. 2. Die Ebene. Der Strahlenbüschel und der Ebenenbüschel.

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1 7 die Fläche getrennt ist. Ein Halbstrahlenbündel wird durch eine Fläche der erwähnten Art in ein Paar Scheitelräume getheilt, welche einen gemeinschaftlichen Mantel haben, daher die beiden Hälften eines jeden Strahles, welcher der Fläche nicht angehört, aber durch ihren Mittelpunkt geht, auf entgegengesetzten Seiten derselben liegen, und jede einfache Winkelfläche, welche zwei solche Halbstrahlen zu Schenkeln hat, die erstere unparmal schneidet. Da eine Winkelfläche unparer Ordnung als einfache Winkelfläche betrachtet, durch jeden in ihr liegenden Strahl in ein Paar Scheitelflächen getheilt wird, und also die beiden Hälften eines jeden andern Strahles der Fläche auf entgegengesetzten Seiten des erstem liegen, so wird überhaupt von zwei Geraden, welche durch einen und denselben Punkt gehen, gesagt, dass sie in diesem Punkte sich schneiden. 17. Zwei geschlossene vollkommne Winkelflächen, welche einen gemeinschaftlichen Mittelpunkt haben, schneiden sich parmal, wenn entweder beide von parer Ordnung sind, oder die eine von parer und die andere von unparer Ordnung ist; unparmal aber, wenn beide von unparer Ordnung sind. Folgt aus 15 und Die Ebene. Der Strahlenbüschel und der Ebenenbüschel. 18. Eine Ebene ist eine Winkelfläche unparer (erster) Ordnung, in welcher jeder Punkt als Mittelpunkt betrachtet werden kann. Geht also eine Gerade durch zwei Punkte einer Ebene, so fällt sie ganz in dieselbe. Von einer nicht in ihr liegenden Geraden kann hiernach eine Ebene höchstens einen Punkt enthalten. Haben eine Ebene und eine ausserhalb derselben liegende Gerade einen Punkt gemein, so (16) schneiden sie sich in diesem Punkte, welcher die Spur der Geraden in der Ebene oder auch die Spur der Ebene in der Geraden heisst. 19. Durch zwei Punkte und also auch durch eine Gerade sind unendlich viele Ebenen denkbar. Durch drei Punkte, welche

2 8 nicht in einer und derselben Geraden liegen, also auch durch eine Gerade und einen ausserhalb derselben befindlichen Punkt, so wie auch durch zwei sich schneidende Gerade ist eine Ebene möglich. Von der Ebene, welche eine Gerade a mit einem ausserhalb derselben befindlichen Punkte P verbindet, soll gesagt werden, dass sie aus der Axe a den Punkt P oder aus dem Mittelpunkte P die Gerade a projicire. Wird eine Ebene um eine in ihr liegende Gerade als feste Axe gedreht, bis sie mit Verwechslung ihrer beiden Hälften (der beiden Halbebenen) die ursprüngliche Stelle wieder einnimmt, so fällt sie nach und nach mit jeder durch jene Gerade gehenden Ebene zusammen. 20. Eine Winkelfläche ( 1 Ordnung wird (17) von lunparerj einer jeden durch ihren Mittelpunkt gehenden Ebene { ^ \ l unparmal J geschnitten; die Schnittlinien sind Strahlen. Eine geschlossene einfache Kegelfläche wird von einer jeden durch ihre Spitze gehenden Ebene parmal geschnitten. Zwei Ebenen, welche durch einen und denselben Punkt gehen, schneiden sich in einer Geraden, welche ebenfalls durch jenen Punkt geht, ausserhalb welcher aber (19) die beiden Ebenen keinen Punkt mit einander gemein haben. Drei Ebenen, welche durch einen und denselben Punkt gehen, schneiden sich entweder in einer Geraden oder in drei Geraden. Im letztern Falle haben die drei Ebenen ausser jenem Punkte, welcher ihr Schnittpunkt heisst, weil in ihm jede der Ebenen die Schnittlinie der beiden übrigen schneidet, keinen Punkt mit einander gemein. 21. Jedes Gebilde, welches ganz in einer und derselben Ebene liegt, wird ein ebenes Gebilde, jedes Stück einer Ebene, so wie auch die Ebene selbst, eine ebene Fläche genannt. Eine Fläche heisst gebrochen, wenn sie aus ebenen Flächen zusammengesetzt ist, ohne eben zu sein; krumm, wenn kein Theil derselben eben ist; gemischt, wenn sie aus ebenen und krummen Flächen zusammengesetzt ist. Eine krumme Linie (Curve) heisst einfach gekrümmt, wenn sie ganz in einer und derselben Ebene liegt; doppelt ge- 6

