Bestimme ferner die Koordinaten des Bildpunktes von B bei der Spiegelung

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1 Vektoren - Skalar- und Vektorprodukt ================================================================== 1. Gegeben sind die Punkte A und B bzgl. eines kartesischen Koordina- tensystems mit dem Koordinatenursprung O. Gib an a) A b) AB c) BA d) 3 AB e) A + BA f) AB g) BA g) AB OA Bestimme ferner die Koordinaten des Bildpunktes von B bei der Spiegelung h) an x 2 x 3 -Koordinatenebene i) an der x 3 -Achse j) am Ursprung Gegeben : A 4 1 5,, und. B D Zeige, dass die Seitenmitten des Vierecks ABCD ein Parallelogramm bilden. 3. Gegeben : A 4 1 7, und B C Bestimme den Punkt D so, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm i 4. Gegeben : A 1 1 4, und. B S Bestimme C so, dass das Dreieck ABC den Schwerpunkt S besitzt. 5. Gegeben : A 3 0 5, und. B M Bestimme die Punkte C und D so, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm mit dem Diagonalenschnittpunkt M ist. 6. Untersuche, ob das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist. a) A 3 6 5,, und B D b) A 0 8 6,, und. B D Gegeben : A 2 3 1,, und B D a) Zeige, dass das Viereck ABCD eine Raute ist. b) Berechne die Größe der Winkel und den Flächeninhalt der Raute.

2 8. Gegeben : A und B Bestimme den Repräsentanten eines Vektors, der zu AB parallel ist, dessen Anfangspunkt ebenfalls A ist und dessen Spitze in der x 1 x 2 -Ebene liegt. 9. Gegeben : A , B , C und D Zeige, dass das Tetraeder ABCD regulär ist Gegeben ist der Vektor a = 5, Bestimme die Koordinaten eines zu a parallelen 7,5 Vektors mit der Länge Gegeben : A und B Welche Punkte auf der x 1 -Achse sind von A doppelt so weit weg wie vom Punkt B? 12. Gegeben : A 2 2 3,, und B D Zeige, dass das Viereck ABCD ein gleichschenkliges Trapez ist. 13. Gegeben : A 1 1 5,, und B D a) Zeige, dass das Viereck ABCD ein Trapez ist. b) Berechne die Länge seiner Mittellinie. c) AECD ist ein Parallelegramm mit E AB. Bestimme die Koordinaten von E. 14. Gegeben : A 1 1 1, und B C Bestimme einen Vektor in Richtung der Winkelhalbierenden des Winkel α im Dreieck ABC. 15. Gegeben : A 1 1 0, und B C Bestimme den Punkt P in der x 1 x 2 -Ebene, der von A, B und C den gleichen Abstand hat.

3 16. Der Punkt B des Drachenvierecks ABCD mit A und C liegt auf der x 1 -Achse und hat BD als Symmetrieachse. E. D ist doppelt so weit vom Diagonalenschnittpunkt entfernt wie B. Bestimme und D sowie den Flächeninalten des Drachenvierecks. k + 1 k 17. Bestimme k so dass die Vektoren a = 2 2k und b = 4 aufeinander senkrecht 1 stehen. 18. Gegeben : A 2 1 4,, und B D a) Zeige, dass die von A auslaufenden Kanten der Pyramise ABCD paarweise aufeinander senkrecht stehen. b) Berechne das Volumen V der Pyramide. 19. Gegeben : A 7 6 3,, und B D Beweise, dass das Viereck ABCD ein Rechteck ist Gegeben : A und B Für welche Punkte P der x 1 -Achse gilt kapb = Gegeben : A und C Bestimme einen Punkt B auf der x 2 -Achse, so dass das Dreieck ABC gleichschenklig mit der Spitze C ist. 22. Gegeben : A und B Der Punkt C des Rechtecks ABCD liegt auf der Bestimme C und D sowie den Inhalt des Rechtecks. -Achse. x 1 k 23. Gegeben : a = und b =

4 Für welche Werte von k, hat das von beiden Vektoren aufgespannte Parallelogramm den Inhalt 3? Gegeben : A und B sowie M Berechne für das Parallelogramm ABCD mit dem Mittelpunkt M den Inhalt und die Länge der beiden Höhen des Parallelogramms. 25. Gegeben : A 3 5 5, und. B C ABCD ist die Grundfläche einer geraden quadratischen Pyramide mit der Höhe h = 9. Bestimme die Koordinaten der beiden möglichen Spitzen. 26. Gegeben : A , und. B C A, B und C sind zusammen mit dem Ursprung O die Ecken eines Tetreders. a) Berechne den Inhalt seiner Oberfläche b) Die Länge der Höhe des Tetraeders, die nicht mit einer seiner Kanten zusammenfällt. 27. Gegeben : A und B Für welche Punkte C auf der x 1 -Achse hat das Dreieck ABC den Inhalt 18? 28. Gegeben : A 6 8 3, und. B C Die Punkte A, B und C sind die Ecken der Grundfläche eines geraden dreiseitigen Prismas mit dem Volumen 343. Die entsprechenden Ecken der Deckfläche sind D, E und F. Bestimme ihre Koordinaten. 29. Gegeben : P 0 0 1, und. Q R Die Punkte P, Q und R sind Mittelpunkte von Kugeln mit dem Radius 3. Eine Ebene berührt die Kugeln so, dass P, Q und R auf derselben Seite der Ebene liegen. a) Bestimme die beiden möglichen Punkte, in denen die Ebene die Kugel mit Mittelpunkt P berührt. b) Wie groß ist der Inhalt des Dreiecks, das durch die drei Berührpunkte bestimmt ist. c) Wie viele Ebenen, welche die drei Kugeln berühren gib es?

5 1. Lösung 4 a) A = b) AB = c) BA = d) 3 AB = e) A + BA = f) AB = 6 g) BA = 6 g) AB OA = Lösung: M a 2 0 8,, und M b M c M d Lösung: D = C + BA ergibt D Lösung: M c 3, ,5 und M und damit c S = C Lösung: AM = 6 und damit C sowie BM = und damit 1 D Lösung: a) ABCD ist ein Parallelogramm b) ABCD ist kein Parallelogramm 7. Lösung a) AB = BC = CD = DA = 3 b) AC = 3 2 und BD = 10 und damit I ABCD = 15 2 α = 73,4 8. Lösung: A + k AB = + λ 1 λ = Lösung s = 15 2

6 6 10. Lösung : b = Lösung : 4a = ( 3 a) a = 1 a = Lösung: AB h CD und AD = BC = Lösung: a) AB h DC b) m = 12 c) E Lösung : w = Lösung: (1) (a + 1) 2 + (b 1) 2 = (a + 2) 2 + (b 2) 2 (2) (a + 1) 2 + (b 1) 2 = (a 2) 2 + (b 1) ergibt P Lösung : B 5,5 0 0 und M ergibt D Lösung : k = 2 k = Lösung : a) --- b) V = Lösung: P und P Lösung: B oder B Lösung : C und A = Lösung : k = 2 k = Lösung: C und A = Lösung : M und v = 6 3

7 26. Lösung: a) O = = 100 b) V = 40 h = = Lösung c = 8 4c (8 + 4c) 2 + (4c + 20) 2 = 1296 c = 1 c = 8 4 4c Lösung = 21 I = = 24,5 h = 14 v = Lösung 3 a) PQ = 4 und PR = a) PQ PR = 22 mit dem Betrag PQ PR = P 1 = + 1 = und P 2 = 1 = b) A = 1 33 = 16,5 2 c) E gibt 8 Ebenen, welche alle drei Kugeln berühren.