1. Einleitung und Grundlagen der Wahrscheinlichkeit

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1 1. Einleitung und Grundlagen der Wahrscheinlichkeit 1.1 Einleitung Deskriptive Statistik: llgemeine und spezielle Methoden zur Datenauswertung, die unabhängig von der Erhebungsart angewendet werden können Induktive Statistik: Schätz- und Testmethoden zur uswertung von (Zufalls-)Stichproben, die eine Übertragung der Stichprobenergebnisse auf eine Grundgesamtheit ermöglichen bbildung: Induktiver Schluss Induktionsschluss (indirekter Schluss) Stichprobe Grundgesamtheit Deduktionsschluss (direkter Schluss) Gründe für Stichprobenerhebungen: Kostenersparnis ktualität Praktische Unmöglichkeit von Vollerhebungen 1

2 Beispiele von Fragestellungen in der Induktiven Statistik: Eine Marktforschung hat ergeben, dass der Durchschnittspreis einer bestimmten Tiefkühlpizza bei 1,90 liegt. Das Ergebnis basiert auf 20 zufällig ausgewählten Supermärkten in einer Region. In welchem Bereich liegt der Durchschnittspreis des Produktes in der Grundgesamtheit aller Supermärkte dieser Region? In einer Befragung eines Meinungsforschungsinstituts haben 5,5% der 1000 zufällig ausgewählten Personen angegeben, bei der kommenden Bundestagswahl eine bestimmte Partei wählen zu wollen. Kann diese Partei davon ausgehen, dass ihr Stimmenanteil bei allen WählerInnen ebenfalls über 5% liegt? Ein utohersteller behauptet, dass ein utotyp einen Benzinverbrauch von 7,3 l auf 100 km aufweist. Eine utozeitschrift bezweifelt diese ussage und misst den Verbrauch von 40 zufällig ausgewählten utos dieses Typs auf einer Teststrecke. Ist aufgrund des Stichprobenergebnisses von 7,5 l auf 100 km davon auszugehen, dass die Herstellerangabe zu gering ist? 2

3 Der induktive Schluss erfolgt auf der Grundlage der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die die Grundlage für die Induktive Statistik ist. Relevanz der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Basis der Schätz- und Testmethoden der Induktiven Statistik Mathematische Grundlage der Wirtschaftstheorie z.b. der Finanzmarkt-, Geldund Spieltheorie Die Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigt sich mit Vorgängen, deren Ergebnisse nicht mit Sicherheit vorausgesagt werden können, sondern dem Zufall unterliegen. Sie erlaubt, quantitative ussagen über die Ergebnisse von Zufallsvorgängen zu machen. Beispiele für Fragestellungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 100 produzierten Stücken eines Gutes mehr als 15 Stücke usschuss zu produzieren, wenn die usschussquote der Maschine 10% beträgt? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person aus einer bestimmten Risikogruppe einen utounfall verursacht? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der Überlastung von fünf Telefonhauptleitungen, wenn ein Unternehmen 200 ngestellte hat und diese mit einer Wahrscheinlichkeit von 2% telefonieren? 3

4 1.2 Zufallsexperiment und Ereignis Ein Zufallsexperiment bzw. Zufallsvorgang zeichnet sich durch folgende Charakteristika aus: Es gibt eine Menge möglicher Ergebnisse, die bei der Durchführung eines Zufallsvorgangs eintreten können Es ist unbekannt, welches der möglichen Ergebnisse tatsächlich eintreten wird (Zufallsabhängigkeit) Der Zufallsvorgang ist prinzipiell beliebig oft unter gleichen Bedingungen wiederholbar Beispiele für Zufallsexperimente bzw. Zufallsvorgänge: Bei einem Fußballspiel ist unbekannt, welches Ergebnis eintritt: Gewinn der Heimmannschaft, unentschieden, Gewinn der uswärtsmannschaft. In einem Supermarkt befinden sich 100 Joghurts, die wöchentlich neu geliefert werden. Es ist unbekannt, wie viele Joghurts (0 bis 100) in einer Woche abgesetzt werden. Das usspielen eines Würfels kann die Ergebnisse 1, 2, 3, 4, 5 und 6 liefern. Es ist unbekannt, welche ugenzahl eintreten wird. 4

