M 6. Inhaltsverzeichnis Grundwissen M Brüche. z eines Ganzen bedeutet: Teile das Ganze in n gleiche Teile. Der Bruchteil n

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1 M M. M. M. M. M. M. M. M.8 M.9 M.0 M. M. M. M. M. M. M. M.8 M.9 M.0 M. M. Inhaltsverzeichnis Grundwissen Brüche Erweitern und Kürzen von Brüchen Prozentschreibweise Rationale Zahlen Dezimalschreibweise Relative Häufigkeit Addieren und Subtrahieren von Brüchen Multiplikation von Brüchen Division von Brüchen Rechnen mit Dezimalzahlen Flächeninhalt: Dreieck Flächeninhalt: Parallelogramm Flächeninhalte: Trapez und weitere Vielecke Oberflächeninhalt Schrägbilder Volumen Volumen des Quaders Betrag einer rationalen Zahl Vergleichen rationaler Zahlen Grundbegriffe der Prozentrechnung Direkte und indirekte Proportionalität Beschreibung von Anteilen M. Brüche Der Bruchteil n z eines Ganzen bedeutet: Teile das Ganze in n gleiche Teile und nimm z von diesen Teilen. n z nennt man einen Bruch. Der Nenner gibt an, dass das Ganze in Teile zerlegt wird Bruchstrich Der Zähler gibt an, wie viele dieser Teile zusammengefasst werden Veranschaulichung eines Rechtecks eines Kreises Beispiel: von ( : ) Ulla Miekisch 9/00

2 M. Erweitern und Kürzen von Brüchen (Lösung) ERWEITERN: Zähler und Nenner des Bruchs werden mit derselben natürlichen Zahl multipliziert. Erweitern Beispiel: ( mit erweitert ) KÜRZEN: Zähler und Nenner des Bruchs werden durch dieselbe natürlichen Zahl dividiert. Beispiel: : ( mit gekürzt ) : Kürzen Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keine gemeinsamen Teiler mehr haben Beispiel: 0 Brüche, die durch Kürzen oder Erweitern auseinander hervorgehen, beschreiben den gleichen Bruchteil eines Ganzen! M. Prozentschreibweise (Lösung) Brüche mit dem Nenner 00 kann man in Prozentschreibweise angeben: % 00 Häufig vorkommende Prozentsätze: % 00 0 % 0 0 % % 0 0 % 0 % 0 % 0 % 0 0 % 0 % 00 % 00 % % 80 % 9 0 Ulla Miekisch 9/00

3 M. Rationale Zahlen Alle positiven und negativen Brüche und die Zahl Null bilden zusammen die Menge der rationalen Zahlen Q. Q umfasst auch die Menge aller ganzen Zahlen Z und damit auch die Menge der natürlichen Zahlen N. Die gleiche rationale Zahl kann viele verschiedene Bezeichnungen haben: , 0 % 0 8, % M. Dezimalschreibweise Brüche, die, vollständig gekürzt, im Nenner nur die Primfaktoren und enthalten, können als endliche Dezimalzahlen geschrieben werden. (Man erweitert auf den Nenner 0,00,000,..) 0 Beispiel: 0,, 00 (lies: drei Komma null zwei null sieben) Stellenwerttafel: H Z E z h t zt 0, 0, 0 0, 0 % 0,, % Brüche kann man auch mit Hilfe schriftlicher Division in Dezimalbrüche umwandeln: :8 0, : 0,... 0, 8 endlicher Dezimalbruch unendlicher Dezimalbruch Ulla Miekisch 9/00

4 M. Relative Häufigkeit Ein Würfel wird 00 Mal geworfen. Es wurde notiert, wie oft die Ergebnisse ; ; ; ; und auftraten. Ergebnis Anzahl ( absolute 8 9 Häufigkeit ) Anteil an der Gesamtzahl 8 9% ( relative 00 Häufigkeit ) In 9 % aller Würfe wurde also die geworfen. Führt man dieses Zufallsexperiment Werfen eines Würfels sehr oft durch, kann man damit rechnen, dass die in etwa (, %) aller Würfe fallen wird (nach dem empirischen Gesetz der großen Zahlen). M. Addieren und Subtrahieren von Brüchen Zum Addieren und Subtrahieren müssen Brüche den gleichen Nenner haben. Der Nenner wird beibehalten, die Zähler werden addiert bzw. subtrahiert Brüche, die nicht den gleichen Nenner haben werden durch Kürzen und/oder Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner gebracht ( Ermittlung gemeinsamer Nenner) Gemischte Zahlen lassen sich oft leichter addieren/ subtrahieren, wenn man die Ganzen und die Brüche getrennt voneinander addiert/subtrahiert und dann zusammenfasst Ulla Miekisch 9/00

5 Ulla Miekisch 9/00 M.8 Multiplikation von Brüchen Zwei Brüche werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. Multiplikation mit einer ganzen Zahl: Multiplikation mit gemischten Zahlen: Es gilt: von M.9 Division von Brüchen Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrbruch multipliziert. (Eventuell kann man vor dem Ausmultiplizieren kürzen) Beispiel: : Sonderfall: Der Divisor ist eine natürliche Zahl : : Die Division durch Null ist nicht erlaubt. Ein Doppelbruch ist eine andere Schreibweise für eine Division: : von des Kuchens des Kuchens

