1. Goldener Schnitt Pascalsches Dreieck

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1 1 Goldeer Schitt Pascalsches Dreieck 1 1 Goldeer Schitt Pascalsches Dreieck 11 Fiboacci-Zahle Fiboacci 1 oder mit richtigem Name Leoardo vo Pisa war ei bedeuteder Mathematiker Er lebte im 12 Jahrhudert (geb 1190(?)) ud war zu seier Zeit ua bekat für die Eiführug des Zehersystems ud seier Recheregel, die für de Aufschwug des Hadels wichtige Begleitumstäde ware Als Soh vo Guido Boacci, eiem Notar am Hadelshof der pisaische Kaufleute i Bougie (Küstestadt Algeries/Nordafrika), uterahm er mit seiem Vater diverse Reise ach Ägypte, Syrie, Griechelad, Sizilie ud i die Provece ud studierte dort die verschiedee Variate der Rechekust, die er aber gegeüber der idische für Irrwege hielt 1202 kehrt er ach Pisa zurück ud stellt im liber abacci, eiem Mathematikbuch, das alle wichtige damalige Erketisse ethielt, das dem damals gebräuchliche, römische Zahlesystem überlegee arabische Zahlesystem vor Als geachteter Magister ud auch Steuerschätzer lebt er i der Stadt Pisa bis zu seiem Tod ca im Jahre 1240 Eriert ma sich heute a Fiboacci, so dekt ma eher a eie spezielle Zahlefolge, die er als Kaiche- oder Haseproblem behadelt hat, oder a de Goldee Schitt Im Liber abaci erscheit dazu folgede Übugsaufgabe zur Additio: Ei eugeborees Hasepaar wird i eie umzäute Garte gesetzt Jedes Hasepaar erzeugt währed seies Lebes jede Moat ei weiteres Paar Ei eugeborees Paar wird ach eiem Moat fruchtbar ud bekommt somit ach zwei Moate seie erste Nachkomme Es soll ageomme werde, dass die Hase ie sterbe Wie viele Hasepaare sid ach eiem Jahr i diesem Garte? Zur Lösug dieser Aufgabe betrachte wir die Etwicklug der Hasepaare i de erste Moate Moat Alte Kaichepaare Juge Kaichepaare Summe (Soh des Boacci )Der Name ist eie Erfidug eies Geschichtsschreibers des 19 Jahrhuderts Leoardo oder eier seier Zeitgeosse hat diese Name ie verwedet

2 1 Goldeer Schitt Pascalsches Dreieck 2 Ma ka der Tabelle sehr schö das Recheschema etehme, das i Übereistimmug mit der Aufgabestellug gilt: Um eie eue Zeile auszufülle, schreibt ma i die Spalte für die alte Kaichepaare die Summe der alte ud juge Kaichepaare aus der vorhergehede Zeile De vo de alte Kaiche überlebe alle ud die juge werde zu alte I die Spalte für die juge Kaichepaare schreibt ma die Azahl der alte aus der vorhergehede Zeile Somit ergibt sich für die Azahle der Hasepaare i der Spalte Summe : f 1 = 1, f 2 = 1, f 3 = 2, f 4 = 3, f 5 = 5, f 6 = 8, wobei wir die Bezeichug mit f hier eiführe Betrachtet ma diese Zahlefolge geauer, so erket ma, dass ma immer zwei aufeiader folgede Zahle addiert, um die ächste Zahl zu erhalte Oder formal ud geauer: f +1 = f + f 1, 2 Diese Zusammehag köe wir für die Hasepaare erläuter Moat Alte Kaichepaare Juge Kaichepaare Summe - 1 a b a + b a + b a 2a + b + 1 2a + b a + b 3a + 2b Vo Zeile zu Zeile überlebe die alte Kaichepaare, zu de alte komme die vormals juge, die u auch alt sid Die Azahl der juge Kaiche ist gerade die Azahl der alte Kaichepaare im Moat davor 111 rekursive Defiitio der Fiboacci-Zahle Die Fiboacci-Zahle werde rei abstrakt ud ohe jede Sachzusammehag über das rekursive Bildugsgesetz defiiert f +1 = f + f 1, 2 ud f 1 = f 2 = 1 Uter de Fiboacci-Zahle versteht ma da die Mege aller Zahle, die i dieser Folge vorkomme So ist 34 ei Fiboacci-Zahl, ämlich die 9, dagege ist 40 keie Fiboacci-Zahl, de sie wird durch die Zahlefolge überspruge 112 Fiboacci-Zeichekette Die Aufgabe mit de Kaiche(paare) ka ma etwas ausführlicher formalisiere, idem ma für jedes Paar eie Buchstabe schreibt Für ei altes Kaiche, das ei juges bekomme ka, schreibe wir A, für ei juges B (Baby) Da sieht die afägliche Etwicklug folgedermaße aus:

3 1 Goldeer Schitt Pascalsches Dreieck 3 1 Moat B 2 Moat A 3 Moat AB 4 Moat ABA 5 Moat ABAAB Schaue wir us die ächste beide Moate geauer a 6 Moat ABAABABA 6 Moat ABAABABA 5 Moat ABAAB 7 Moat ABAABABAABAAB 7 Moat ABAABABAABAAB Liks ist dargestellt, wie sich die Buchstabekette ach der origiale Fortpflazugsregel weiteretwickelt Jedes alte Kaiche bleibt alt, bekommt aber ei juges aus A wird AB, was durch die Rahme um AB hervorgehobe wird Jedes juge Kaiche wird ei altes aus B wird A Rechts werde die Zeichekette ach dem rekursive Bildugsgesetz zusammegesetzt Dh die Zeichekette des 6 Moats wird abgeschriebe ud dara wird die Zeichekette des vorhergehede Moats gehägt Beide so zusammegefügte Zeichekette ergebe geau dieselbe wie sie liks gebildet wurde Diese Gesetzmäßigkeit gilt gaz allgemei Eie ähere Betrachtug dazu würde da aber doch zu weit führe 113 Die explizite Formel für die Fiboacci-Zahle Die Fiboacci-Zahle sid zum eie rei mathematisch iteressat mit vielfältige Eigeschafte Sie fide aber auch i reale Probleme eie Awedug Daher habe Mathematiker ebe der mühsame, rekursive Berechug auch ach eier explizite Formel für die Fiboacci-Zahle gesucht, also eier Formel, mit der ma gezielt höhere Fiboacci-Zahle bereche ka, ohe die vorhergehede bereche zu müsse Solch eie Formel wurde erst 1843, also ca 500 Jahre ach Fiboacci, vo dem frazösische Mathematiker Biet veröffetlicht f = Erstaulich a dieser Formel ist, dass bei eier exakte Rechug (also keie dezimale Näherugszahle) alle Terme mit 5 sich letztlich herauskürze ud so die Ergebisse wie verlagt alle atürliche Zahle sid Die zweite Klammer ethält eie Zahl, die zwische -1 ud 0 liegt Damit wird für gerade eie positive, für ugerade eie egative Zahl abgezoge Da der Betrag kleier als 1 ist, wird diese Zahl für eie äherugsweise Berechug immer ubedeuteder So ist zb

4 1 Goldeer Schitt Pascalsches Dreieck ,00813 Daher ka ma diese Term verachlässige 2 ud ma erhält eie gute Näherugsformel mit f = , , Ma muss lediglich das 5 2 Ergebis auf die ächste, atürliche Zahl rude Beispiel: Für = 20 erhält ma f 20 0, , ,001, was vollkomme korrekt f = 6765 liefert Bei höhere Fiboacci-Zahle 20 ist es otwedig, dass die Näherugszahle mit hoher Geauigkeit bestimmt werde 114 Eigeschafte der Fiboacci-Zahle Auf de erste Blick wirkt die Fiboacci-Folge sehr uregelmäßig, es gibt bei ihr jedoch eie Fülle iteressater Eigeschafte zu etdecke 1141 Summe Wir utersuche zuächst die Summe der erste Fiboacci-Zahle, also f 1 + f 2 + f 4 ++ f = f i Fiboacci-Zahle Summe Scho diese Beispiele lasse vermute, dass die Summe immer 1 kleier ist als die überächste Fiboacci-Zahl Also f i = f +2 1 Zum Beweis dieser Formel schreibe wir die rekursive Defiitiosgleichug um: f = f + f folgt +1 1 f = f f 1 +1 Also gilt f = f f, f = f f, f = f f, usw Addiert ma u alle Gleichuge vo f 1 bis f, so erhält ma auf der like Seite die Summe der erste Fiboacci-Zahle f 1 + f 2 + f 4 ++ f = f i Auf der rechte Seite ergibt sich f f + f f + f f + f f ++ f f Hier erket ma, dass sich fast alle Summade aufhebe ud letztlich f + f übrig 2 +2

