Wellenoptik I Interferenz und Beugung

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1 Physik A VL40 ( ) Interferenz und Beugung g Strahlenoptik vs. Wellenoptik Interferenz Kohärenz Zweistrahlinterferenz Interferometer als Messinstrumente Beugung Nahfeld und Fernfeld Fraunhofer-Beugung 1

2 Strahlenoptik vs. Wellenoptik bisher: geometrische Optik: Licht kann als Strahl betrachtet werden Strahl zeigt in Richtung der Ausbreitung der Wellenfront wird der Strahlbereich kleiner (Laser!) und kommt in den Bereich der Wellenlänge (0,5 Mikrometer!) Wellenphänomene Wellenphänomene bei allen Wellen: Wasserwellen, Lichtwellen, Schallwellen Wellen verstärken sich oder löschen sich aus: Interferenz Wellen gehen über Begrenzungen hinaus: Beugung an Öffnungen und an Hindernissen

3 Strahlenoptik vs. Wellenoptik Kenngröße für Unterscheidung geometrische Optik / Wellenoptik: Fresnel-Zahl F a a F = L L a charakteristische Größe der Blende (z.b. Radius) L Entfernung des Schirmes zur Blende Augustin Jean Fresnel ( ) Fallunterscheidung: F >> 1: Beugungseffekte vernachlässigbar geometrische Optik (Lichtdurchtritt durch Blende geometrischer Schatten) F 1: Fresnel-Beugung F << 1: Fraunhofer-Beugung Beugungseffekte 3

4 Strahlenoptik vs. Wellenoptik Wellenoptik und Huygens sches Prinzip: jeder Punkt einer Wellenfront ist Ausgangspunkt einer Kugelwelle Beugung g = Das Licht geht um die Ecke Die verschiedenen Wellen überlagern sich, was zu Interferenzen führt 4

5 Interferenz Beschreibung einer Welle: r r r A(, t) = A0 exp( i ( k ωt)) r r r A(, t) = A0 sin( k ωt) Für die Amplituden zweier Wellen gilt das Superpositionsprinzip: r r A + A = A exp( i ϕ ) + A exp( i ϕ )) exp( i ( k ω )) 1 ( 1,0 1,0 t ϕ 1, ϕ : Phasenverschiebungen der Wellen 1 und Sonderfall φ 1 = 0, Δφ = φ -φ 1 : r A + A = A + A exp( i Δϕ )) exp( i ( k r ω )) 1 ( 1,0, 0 t bei konstanter Phasenverschiebung Δφ gilt für A 1 = A : Δϕ = 0 : Δϕ = π : A 1 A 1 + A + A = A = 0 1,0 Verstärkung = Interferenzmaximum oder Auslöschung = Interferenzminimum ob Wellen sich auslöschen oder verstärken, hängt von ihrem optischen Weg bzw. dem Gangunterschied Δx und damit der Phasendifferenz zwischen den Wellen ab: Phasendifferenz Δ ϕ = π Δ x 5

6 Interferenz Kohärenz: Wellen sind kohärent, wenn ihr Phasenunterschied zeitlich konstant ist konstruktive Interferenz oder destruktive Interferenz Wegunterschied ist Vielfaches von Δx = m Wegunterschied ist / Δx = m +1 1 Interferenz tritt bei Licht nur bei kohärenten Wellen auf vs. z.b. von einem Laser 6

7 Interferenz Kohärenz: Wellen sind kohärent, wenn ihr Phasenunterschied zeitlich konstant ist Licht ändert seine Wellenphase normalerweise sehr schnell: kohärentes Licht nur bei Laser oder wenn weißes Licht speziell präpariert wird: - Filter und Blenden - Lichtbündel in zwei Teilbündel aufspalten fp und dann wieder überlagern Kohärentes Licht ist interferenzfähig: Kohärenz = Interferenzfähigkeit 7