6 M.0 Rechnen mit Dezimalzahlen Addieren und Subtrahieren: Zahlen so untereinander schreiben, dass Komma unter Komma steht und wie bei natürlichen Zahlen stellenweise rechnen. Multiplizieren: Zahlen ohne Rücksicht auf die Kommas multiplizieren. Das Komma wird so gesetzt, dass das Ergebnis so viele Nachkommastellen hat wie die Faktoren zusammen,98 +,009,99 0,0, 0,0 Dividieren: Im Divisor und Dividend das Komma so weit nach rechts verschieben, bis der Divisor eine ganze Zahl ist. Überschreitet man im Dividenden das Komma, muss im Ergebnis ein Komma gesetzt werden. 0,0 : 0,, : 0,0 M. Flächeninhalt Dreieck b b h c c c Jedes Dreieck besitzt drei Seiten (Grundlinien). Es ist üblich, diese Seiten mit Kleinbuchstaben, passend zur gegenüberliegenden Ecke zu bezeichnen (z.b. liegt die Seite a der Ecke A gegenüber). Die Länge der senkrechten Verbindungsstrecke zwischen einer Ecke und der gegenüberliegenden Seite (bzw. ihrer Verlängerung) heißt Höhe des Dreiecks. Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt: A D also gh (g: Grundlinie, h: Höhe) D a ha b hb c hc A Ulla Miekisch 9/00

7 M. Flächeninhalt: Parallelogramm Parallelogramm Beim Parallelogramm bezeichnet man den Abstand zweier paralleler Seiten als Höhe. In jedem Parallelogramm gibt es also zwei Höhen. Für den Flächeninhalt eines Parallelogramms gilt: A P g h g: Grundlinie, h: zugehörige Höhe Parallelogramme, die in einer Seite und der zugehörigen Höhe übereinstimmen, haben den gleichen Flächeninhalt. Rechtecke sind auch Parallelogramme. (Jede Seite ist zugleich die zur anliegenden Seite gehörige Höhe.) M. Flächeninhalte: Trapez und weitere Vielecke c a Ein Viereck mit zwei zueinander parallelen Seiten nennt man Trapez. Die beiden nicht zueinander parallelen Seiten heißen Schenkel. Der Abstand der zueinander parallelen Seiten heißt Höhe. d h b d Für den Flächeninhalt des Trapezes gilt: A T a c A A A Berechnen des Flächeninhalts eines Vielecks: Jedes Vieleck kann in Dreiecke (oder eventuell andere Figuren) zerlegt werden, deren Fläche man einzeln berechnet und am Schluss addiert. A A + A + A Wichtig: Flächeninhalte, die aufgrund von Messwerten berechnet werden, sind nur so genau wie die gewonnenen Messwerte! Bei Flächenberechnungen ist immer sinnvoll zu runden! Ulla Miekisch 9/00

8 M. Oberflächeninhalt Der Oberflächeninhalt eines Körpers ist identisch mit dem Flächeninhalt seines Netzes. Er berechnet sich als Summe der Flächeninhalte seiner Begrenzungsflächen. Beispiel: A Oberfläche: A A A cm cm cm, cm O A + A + A + A, cm +, cm +, cm + + ½ cm, cm + 0, cm + cm + cm cm Bemerkung: Obiges Netz gehört zu einem geraden Prisma. Ein gerades Prisma ist ein Körper, bei dem die Grundfläche und die Deckfläche aus parallelen, deckungsgleichen Vielecken bestehen und die Seitenflächen Rechtecke sind. Der Flächeninhalt aller Seitenflächen berechnet sich dann aus der Höhe des geraden Prismas multipliziert mit dem Umfang der Grundfläche! M. Schrägbilder Der räumliche Darstellung (Perspektive) eines Körpers in der Zeichenebene nennt man Schrägbild des Körpers. Es ist sinnvoll eine Begrenzungsfläche in wahrer Größe zu zeichnen. Alle zu dieser Fläche senkrecht stehenden Strecken werden auf kariertem Papier parallel zu den Kästchendiagonalen gezeichnet. Dabei gilt: Eine Strecke der Länge cm wird auf die Hälfte der ursprünglichen Länge (bzw. auf eine Kästchendiagonale) verkürzt! ( Kavaliersperspektive ) Kanten, die in Wirklichkeit parallel sind, sind auch im Schrägbild parallel. Senkrechte Kanten dagegen stehen im Schrägbild nicht unbedingt senkrecht aufeinander. Hinweis: Oft ist es sinnvoll, zunächst das Schrägbild eines Quaders zu zeichnen, aus dem sich das Schrägbild des Körpers dann entwickeln lässt Ulla Miekisch 9/00