5 Die Menge der möglichen Ergebnisse ω eines Zufallsexperiments heißt Ergebnismenge (Stichprobenraum) Ω: Ω = {ω ω ist Ergebnis des Zufallsvorgangs} Mächtigkeit der Ergebnismenge: Umfang der Ergebnismenge (nzahl der Ergebnisse) Beispiele: Zufallsvorgang Einmaliges Werfen einer Münze (K = Kopf, Z = Zahl) Zweimaliges Werfen einer Münze Eingegangene Bestellungen in einer Periode Messung der Wartezeit t von Kunden vor einem Postschalter (T ist die Öffnungsdauer des Schalters) Messung des nteils c vom Konsum am Volkseinkommen Ergebnismenge Ω = {K, Z} Ω = {(K,K), (K, Z), (Z,K), (Z,Z)} Ω = {0, 1, 2, } Ω = {t 0 t T} Ω = {c 0 c 1} Mächtigkeit der Ergebnismenge endlich endlich abzählbar unendlich überabzählbar unendlich überabzählbar unendlich 5

6 Endliche und unendliche Ergebnismenge Ergebnismenge Ω endlich: Elemente von Ω abzählbar; Obergrenze angebbar abzählbar unendlich: Elemente von Ω abzählbar; Obergrenze nicht festlegbar unendlich überabzählbar unendlich: Elemen-te von Ω lassen sich nicht abzählen 6

7 Ereignisse Eine Teilmenge der Ergebnismenge eines Zufallsvorgangs heißt Ereignis Darstellung von Ereignissen:, B, C, oder 1, 2, 3, Venn-Diagramm für das Ereignis Rechteck: Ergebnismenge Ω Oval: Ereignis 7

8 Beispiel: Wir betrachten das einmalige usspielen eines Würfels. Die Ergebnismenge dieses Zufallsvorgangs ist gegeben durch Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Das Ereignis enthält alle Ergebnisse, die eine gerade ugenzahl aufweisen. lässt sich als Menge oder durch ein Venn-Diagramm angeben: Ereignis in aufzählender Form Ereignis in einem Venn-Diagramm = {2, 4, 6} Elementarereignis: Ereignisse, die ein einziges Element enthalten. Zum Beispiel ist das Ereignis C = {1}, das allein die ugenzahl 1 enthält, ein Elementarereignis beim usspielen eines Würfels. 8

9 Sicheres und unmögliches Ereignis: Ein Ereignis, das bei keiner Durchführung eines Zufallsvorgangs eintreten kann, heißt unmögliches Ereignis. Das unmögliche Ereignis enthält kein Element aus Ω und entspricht damit der leeren Menge: = { }. Ein Ereignis, das sich bei jeder Durchführung eines Zufallsvorgangs realisiert, heißt sicheres Ereignis. Es enthält alle möglichen Ergebnisse, d.h. es ist Ω selbst. Zum Beispiel ist das Werfen von 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 beim usspielen eines Würfels ein sicheres Ereignis. Das Werfen von 7 ist dagegen ein unmögliches Ereignis. Teilereignis: Ein Ereignis B, dessen Elemente alle in vorhanden sind, bezeichnet man als Teilereignis von, d.h. B. Immer, wenn B eintritt, tritt auch ein. Jedes Ereignis ist ein Teilereignis der Ergebnismenge Ω. Zum Beispiel ist das Ereignis B = {2} ein Teilereignis von = {2, 4, 6}. B ist Teilereignis von : B B 9

10 1.3 Operationen mit Ereignissen Da Ereignisse Teilmengen von sind, kann man mit Ereignissen operieren wie mit Mengen. Man kann Ereignisse nach bestimmten Regeln verknüpfen und erhält als Resultat der jeweiligen Operation neue Ereignisse. Vereinigung von und B B vereinigt mit B bzw. oder B Eines der beiden Ereignisse oder B oder beide Ereignisse treten ein B Beispiel: Beim usspielen eine Würfels sei das Ereignis "gerade ugenzahl" und B "ugenzahl kleiner als 4": = {2, 4, 6} und B = {1, 2, 3} 5 B = {2, 4, 6} {1, 2, 3} = {1, 2, 3, 4, 6} B 10

11 Durchschnitt von und B B geschnitten mit B bzw. und B Beide Ereignisse und B treten gleichzeitig ein B Beispiel: Beim usspielen eines Würfels betrachten wir wiederum als Ereignis eine "gerade ugenzahl" und als Ereignis B eine "ugenzahl kleiner als 4 5 B = {2, 4, 6} {1, 2, 3} = {2} B Gesetz der ssoziativität: (B C) = ( B) C und (B C) = ( B) C Gesetz der Distributivität: (B C) = ( B) ( C) und (B C) = ( B) ( C) 11

12 Komplementärereignis ist Komplement von tritt genau dann ein, wenn nicht eintritt Beispiel: Das Komplementärereignis zum Ereignis gerade ugenzahl, = {2, 4, 6}, ist das Ereignis ungerade ugenzahl : = {1, 3, 5} Regeln für Komplementärereignisse:,, Gesetze von de Morgan: B B B B 12