8 Interferenz bei Licht werden nicht die Amplituden, sondern die Intensitäten = Amplitudenquadrate detektiert: Auge, Photodetektoren sind quadratische Detektoren Interferenzterm : I ( A1 + A ) = A1 + A + A1 A cos Δϕ Die Intensität wird maximal, wenn beide Phasen gleich sind, und minimal, wenn beide Phasen gerade entgegengesetzt sind für gleich starke Felder wird die Intensität - 4 mal so groß bei ikonstruktiver k Interferenz und - Null bei destruktiver Interferenz A = = A : I( Δϕ = 0) = A + A + A A 4A konstruktive Interferenz 1, 1 = I( Δϕ = π ) = A + A A1 A destruktive Interferenz 0 8

9 Interferenz Interferenz von Licht - Zweistrahlinterferenz planparallele Schichten: Gangunterschied zwischen reflektierten Wellen bei Reflexion am optisch dichteren Medium: Phasensprung von π oder Δx = / durch den Phasensprung entsteht konstruktive Interferenz für Δx = m d n sin α = m destruktive Interferenz für Δx = m + 1 d n sin 1 α = m Δ x = n ( AB + BC) AD Δx = d n sin Beispiele: Spiegel mit aufgedampfter Schicht, vgl. VL38 Flüssigkeitsfilme, Seifenblasen, Federn/Flügel von Tieren für α = 0: Δx = dn + (senkrechter Lichteinfall) α + 9

10 Interferenz Interferenz von Licht - Zweistrahlinterferenz Beispiel: Farben dünner Filme - ist ein Film sehr dünn, kann nur für eine Wellenlänge konstruktive Interferenz vorliegen, für alle anderen destruktive Interferenz = Interferenzfilter : Film erscheint in einer Farbe: 4dn Verstärkung für Δx = dn = ( m + 1), m = 0,1,,... m = ( m + 1) - z.b. d = 350 mm, n = 1,33: = 4dn = 186 nm = dn = 61nm 3 4 = dn = 37 nm 5 weitere Beispiele sichtbarer Wellenlängenbereich (Schicht hat eine rote Farbe) 10

11 Interferenz Beispiel: Entspiegelung g von Glas Interferenz von Licht - Zweistrahlinterferenz - dünne Schicht zwischen Luft und Glas: zwei reflektierte Strahlen an zwei Grenzflächen. Brechungsindex n(luft) < n 1 < n: an beiden Flächen Phasensprung von / - gewünscht ist eine destruktive Interferenz zwischen beiden Teilstrahlen - Bei senkrechtem Einfall: n 1 n 1 Δ x = dn 1 = ( m + ) m = 0 Δx = dn1 = d = 4n die Schichtdicke sollte ein Viertel der Wellenlänge betragen! - für sehr gute Entspiegelung müssen auch Intensitäten der Wellen gleich sein 1 d - vollständige, ideale Entspiegelung tritt ein für n = 1 n Herleitung über die Fresnel schen Formeln, die sich aus den Maxwell-Gleichungen ergeben. für Glas mit n = 1,5 könnte man mit n 1 =1entspiegeln 1, (es existiert aber kein haltbares Material mit n 1 = 1,; häufig verwendet wird MgF mit n 1 = 1,38) 11

12 Interferenz Interferenz von Licht - Zweistrahlinterferenz Platten mit veränderlicher Dicke / Keilplatten: Messung der Plattendicke - für kleine Winkel α: Δx n d( x) + Auslöschung für 1 m Δ x = (m + ) d = π Verstärkung für Δx = m m 1 d = ππ Beispiel: Newton sche Ringe - Ringe entstehen, da die Linse durch Krümmung ständig den Phasen-/ Wegunterschied des durchtretenden Lichts ändert: Wege gleicher Phase liegen auf Ringen - Radien, bei denen Auslöschung stattfindet (ohne Herleitung): r m R m r = mr Abstand aufeinanderfolgender dunkler Ringe nimmt ab 1

13 Interferenz Interferometer als Messinstrumente Interferometer erzeugen auf verschiedenen Wegstrecken Gangunterschiede zwischen Lichtstrahlen, die dann wieder zusammengeführt werden. Aus den Interferenzmustern können dann Weglängenunterschiede, Brechungsindexänderungen, Geschwindigkeiten oder Beschleunigungen bestimmt werden Beispiel: Michelson-Interferometer - senkrechte Wegauftrennung - unterschiedliche Lauflängen durch Variation der Spiegelabstände Beobachtete Interferenzringe 13

