1 Übungen zu Mengen. Aufgaben zum Vorkurs B S. 1. Aufgabe 1: Geben Sie folgende Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente an:

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1 Aufgaben zum Vorkurs B S. 1 1 Übungen zu Mengen Geben Sie folgende Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente an: A = {x N 0 < x < 4, 8} B = {t N t ist Teiler von 4} C = {z Z z ist positiv, durch 3 teilbar und kleiner als 1} D = {x R x 1 = 0} E = {x R () = 0} F = {x R x + 8 = 9} Geben Sie alle Teilmengen von S = {1,, 3, 4} an. Wieviele sind das? Haben Sie eine Idee für T = {1,, 3, 4, 5}? Und ganz allgemein für eine n-elementige Menge? Gegeben sind die vier Mengen A = {1, }, B = {{1}, {}}, C = {{1}, {1, }}, D = {{1}, {}, {1, }} Diskutieren Sie die Gültigkeit folgender Beziehungen: (i) A = B, (ii) A B, A C, (iv) A C, (e) A D (v) B C, (vi) B D, (vii) B D, (viii) A D Prüfen Sie, ob folgende Mengenformeln gültig sind (Benutzen Sie Mengendiagramme zur Veranschaulichung) (i) (A B) \ C = (A \ C) B (ii) (A B) C A (B C) (A B) C = A (B C) Beweisen Sie folgende Mengenformeln: (i) A (B C) = (A B) (A C) (ii) (A B) c = A c B c Beweisen Sie, daß die eine der folgenden Mengenformeln immer richtig, die andere manchmal falsch ist: (i) A \ (B \ C) = (A \ B) C (ii) A \ (B C) = (A \ B) \ C

2 Aufgaben zum Vorkurs B S. Übungen zu Zahlen Beweisen Sie für n mit vollständiger Induktion k k 1 = (n 1) n Berechnen Sie mit Hilfe des binomischen Satzes = (1000 1) 3 und (i) Schreiben Sie den Bruch als Dezimalzahl (mit Angabe der Periode) (a) 3 8, (b) 3 7, (c) (ii) Schreiben Sie die Dezimalzahl als Bruch ganzer Zahlen in gekürzter Form: (a)) 0, 8, (b) 0, 15 3 k= Benutzen Sie die Potenzrechenregeln, um den Ausdruck zu vereinfachen: Mit endlichen Summen rechnen: (i) (3k + ) (ii) k=1 5 k= 5 3, (i) 6 5m 5 m, (ii) (15x y 3 ) 4 5 m+ (5x 3 y 6 ) a n + a n 1 a n + a n 3, (iv) ( ) a 3 ( b ab : cd 3 c d ) 4 (iv) k=1 k n ( 1) k x k k=0 k+1 k= 1 Bestimmen Sie die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung (durch quadratische Ergänzung): (i) x + 6x + 5 = 0, (ii) x + 6x + 9 = 0, x + 6x + 13 = 0 (iv) x(x ) = 3, (v) x 5x + 6 = 0, (vi) x 3x + 3 = Aufgabe 7: Zerlegen Sie den quadratischen Ausdruck in ein Produkt von Linearfaktoren: (i) x 8x + 15, (ii) 4t 4t + 1, 18u 9u + 1

3 Aufgaben zum Vorkurs B S. 3 3 Übungen zu Ordnung und Betrag Formen Sie in betragsfreie Ausdrücke um: (i) x xy + y (ii) a a a a + b + a b Deuten Sie die auftretenden Beträge geometrisch als Abstände von Punkten auf der Zahlengeraden, und bestimmen Sie so die Lösung der Gleichung bzw. Ungleichung: (i) x 3 = 8 ; x + 3 = 8 ; x 5 ; x 3 < 8 ; x + 3 > 8 ; x > 9 ( x > 3) (ii) x + 1 = ; + x > 1 ; + x = 1 ; + x + 1 < Formen Sie zuerst so um, daß der Koeffizient bei x gleich 1 ist und Sie einen Ausdruck der Form x a erhalten: 3 5x = ; 4 x < 3 ; 5 x 3 6. Beispiele für Gleichungen, bei deren Lösung naheliegende Umformungen nicht immer äquivalente Umformungen sind: (i) x x x + x 6 = 0 (ii) = x + 1 Diskutieren Sie die möglichen Vorgehensweisen, wenn bei einer wünschenswerten Umformung keine Äquivalenz, sondern nur die Implikation in der Schreibrichtung gilt; z.b.: Welche Beziehung besteht dann zwischen der Zahlenmenge, die man schließlich erhält, und der Lösungsmenge der Gleichung? Was bedeutet es im Grunde, wenn man von einer erforderlichen Probe spricht? Daß die vorhergehende Bestimmung des Definitionsbereiches nützlich sein kann, zeigt die Untersuchung der Gleichung 1 1 = 0 1 x. Lösen Sie folgende Ungleichungen, indem Sie Äquivalenzen wie a b = 0 a = 0 oder b = 0, oder a b > 0..., oder a b < 0... usw. ausnutzen: (i) ()(x 3) > 0 (ii) x 3 > 0 x 3 + 5x 0 (iv) x 4x < 0

