungen i = G w i damit gibt es auch eine bleitung 1... l = G w. a es in G eine bleitung = G 1... l gibt, gibt es in R eine Regel 1... l. Wie ist diese Regel aus R entstanden? Eine Regel in R entsteht aus einer Regel in R, indem einige nullbare Variablen gestrichen werden. Es gab also in G nullbare Variablen B 1 bis B m, so daß R die Regel lso gilt in G: = G 1... l1 B 1 l l2 B 2... m B m m+1... l = G 1... l1 l l2... m m+1... l = w G da ja B i = ε möglich ist. G 1... l1 B 1 l l2 B 2... m B m m+1... l enthält. (m kann auch 0 sein, dann war die Regel selbst schon in R.) B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Umformung von Grammatiken SS / 359 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Umformung von Grammatiken SS / 359

11 : Beispiel Beispiel 19.6 R : R : S B S B B E BB E BB B B C ε B C C C ε d d E e E e Für die Regelmenge R in der linken Spalte sind die Variablen,B,C nullbar. Beobachtung er lgorithmus lässt nutzlose Variablen zurück, die nicht in Prämissen auftauchen (und deshalb nicht co-erreichbar sind). Hier: C. er lgorithmus lässt nutzlose Regeln zurück. Hier: B C C. er obige lgorithmus erzeugt aus R die rechts aufgeführte Regelmenge R. B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Umformung von Grammatiken SS / 359 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Umformung von Grammatiken SS / 359