14 Beugung Frage: Wie breitet sich Licht hinter einem Hindernis aus? Huygens sches Prinzip: Kugelwellen vereinigen sich zu neuer Wellenfront hinter dem Hindernis fehlen Kugelwellen: Interferenz erzeugt Propagation nur in einige Richtungen: Beugungsordnungen Beugungsmuster sind umso deutlicher, je weiter weg der Schirm vom beugenden Objekt steht (Abstand L): Unterscheidung zwischen Nah- und Fernfeld / -zone a Realisierung der Bedingungen der Fraunhofer-Beugung: Quelle und Schirm sehr weit weg vom beugenden Objekt, oder Linsenabbildung: L << a L a a L >> 14

15 Beugung Fraunhofer-Beugung am Einzelspalt Abstand L des Schirms vom Spalt >> Spaltbreite a Licht fällt wieder parallel vom Spalt zum Schirm Überlagerung der Elementarwellen hinter dem Spalt (Huygen sches Prinzip) führt zur Interferenz = Verstärkung und Auslöschung in Abhängigkeit vom Beobachtungs- winkel α und den daraus resultierenden Gangunterschieden g: L Gangunterschied zwischen Teilstrahlen für Auslöschung: Gangunterschied zwischen Teilstrahlen für Verstärkung: n = a sinα 1 n = a sin α 15

16 Beugung Fraunhofer-Beugung am Einzelspalt Intensitätsprofil (ohne Herleitung): I ges k a sin sinα I ( ) ges α = I0 k a sinα 1 100% ,6% 4,5% ϕ(α ) je kleiner die beugende Öffnung, desto größer das Beugungsmuster 16

17 Beugung Fraunhofer-Beugung am Doppelspalt und Gitter hat ein Beugungsobjekt g mehrere Öffnungen kommt es zur Interferenz der Beugungsbilder g Beugung am Doppelspalt - zwei parallelen Spalte gleicher Breite b mit Mittenabstand a Jedes der beiden Teilbündel erfährt Beugung am einzelnen Spalt Zusätzlich: Interferenz der Teilbündel, die von den beiden Spalten unter dem gleichen Winkel ausgehen. Zusätzliche Auslöschungen bei Gangunterschied Δx = a sinα' = m + 1 Quelle: Wikipedia 17

18 Beugung Fraunhofer-Beugung am Doppelspalt und Gitter hat ein Beugungsobjekt g mehrere Öffnungen kommt es zur Interferenz der Beugungsbilder g Optisches Gitter: N > äquidistante Einzelspalte der Breite a mit Mittenabstand g. Interferenz vieler äquidistanter Einzelspalte: unter einem Winkel α kommt es zu konstruktiver Interferenz aller in diese Richtung laufenden Teilstrahlen bei Gangunterschied Δx benachbarter Teilstrahlen: Δ x = g sin α = m, m = 0,1,,...) Hauptmaxima bei Beugung am Gitter m = Ordnung der Interferenz Es ergeben sich Maxima, die umso kontrastreicher dh d.h. schärfer ausgeprägt sind, je größer die Anzahl N der Spalte ist. a 18

19 Beugung Fraunhofer-Beugung am Doppelspalt und Gitter Optisches Gitter: N > äquidistante Einzelspalte der Breite a mit Mittenabstand g. Beschreibung des Beugungsmusters g am Gitter: Überlagerung der Muster an den N Einzelspalten I ges = I 0 1 sin ka sinα 1 ka sin α 1 sin N kg sinα 1 sin kg sin α Beugung am Einzelspalt Beugung an N Spalten 19

20 Beugung Fraunhofer-Beugung an zweidimensionalen Objekten Spalte können in zwei Richtungen ausgedehnt sein: Beispiele: rechteckige (Kantenlänge D) oder kreisförmige (Durchmesser D) Öffnungen Beugung an Lochblende Beugungsmuster (Intensitäts- Verteilung) einer kreisförmigen Öffnung: Airy-Muster Beugung von weißem Licht an einem gekreuztem Gitter Bedingung g für Minimum:, 1, m = D sinα 0