3 9 krümmt aber, wenn es keine Ebene giebt, welche durch alle Punkte der Linie geht. Gewöhnlich versteht man unter einer doppelt gekrümmten oder gewundenen Curve eine Linie, von welcher kein Stück eben ist. 22. Der Inbegriff von allen Strahlen, welche einen gemeinschaftlichen Mittelpunkt haben und in einer und derselben Ebene liegen, heisst ein Strahlenbüschel. Ein Halbstrahlenbüschel ist der Inbegriff von allen Halbstrahlen, welche von einem und demselben Punkte ausgehen und in einerlei Ebene liegen. Bei einem Gebilde der erstem Art erscheint die Ebene als eine vollkommne, bei einem Gebilde der letztern Art aber als eine einfache Winkelfläche. Unter vier Elementen eines Gebildes der einen oder andern Art sind nur zwei Paar getrennte. Jede von zwei Schenkeln begrenzte ebene Winkelfläche heisst auch ein ebener Winkel. Ein Halbstrahlenbüschel wird durch n Halbstrahlen in n einfache, ein Strahlenbüschel durch n Strahlen in n vollkommne ebene Winkel getheilt. Jede gebrochene { > Winkelfläche ist aus i l ebenen WinvollkommneJ i vollkommnen J kein zusammengesetzt. Unter einer Kegelfläche versteht man gewöhnlich eine krumme Winkelfläche. 23. Der Inbegriff von allen Ebenen (Elementen), welche durch eine und dieselbe Gerade (Axe) denkbar sind, heisst ein Ebenenbüschel. Alle Halbebenen (Elemente); welche von einer und derselben Geraden (Kante) begrenzt sind, bilden einen Halbebenenbüschel.~ Ein einfacher Flächenwinkel ist ein Theil von einem Halbebenenbüschel und also so beschaffen, dass jede Halbebene, welche von seiner Kante begrenzt ist und durch irgend einen Punkt in ihm geht, ganz in denselben fällt. Man kann einen solchen Winkel auch als einen einfachen Winkelraum betrachten, dessen Mantel aus zwei Halbebenen zusammengesetzt ist. Ein vollkommner Flächen winkel ist ein Theil von einem Ebenenbtischel oder ein von zwei Ebenen begrenzter vollkommner Winkelraum. Die beiden Grenzen eines Flächenwinkels heissen seine Schenkel. Ein Halbebenenbüschel wird durch n Halbebenen in n einfache, ein Ebenenbüschel aber durch n Ebenen in n vollkommne

4 10 Flächen winkel getheilt. Unter vier Elementen eines Büschel» der einen oder andern Art sind nur zwei Paar getrennte. 24. Ein einfacher Winkel heisst hohl, wenn die Ergänzungen seiner Schenkel ausserhalb desselben liegen; flach oder auch gestreckt, wenn seine Schenkel zu einer Geraden oder Ebene sich ergänzen; erhaben, wenn er die Ergänzungen seiner Schenkel in sich enthält. Die Schenkel eines flachen Winkel sind zugleich die Schenkel seines Scheitelwinkels. Durch zwei seiner Elemente wird ein Halbstrahlen- oder Halbebenenbüschel entweder in zwei gestreckte oder in einen hohlen und einen erhabenen Winkel getheilt. Ein hohler ebener Winkel kann von einer durch seine Spitze gehenden Ebene höchstens in einem Halbstrahle und also nur dann geschnitten werden, wenn seine Schenkel auf entgegengesetzten Seiten der Ebene liegen. Der. Schnitt eines hohlen Flächenwinkels mit einer Fbene, welche seine Kante und also auch seine beiden Schenkel schneidet, ist ein hohler ebener Winkel. 25. Zwei hohle Winkel heissen Nebenwinkel zu einander, wenn sie einen Schenkel gemein haben und ihre beiden übrigen Schenkel zu einer Geraden oder Ebene sich ergänzen. Ein Strahlen- oder auch Ebenenbüschel wird durch zwei Elemente a, b in zwei vollkommne Winkel ab, a* b getheilt, welche Nebenwinkel zu einander heissen sollen. Unter den vier einfachen Winkeln, aus welchen zwei solche Winkel bestehen, sind vier Paar Nebenwinkel und zwei Paar Scheitelwinkel. Sind a, b, drei Elemente eines Büschels, so ist der Winkel ab, welcher das Element nicht in sich enthält, im Sinne abc, welcher mit dem von bea oder cab ganz einerlei ist, der Winkel a' b aber, welcher das Element in sich enthält, in dem dem erstem entgegengesetzten Sinne, welcher durch acb oder cba oder bac angedeutet werden kann, beschrieben. 26. Das gerade Gebilde, der Strahlenbüschel (oder auch Halbstrahlenbüschel) und der Ebenenbüschel (oder auch Halbebenenbüschel) sollen die einförmigen Grundgebilde oder die Grundgebilde der ersten Stufe heissen. Der Punkt kommt im geraden Gebilde, die Ebene aber im Ebenenbüschel als Element vor. Die Gerade, welche zwischen Punkt und Ebene gleichsam