4 Aufgaben zum Vorkurs B S. 4 (v) x 3x Lösen Sie folgende Ungleichungen durch Fallunterscheidung oder durch Umformung in Ungleichungen, die wie in (ii) behandelt werden können: (i) x 5 x 4 > 1 (ii) 3 x 5 < x + 3 x + 3 x x x Übungen zu Funktionen Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion f, deren Zuordnungsvorschrift f (x) gegeben ist durch: i) 1 x ii) 1 1 x iii) 1 x + x iv) x v) + x x + Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f, wenn f (x) gegeben ist durch: (i) a) x b) c) x + 1 d) x + 1 (ii) a) 1 x b) 1 x c) 1 x + 1 d) 1 x + 1 x 1 (iv) x 9 x 3 Berechnen Sie die Schnittpunkte des Graphen von f mit den Achsen, wenn f (x) gegeben ist durch: i) x 1 1 ii) iii) x (x + 1) x x (i) Sei die Funktion f : R \ {} R gegeben durch: f (x) = 1 + x x Bilden Sie: f (3t), f (), f ( 1 x ) (ii) Bilden Sie die zusammengesetzten Funktionen f (g(x)) und g(f (x)): a) f (x) = x + 1, g(x) = x b) f (x) = x, g(x) = Geben Sie jeweils den Definitionsbereich der zusammengesetzten Funktion an.

5 Aufgaben zum Vorkurs B S. 5 Welche der Funktionen f : D R ist streng monoton und besitzt daher eine Umkehrfunktion? (i) f (x) = x + x mit a) D = {x 0 x 3} b) D = {x 1 x 3} (ii) f (x) = 1 x mit a) D = {x x > 0} b) D = R \ {0} (i) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von f : R \ {} R, f (x) = 1 x (ii) Sei f : [ 5, [ R definiert durch f (x) = 1 (x + 5)3 a) Geben Sie an, in welcher Weise f aus welchen Funktionen zusammengesetzt ist b) Zeigen Sie, daß f streng monoton ist. Untersuchen Sie dazu die Funktionen, aus denen f nach a) zusammengesetzt ist. c) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von f. 5 Übungen zu Rationale Funktionen Faktorisieren Sie so weit wie möglich (i) x 5 7x x 3 5x + 16x 4 (ii) x x + 8x + 4 x 4 + x 3 3x (iv) x 4 + x 3 + x 8x 0 (v) x 4 x 3 13x + 14x + 4 Führen Sie die Polynomdivision durch (i) x 4 16 x 4 (ii) x 4 3x 3 3x 5x x + x 3 x 4 + x + 4x x +

6 Aufgaben zum Vorkurs B S. 6 (iv) x 4 + 3x + 1 x 1 (v) x 3 x + x 1 (vi) x 7 1 (vii) x n 1 Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von (i) x x x (ii) x 6 x 4 (x ) (iv) 9x + 34x + 9 x 3 + 6x + 11x + 6 Bestimmen Sie eine Zerlegung von 6 Übungen zu Trigonometrie Bogen und Gradmaß 5x + 4 7x (x )(x + 1) mit einem Ansatz A x + Bx + C x + 1. (i) Geben Sie das Bogenmaß des Winkels α vom Gradmaß 135 an. (ii) Geben Sie das Gradmaß des Winkels α vom Bogenmaß 5 an. Geben Sie Grad- und Bogenmaß des Winkels α an, der aus einem Kreis mit Radius r = 3 einen Bogen der Länge 5 herausschneidet. cos x und sin x sind als die Koordinaten des Punktes P x auf dem Einheitskreis definiert (vgl. Skript); daher: cos x + sin x = 1. (i) Bestimmen Sie cos x und sin x für (1) x = 3 4 π, () x = 7 4 π (ii) Bestimmen Sie cos π 3 und sin π (gleichseitiges Dreieck) 3

7 Aufgaben zum Vorkurs B S. 7 Begründen Sie (am Einheitskreis): ( π ) sin x Anwendung der Additionstheoreme für cos und sin: (i) Berechnen Sie cos π 3 und sin π 3 : ( π ) = cos x, cos x = sin x sin(π x) = sin x, cos(π x) = cos x cos π 6, sin π 6, cos π 3, sin π 3 (ii) Zeigen Sie, daß für x, y R gilt: sin x + sin y = sin x + y cos x y Vereinfachen Sie: 1 + cos x 1 cos x Skizzieren Sie den Graphen der Funktion über einem geeigneten Intervall und diskutieren Sie die Wirkung der Koeffizienten und der additiven Konstanten: f 1 (x) = sin x, f (x) = sin x, f 3 (x) = sin x f 4 (x) = sin x, f 5 (x) = sin 1 x, ( f 6 (x) = sin x + π ), f 7 (x) = sin Beziehungen zwischen sin, cos, tan, cot. Vereinfachen Sie: (i) cos x + sin x tan x (ii) tan x cot x. Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. ( x π (i) Vereinfachen Sie den Ausdruck sin(arcsin x + arccos x), und zeigen Sie damit, daß für alle x R mit x 1 gilt: arcsin x + arccos x = π. (ii) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion der Funktion [ [ π f : 0, R mit f (x) = 1 3 tan x. ).