13 Differenz von Ereignissen \ B ohne B tritt ein, aber nicht zugleich B B Beispiel: Die Differenz der Ereignisse "gerade ugenzahl" und B "ugenzahl kleiner als 4 ist das Ereignis {4, 6}: \ B = {2, 4, 6} \ {1, 2, 3} = {4, 6} Der Differenzoperator \ kann alternativ durch Komplementär- und Durchschnittsbildung dargestellt werden: \ B = B Beispiel: Es ist das Ereignis "gerade ugenzahl" und B das Ereignis "ugenzahl kleiner als 4. Dann erhält man mit B = {4, 5, 6}: B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {4, 6} = \ B 13

14 Disjunkte Ereignisse B = und B sind disjunkte Ereignisse, wenn und B nicht gleichzeitig eintreten können B Beispiel: Das Ereignis "gerade ugenzahl" und das Ereignis D ungerade ugenzahl sind disjunkte Ereignisse, da D = {2, 4, 6} {1, 3, 5} = { } = 14

15 Beispiel für Operationen mit drei Ereignissen: : gerade ugenzahl = {2, 4, 6} B: ugenzahl kleiner als 4 B = {1, 2, 3} C: ugenzahl 1 C = {1} B C B C = {2, 4, 6} {1, 2, 3} {1} = {1, 2, 3, 4, 6} B C = {1, 2, 3} {1} = {1, 2, 3} = B, da C ein Teilereignis von B ist, d.h. C B B C = {1, 2, 3} {1} = {1} = C, da C B ist C = {2, 4, 6} {1} =, da und C disjunkt sind 15

16 Ereignisfeld: Ein Ereignisfeld () ist ein System von Ereignissen, das alle interessierenden Ereignisse eines Zufallsvorgangs enthält und mathematisch abgeschlossen ist, d.h. Verknüpfungen von Ereignissen (z.b., und Komplement) sind in diesem Ereignissystem enthalten. Potenzmenge: Die Potenzmenge P() ist das umfassendste Ereignisfeld. Sie enthält alle möglichen Ereignisse aus der Ergebnismenge. Bei einem endlichen Ergebnisraum mit N Ergebnissen enthält die Potenzmenge 2 N Ereignisse. Beispiel: Die vier Farbwerte Kreuz, Pik, Herz und Karo eines Kartenspiels sind Ergebnisse des Zufallsvorgangs Karten austeilen mit = {Kreuz, Pik, Herz, Karo}. Die Potenzmenge P() enthält hier 2 4 = 16 Ereignisse. 16

17 Ein 0-elementiges Ereignis: Vier 1-elementige Ereignisse: Sechs 2-elementige Ereignisse: Vier 3-elementige Ereignisse: Ein 4-elementiges Ereignis: {Kreuz}, {Pik}, {Herz}, {Karo} {Kreuz, Pik}, {Kreuz, Herz}, {Kreuz, Karo}, {Pik, Herz}, {Pik, Karo}, {Herz, Karo} {Kreuz, Pik, Herz}, {Kreuz, Pik, Karo}, {Kreuz, Herz, Karo}, {Pik, Herz, Karo} Ein anderes Ereignisfeld enthält z.b. folgende sieben Ereignisse: α Ω = Kreuz, Pik, Kreuz,Pik, Herz,Karo, Pik,Herz,Karo,Ω, 17

18 1.4 Wahrscheinlichkeit Bei Zufallsvorgängen lässt sich nicht mit Sicherheit sagen, welches Ereignis eintreten wird. Gleichwohl werden bestimmten Ereignissen größere Realisierungschancen eingeräumt als anderen Ereignissen. So wird man z.b. bei einem usspielen eines Würfels intuitiv davon ausgehen, dass die Chance, eine gerade ugenzahl zu werfen, größer ist als die Chance, eine 1 zu werfen. In der Statistik geht es uns allerdings nicht nur darum zu sagen, ob die Chance für das Eintreten eines Ereignisses groß oder klein ist. Es soll vielmehr dieser Chance eine Zahl zugeordnet werden. Diese Zahl gibt an, wie groß die Chance für das Eintreten eines Ereignisses ist. Solche Zahlen heißen Wahrscheinlichkeiten. Da die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses eine Zahl ist, können wir mit Wahrscheinlichkeiten rechnen. Die Rechenregeln werden durch die xiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung festgelegt. Wahrscheinlichkeitsbegriffe geben dagegen alternative Möglichkeiten zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten an. Wahrscheinlichkeitsbegriffe: Subjektive Wahrscheinlichkeit Objektive Wahrscheinlichkeit Statistische Wahrscheinlichkeit (posteriori-wahrscheinlichkeit) Modelltheoretische Wahrscheinlichkeit (priori-wahrscheinlichkeit) 18