9 M. Volumen (Rauminhalt) Einen Würfel mit den Kantenlängen LE (Längeneinheit) nennt man Einheitswürfel. Die Anzahl der Einheitswürfel, die notwendig ist, um den Rauminhalt (oder auch das Volumen) eines Körpers vollständig auszufüllen ist ein Maß für die Größe des Raumes, den ein Körper einschließt. Gebräuchliche Einheiten: mm (Kubikmillimeter) cm (Kubikzentimeter) dm (Kubikdezimeter) m (Kubikmeter) dabei entspricht: cm ml (Milliliter) dm l (Liter) hl (Hektoliter) 00 l Die Umrechnungszahl für direkt aufeinanderfolgende Volumeneinheiten ist 000 (Ausnahme hl). m 000 : 000 dm () l cm ( ml) mm : 000 Volumeneinheiten, Volumeneinheiten : 000 M. Volumen des Quaders Das Volumen eines Quaders V Q mit der Länge l, der Breite b und der Höhe h berechnet sich mit der Formel: V Q l b h Damit folgt speziell für einen Würfel mit der Kantenlänge a: V W a a a a Höhe h Breite b Länge l Wichtig: Rauminhalte, die aufgrund von Messwerten berechnet werden, sind nur so genau wie die gewonnenen Messwerte! Bei Volumenberechnungen ist deshalb immer sinnvoll zu runden! Ulla Miekisch 9/00

10 M.8 Betrag einer rationalen Zahl Unter dem (absoluten) Betrag einer Zahl versteht man ihren Abstand von der Zahl Null. Schreibweise: 8 ( Betrag von Acht ) Beispiele: ; ; 0 0 Es gilt: Zahl und Gegenzahl besitzen denselben Betrag. Von zwei negativen rationalen Zahlen ist diejenige die größere, die den kleineren Betrag besitzt! und - 0 M.9 Vergleichen rationaler Zahlen Eine rationale Zahl ist umso größer, je weiter rechts sich ihre Markierung auf der Zahlengeraden befindet. Vergleichen von positiven Brüchen: - Von zwei Brüchen mit gleichen Nennern ist derjenige größer, der den größeren Zähler 9 besitzt. > - Von zwei Brüchen mit gleichen Zählern ist derjenige größer, der den kleineren Nenner besitzt. < 8 - Oft lassen sich natürliche Zahlen,,...oder einfache Brüche wie zwischen die zu vergleichenden Brüche einordnen. Um beliebige Bruchzahlen miteinander zu vergleichen, kann durch Kürzen oder Erweitern sowohl der Nenner als auch der Zähler gleichnamig gemacht werden! Dann wendet man die obigen Regeln an. Vergleichen von Dezimalzahlen: Dezimalzahlen vergleicht man von links nach rechts. Die erste Stelle, in der sich zwei Dezimalzahlen unterscheiden, gibt an, welche die größere ist. Beispiel:,0 <, <,0 <,0 Ulla Miekisch 9/00

11 M.0 Grundbegriffe der Prozentrechnung Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz sind die wesentlichen Begriffe der Prozentrechnung. Der Grundwert steht für das Ganze, also 00 %, der Prozentsatz beschreibt den Bruchteil vom Ganzen als Bruch mit dem Nenner 00 und der Prozentwert gibt an, wie viel dieser Bruchteil als Anteil ausmacht. Beispiel: {% von 0kg { kg Prozentsatz Grundwert Prozentwert kg Berechnung des Prozentsatzes: 0, % 0kg Berechnung des Grundwerts: % sind kg % sind kg:, kg 00% sind, kg 00 0 kg Berechnung des Prozentwerts: 0,0 kg kg oder 0, G kg G kg:0,0 kg M. Direkte und indirekte Proportionalität Direkte Proportionalität: Bei einer Verdoppelung (Verdreifachung, ) der einen Größe verdoppelt (verdreifacht, ) sich auch die andere Größe. Beispiel: 0, Liter Cola kostet 0,9 (ohne Pfand). Wie viel muss für Liter Cola bezahlt werden? Lösung (mit dem Dreisatz): 0, Liter kostet 0,9 Liter kostet 0,9,8 Liter kosten,8 9,8 Indirekte Proportionalität: Bei einer Verdoppelung (Verdreifachung, ) der einen Größe halbiert (drittelt, ) sich die andere Größe. Beispiel: 8 Arbeiter benötigen für einen Abwasserkanal Tage. Wie viele Arbeiter benötigt man, wenn die Arbeit in drei Tagen erledigt werden soll? Lösung (mit dem Dreisatz): 8 Arbeiter brauchen Tage Arbeiter braucht 8 Tage ( 9 Tage) Arbeiter brauchen 9 : Tage (Tage) Achtung! Grenzen beachten! 9 Arbeiter schaffen den Kanal nicht an einem Tag, sondern treten sich auf die Füße! Ulla Miekisch 9/00

12 M. Beschreibung von Anteilen Beispiel: Von 0 Herzchen sind rot der Herzchen sind rot eines von vier Herzchen ist rot jedes vierte Herzchen ist rot % aller Herzchen sind rot Ulla Miekisch 9/00