5 1 Goldeer Schitt Pascalsches Dreieck 5 bleibt Wege f = 1 lautet die rechte Seite 2 f 1, womit die Formel +2 bewiese ist Als ächste Summe betrachte wir die Summe aller Fiboacci-Zahle mit ugeradem Idex, also f 1 + f 5 + f 7 + f 2 1 = f 2i 1 Auch hier lässt ei eifaches, umerisches Experimet das Ergebis erahe Idex Fiboacci-Zahle Summe (uger Idex) Hier erket ma sofort das vermutliche Ergebis: f 2i 1 = f 2 Zum Beweis forme wir wieder die rekursive Defiitiosgleichug um f = f + f f = f f Damit ergebe sich für die eizele Fiboacci-Zahle mit ugeradem Idex: f = f f, f = f f, f = f f,, f = f f Addiert ma alle Gleichuge iklusive der zusätzliche f 1 = f 2, so erhält ma liks die betrachtete Summe Rechts ergibt sich f + f f + f f + f f ++ f f Auch hier hebe sich alle Summade auf bis auf f Damit ist die Formel bewiese 2 Etspreched gilt für die Summe der Fiboacci-Zahle mit geradem Idex f 2 + f 4 + f 6 + f 8 + f 2 = f 2i = f Der Beweis ka auf gaz aaloge Weise geführt werde wie die obige beide Addiert ma die Fiboacci-Zahle mit alterieredem Vorzeiche, so ergibt sich f 1 f 2 f ( ) +1 f = ( 1) i+1 f i = ( 1) +1 f 1 +1 Für die Summe der Quadrate der Fiboacci-Zahle erhält ma ebefalls eie sehr schöe Formel f f f f 2 = f 2 i = f f +1, zu der es eie wuderschöe, aufschlussreiche grafische Veraschaulichug gibt

6 1 Goldeer Schitt Pascalsches Dreieck 6 Die erste beide Quadrate (=2), f 12 + f 2 2 = , legt ma ebeeiader Sie bilde ei Rechteck mit de Kateläge f 2 = 1 ud f 3 = 2 Für =3 legt ma f 32 = 2 2 ach obe a die Kate der Läge 2 Ma erhält wieder ei Rechteck mit de Kateläge f 3 = 2 ud f 4 = 3 Wir sprige u zum Fall =5 Dazu wurde a die letzte Figur f 42 = 3 2 ach liks ud f 2 = 5 2 ach ute agelegt Es ergibt sich 5 wieder ei Rechteck, das die Breite des zuletzt agelegte Quadrats hat, also f = 5, 5 ud eie Höhe, die sich aus de letzte beide Quadratseite ergibt Das ist f 4 + f 5, woraus sich ach dem Bildugsgesetz für die Fiboacci-Zahle f 6 ergibt Nach dem gleiche Prizip wird das Quadrat mit der Kateläge f = 5 5 agelegt, um das ächste Rechteck zu bilde 1142 Beziehuge zwische de Folgeglieder Das Quadrat eier Fiboacci-Zahl stimmt ugefähr mit dem Produkt der beide Nachbarzahle überei Es uterscheidet sich lediglich um 1, ud zwar abwechseld um Eis zu weig oder zu viel Formal aufgeschriebe ud geauer formuliert gilt: ( ) f 2 = f 1 f +1 1 Für die erste Fiboacci-Zahle bedeutet das f22 = 1 2 = f32 = 2 2 = f42 = 3 2 = f 2 = 5 2 =

7 1 Goldeer Schitt Pascalsches Dreieck 7 Scho früh hat ma ach Formel gesucht, die das sture, rekursive Bereche aller vorhergehede Zahle vermeidet Eie schöe, recht allgemeie Formel ist f = f f + f f +m 1 m m+1 mit der ma vo eier Fiboacci-Zahl gleich m Schritte weitergehe ka Dieses soll a eiem Beispiel erläutert werde Zur Berechug vo f zerlege wir de Idex 21 i Da 21 liefert die Formel für = 13 ud m = 8 f 21 = f 12 f 8 + f 13 f 9 Folglich müsse wir die vier kleiere Fiboacci-Zahle ermittel: f 12 = 144, f 13 = 233, f 8 = 21 ud f 9 = 34 Also lautet die Rechug = = f 21 Für de Soderfall = m liefert die letzte Formel ( ) f f 2 = f 1 + f +1