19 Statistische Wahrscheinlichkeit (posteriori-wahrscheinlichkeit): Der Begriff der statistischen Wahrscheinlichkeit (posteriori-wahrscheinlichkeit) geht auf von Mises zurück. Bei einem Zufallsexperiment, das n-mal wiederholt wird, interessiert man sich für das Eintreten von Ereignis. Die absolute Häufigkeit des Ereignisses beträgt n(). Die relative Häufigkeit des Ereignisses beträgt h n () = n() / n. Die relative Häufigkeit kann sich nach jeder Durchführung des Zufallsvorgangs ändern, so dass man eine Folge relativer Häufigkeiten h n () erhält. Bei einer geringen nzahl von Wiederholungen liegen starke Schwankungen von h n () vor. Bei wachsendem n stabilisiert sich h n () um einen konstanten Wert (Stabilitätseigenschaft der relativen Häufigkeit). Definition der statistischen Wahrscheinlichkeit: P lim h n n h n P() n 19

20 Beispiel: Bei einem Münzwurf wird das Ereignis betrachtet, das die Realisation Kopf beinhaltet. Die Durchführung des Experiments liefert die im Folgenden dargestellten Ergebnisse. Bei 20-maligem Münzwurf wird z.b. 12-mal Kopf erzielt. Tabelle Grafik h n 0,6 0,5 P()=0,5 0, n Wie aus der Grafik hervorgeht, nähern sich die relativen Häufigkeiten der gesuchten Wahrscheinlichkeit an. 20

21 Modelltheoretische Wahrscheinlichkeit (priori-wahrscheinlichkeit): Den modelltheoretischen nsätzen ist gemeinsam, dass Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten von Ereignissen aufgrund eines statistisch-mathematischen Modells vor der Durchführung eines Zufallsvorgangs bestimmt werden (priori- Wahrscheinlichkeiten) In der induktiven Statistik sind eine Vielzahl derartiger Modelle verfügbar. Wir beschränken uns hier auf die Darstellung des historisch ältesten Modells, das man als Gleichmöglichkeitsmodell bezeichnet. Es handelt sich dabei um die Definition des französischen Mathematikers Laplace, der von Zufallsvorgängen ausging, für die gilt: - Die Ergebnismenge ist endlich - Die Elementarereignisse sind alle gleichwahrscheinlich Definition der Laplaceschen Wahrscheinlichkeit: P() = / Ω : nzahl der für das Ereignis günstigen Ergebnisse (= Mächtigkeit von ) Ω : nzahl aller möglichen Ergebnisse (= Mächtigkeit von Ω) 21

22 Beispiel: Zu berechnen ist die Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer geraden ugenzahl" (Ereignis ) Es gilt: = {2, 4, 6} = 3 Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ω = 6 Damit ergibt sich nach der modelltheoretischen Wahrscheinlichkeitsdefinition: P() = / Ω = 3 / 6 = 0,5 Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei einem zweimaligen Münzwurf mindestens eine Zahl (Ereignis ) zu werfen? Es gilt für die Ergebnismenge (K,K),(K,Z),(Z,K),(Z,Z). Günstig sind alle usgänge mit usnahme von zweimal Kopf (K,Z),(Z,K),(Z,Z). Damit erhält man als gesuchte Wahrscheinlichkeit: P 3 4 0, 75 22

23 Subjektive Wahrscheinlichkeit In der Praxis lässt sich das rbeiten mit subjektiven Wahrscheinlichkeiten oft nicht vermeiden. So können z.b. die bsatzchancen eines Produkts, das bisher nicht auf dem Markt war, nur über subjektive Wahrscheinlichkeiten beurteilt werden. Subjektive Wahrscheinlichkeiten werden hier oftmals durch Einschätzungen von ExpertInnen gewonnen. Eine alternative Form der Gewinnung von subjektiven Wahrscheinlichkeiten in diesem Bereich sind Unternehmens- und Verbraucherbefragungen. uch im lltagsleben treten immer wieder Fälle auf, in denen ein objektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff nicht anwendbar ist. Wie lässt sich z.b. die Chance einer Fußballmannschaft für den Gewinn eines Spiels beurteilen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Pferd bei einem Rennen den 1. Platz belegt? In solchen Fällen lassen sich Wahrscheinlichkeiten z.b. über Wettquoten bestimmen, die sich aus den Wetteinsätzen des Publikums ergeben. Da das Wettverhalten letztlich auf den Einschätzungen der Wettteilnehmer beruht, spricht man in diesem Zusammenhang von subjektiven Wahrscheinlichkeiten. 23