21 Beugung Fraunhofer-Beugung an zweidimensionalen Objekten Auflösungsvermögen g zweier Lichtquellen: sind zwei Lichtquellen zu nahe beeinander, werden sie nicht mehr als getrennt wahrgenommen Bi il Shi f Beispiel: Scheinwerfer Auflösungsvermögen: zwei Punkte können noch getrennt werden, wenn das Maximum eines Beugungsbildes auf das erste Minimum des anderen fällt Bedingung für Minimum: 1, m = D sinα 1

22 Beugung Fraunhofer-Beugung an zweidimensionalen Objekten Beispiel Auflösungsvermögen eines Mikroskops: - Trennung von einzelnen Punkten wird beschränkt durch den Durchmesser der Linse (Apertur* der Linse): Beugung am Objekt Linse Abbe sches Auflösungskriterium - Bedingung für Minimum: 1, m = D sinα Begrenzung auf ~ ½ Wellenlänge des beobachteten Lichtes Bei Fernrohren/Teleskopen: Rayleigh sches Auflösungskriterium *Allgemein: Apertur eine Optik = Öffnungsweite z.b. Durchmesser einer Abbildenden Linse, Durchmesser einer Blende etc.

23 Beugung Fraunhofer-Beugung an zwei- und dreidimensionalen Objekten Beispiel: Röntgenbeugung g g (Röntgendiffraktion) am Kristallgitter - für die Maxima der Röntgenstrahlung gilt die sog. Bragg-Gleichung mit Δx = n d sin Θ = n - die Röntgenwellenlängen sind kurz! R Abbe sche Auflösungskriterium i gilt auch hier: m Auflösung im Bereich halber Wellenlänge = atomare Auflösung (im Å-Bereich) - Messung des Winkels Θ liefert die Gitterkonstante d des Kristalls - Systematische Aufnahme und Auswertung der Beugungsbilder des Kristalles unter verschiedenen Einstrahlwinkeln (Drehung des Kristalls im Röntgenstrahl) liefert Informationen über die Positionen der einzelnen Atome im Kristall Röntgenstrukturanalyse 3

24 Beugung Fraunhofer-Beugung an zwei- und dreidimensionalen Objekten Röntgenbeugung g g (Röntgendiffraktion) am Kristallgitter pulverförmige Probe: Debye-Scherrer-Verfahren Kristalline Probe: Laue-Verfahren - Beispiel: Entdeckung und Strukturaufklärung der DNA (Rosalynd Franklin, ) James Watson (links) und Francis Crick Röntgen-Beugungsbild der B-DNA. Rosalind Franklin gelang diese Aufnahme, die James Watson und Francis Crick den letzen Hinweis zur Strukturaufklärung der Erbsubstanz gab. (Quelle: Nature) 4

25 Zusammenfassung Interferenz entsteht durch optische Gangunterschiede von Lichtstrahlen, wenn deren Phase konstant bleibt: Kohärenz = Interferenzfähigkeit: durch den Gangunterschied Δx entsteht ein Phasenunterschied. Mit Δx = und Δ φ = π π Δϕ = Δx Δx = m m + 1 Δx = Phasendifferenz konstruktive Interferenz destruktive Interferenz Interferenzen treten überall im Alltag auf: dünne Schichten, Spiegelungen an planparallelen Platten, Seifenblasen, Ölfilme,... Interferometer nutzen optische Wegdifferenzen zur Messung von - Strecken, Brechungsindexänderungen, Rotationen, Spektrum von Lichtquellen,... Beugung: Huygen sches Prinzip, Interferenz der Elementarwellen Unterscheidung: Nahfeld = Fresnel-Beugung, g, Fernfeld = Fraunhofer-Beugung g Fraunhofer-Beugung: Quelle und Schirm weit entfernt oder im Brennpunkt von Sammellinsen 1 Beugung am Einzelspalt: Verstärkung n = a sinα Auslöschung n = a sinα Beugung am Gitter (Spaltabstand g): Verstärkung für n = g sinα Beugung an Lochblende (Durchmesser R): Auslöschung für 1, m = D sinα 5