5 11 die Mitte hält, erscheint im Strahlenbüschel als Element, während sie am geraden Gebilde der Träger von Punkten und am Ebenenbtischel die Schnittlinie von Ebenen ist. 27. Häufig wird ein Gebilde in einem Büschel, wenn es auch nur aus einzelnen Elementen des vollständigen Büschels besteht, selbst ein Büschel genannt. Indessen soll solches in der Folge nur geschehen, wenn durch nähere Angaben jede Zweideutigkeit beseitigt ist. Ein aus vier Punkten bestehendes gerades Gebilde D wird aus einem ausserhalb der Geraden befindlichen Punkte durch einen Strahlenbüschel ab cd projicirt, welcher aus vier Strahlen bdsteht, und von welchem das gerade Gebilde CD ein Schnitt ist. Das gerade Gebilde A DC, welches vom ersten wohl zu unterscheiden ist, wird durch den Büschel bade, das gerade Gebilde AD durch den Büschel a db projicirt. Auf diese Weise muss allgemein, wenn für das eine von zwei Gebilden, welche auf einander bezogen sind, eine Permutation desselben gesetzt wird, auch die ihr entsprechende Permutation mit dem andern vorgenommen werden ; wenn die vorige Beziehung noch fortbestehen soll. 28. Da in einem Strahlenbtindel unendlich viele Strahlenbüschel oder Ebenen enthalten sind, alle Ebenen aber, welche einen Strahl mit einander gemein haben, einen Ebenenbüschel bilden, so erscheinen in einem Strahlenbündel nicht nur Strahlen sondern auch Ebenen als Elemente, obgleich das Gebilde gewöhnlich nach den Elementen der erstem Art genannt wird. Eben so enthält ein Halbstrahlenbündel nicht nur unendlich viele Halbstrahlenbüschel sondern auch unendlich viele Halbebenenbüschel. Eine Ebene soll, in so ferne unendlich viele gerade Gebilde und Strahlenbüschel in ihr enthalten sind, auch ein ebenes System heissen. Das ebene System und der Strahlenbündel (oder auch Halbstrahlenbündel) sind die Grundgebilde der zweiten Stufe. Es entsprechen ihnen zwei besondere Theile der Geometrie, nämlich die Geometrie der Ebene und die des Strahlenbüudels. Der Strahlenbüschel erscheint im ebenen Systeme als der Inbegriff von allen Geraden, welche durch einen und den-

6 18' selben Punkt gehen ; im Strahlenbündel aber als der Inbegriff von allen Geraden, welche in einerlei Ebene liegen. Das Grundgebilde der dritten Stufe ist das räumliche System oder der unbegrenzte Raum, in welchem unendlich viele Grundgebilde der ersten und zweiten Stufe denkbar sind. Jede Ebene ist der Träger eines ebenen Systems, jeder Punkt der Mittelpunkt eines Strahlenbündels, jede Gerade der Träger eines geraden Gebildes und die Axe eines Ebenenbüschels. 29. Wenn zwei Linien aus einem als Spitze angenommenen Punkte durch eine und dieselbe einfache Winkelfläche projicirt werden, so sagt man, dass die beiden Linien von jenem Standpunkte aus betrachtet nur eine und dieselbe Linie zu sein scheinen oder dem Scheine nach einerlei seyen. Ein Gebilde im Halbstrahlen- oder auch Strahlenbündel soll daher ein Schein von einem andern Gebilde heissen, wenn jedes Element des erstem Gebildes aus seiner Spitze oder seinem Mittelpunkte ein Element des letztern projicirt, und jedes Element des letztern durch ein Element des erstem projicirt wird. Der Schein einer begrenzten geraden Linie, aus einer nicht in derselben Geraden befindlichen Spitze genommen, ist ein hohler ebener Winkel, welchen die gerade Linie spannt. Der Schein einer ebenen Figur, aus einem ausserhalb der Ebene befindlichen Mittelpunkte genommen, ist ein Strahlenkegel, von welchem die ebene Figur ein Schnitt ist. 30. Der Schein einer unbegrenzten geraden Linie, aus einer nicht in ihr liegenden Spitze genommen, ist ein flacher ebener Winkel. Der Winkel kann nämlich nicht erhaben seyn, weil jedes Element desselben die Gerade schneidet und also keine zwei seiner Elemente zu einem Strahle sich ergänzen. Der Winkel kann aber auch nicht hohl seyn, weil, was als Grundsatz angenommen werden darf, eine Gerade oder ein flacher ebener Winkel nicht ganz in einem hohlen ebenen Winkel liegen kann. Da die Schenkel des Winkels als Grenzen desselben die Gerade nicht schneiden, so folgt, daös jeder Strählenbüscbel, welcher mit einer Geraden in einerlei Ebène liegt, aber seinen Mittelpunkt ausserhalb der Geraden hat, einen Strahl enthält, welcher die Gerade nicht schneidet.