Wenn wir in diesen Term für x = 2 einsetzen, entsteht eine Division durch Null!

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1 4.1. Bruchterm (.6.) Seite 9 Bruchterme mit Variablen im Nenner sind nicht immer definiert, da unter Umständen der Nenner 0 sein kann. 4 x Wenn wir in diesen Term für x = einsetzen, entsteht eine Division durch Null! Bei Berechnungen von Bruchtermen müssen wir demnach folgende Voraussetzungen festlegen: G = Grundmenge (Diese Werte sind für die Berechnung zugelassen) D = Definitionsmenge (Damit schliessen wir alle unerlaubten Elemente der Grundmenge aus). 4 x G = Q D = Q \ {} oder x 4.. Symmetrien bei 4-Ecken (3.1.) Seite 73-4 / a -

2 4.3. Gleichungen (3.11.) Seite 5 Definitionsbereich Lösung Lösungsmenge D = Q \ {,3} x = 5 L = {5} Normale Gleichung, L nicht eingeschränkt durch D. D = Q\ {,3} x = L = { } Die Lösung der Gleichung wird in D ausgeschlossen ==> die Lösungsmenge ist leer. D = Q I. x 7 = x 14 L = D II. III. x 7 = x 7 7 = 7 Die Auflösung der Gleichung führt früher oder später zu der Situation, dass auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens der gleiche Term steht (III). Dies ist ein Hinweis darauf, dass L = D sein könnte. Diese Erkenntnis sollte überprüft werden, indem man den vorherigen Schritt (II) beurteilt und ein Zahlenbeispiel macht. D = Q 5 x = 5 x 4 x = x + L = { } Wir finden keine Zahl, welche diese Gleichung zum stimmen bringt! Die rechte Seite ist immer um grösser. Daraus folgt: L = leere Menge (kein Element) Ungleichungen Bei der Multiplikation bzw. Division einer Ungleichung mit einer negativen Zahl muss das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden. Ungleichungsketten Ungleichungsketten müssen immer aufgeteilt werden und als zwei Gleichungen betrachtet werden. Die Lösungsmenge ist die Schnittmenge der beiden Teillösungen. x + 3 > x + > 5 x + 3 > x + x > 1 L 1 = {0, 1,, 3, } x + > 5 x > 3 L = {4, 5, 6, ) L = L 1 I L = {4, 5, } - 4 / b -

3 4.4. Berechnung bei Leistungsaufgaben Seite 38 Eine Wasserleitung füllt einen Brunnen in 3 Stunden. In Zahlen wird dies wie folgt ausgedrückt: x 1 3 = x 3 Zeit Leistung (Arbeit pro Zeit) Die Leitung füllt in einer Stunde 1 3 des Brunnens = nach 1 h ist 1 3 des Brunnens gefüllt. 1 3 = nach h ist 3 des Brunnens gefüllt = nach 3 h ist 3 3 des Brunnens gefüllt. Ein Brunnen kann durch Zuleitungen gefüllt werden. Die erste Zuleitung füllt ihn allein in 6 h, die zweite in 10 h. Wie lange dauert die Brunnenfüllung, wenn die Zuleitungen gleichzeitig geöffnet werden und der Brunnen zu Beginn leer war? Zuleitung 1 Zuleitung 0 + x 6 + x 10 = 1 Brunnen leer Brunnen voll Ein Brunnen wird durch eine Zuleitung in 5 Stunden gefüllt und durch einen Abfluss in 4 Stunden geleert. Wie lange dauert es, bis der volle Brunnen geleert ist, wenn Zufluss und Abfluss geöffnet sind? Zu Ab 1 + x 5 x 4 = 0 Brunnen leer Brunnen voll - 4 / c -

4 4.5. Winkel am Kreis Seite 8 C Peripheriewinkel M B A Zentriwinkel Sehnen-Tangenten-Winkel Ein Peripheriewinkel hat die halbe Weite des Zentriwinkels über dem gleichen Bogen. Der Sehnen-Tangenten-Winkel hat dieselbe Weite wie der Peripheriewinkel über dem gleichen Bogen. C Peripheriewinkel oben M B A 180 Sehnen-Tangenten-Winkel Peripheriewinkel unten Zur Sehne AB gibt es zwei verschiedene Arten von Peripheriewinkeln. Ihre Scheitel liegen entweder - auf der Seite von M ( Peripheriewinkel oben ) oder - auf der entgegengesetzten Seite von M ( Peripheriewinkel unten ). - 4 / d -

5 4.6. Sehnenviereck (4.5.) Seite 88 Im Sehnenviereck ist die Summe zweier Gegenwinkel immer 180. α + χ = β + δ = Tangentenviereck Seite 88 Im Tangentenviereck ist die Summe der Gegenseiten gleich gross. a + c = b + d - 4 / e -

6 4.8. Zins (.5.) Seite 48 z = k p t z = Zins (Prozentwert) k = Kapital (Grundwert) p = Zinsfuss (Prozentsatz) t = Zeit Faktor Zeit: 1 Jahr ==> t = 1 5 Monate ==> t = Tage ==> t = Berechnung der Banktage: Im Bankwesen rechnet man jeden Monat zu 30 d, das ganze Jahr zu 360 d. Der erste Tag wird nicht gezählt, wohl aber der letzte. Der Monatsletzte gilt immer als der 30. Tag des Monats. e: 7. Mai - 1. Mai ==> 5d 7. Mai Mai ==> 3d. Feb März ==> 33d Rundungsregel: Verrechnungssteuer: - Zinsen und Kapitalien auf 5 Rp. - Kapitalien bei Zins / Zinsfuss / Zeitberechnung auf ganze Franken Wenn der Zinsertrag pro Jahr mehr als Fr beträgt, werden automatisch 35% des Zinsertrags als Steuern zurückbehalten. Nach der Deklaration des Gewinns in der Steuererklärung, wird dieser Abzug wieder rückvergütet Verkettung von Prozentrechnungen Seite 56 Bei verketteten Prozentberechnungen wird das Resultat einer Berechnung als Ausgangswert für die nächste Berechnung verwendet. So entsteht eine Kette von Prozentrechnungen. e Eine Schulklasse zählt 5 SchülerInnen. 60% davon sind Mädchen. 0% der Mädchen tragen eine Brille. Wieviele Mädchen der Klasse tragen eine Brille? 5 0,6 15 0, 3 Mädchen Der Preis eines Fernsehers von 1 40 Fr. wird zuerst um 10% gesenkt, dann aber wieder um 10% angehoben. Berechne den neuen Preis. 0, , ,8 Fr. oder: 140 0,9 1,1 = 1405,8 Fr. - 4 / f -

7 4.10. Irrationale Zahlen / Reelle Zahlen (3.3.) Seite 9 Unendliche, nicht periodischer Dezimalbrüche, sind irrationale Zahlen I. Sie können auf dem Zahlenstrahl abgebildet werden. 1 = 1, ist ein nichtperiodischer, nichtabbrechender Dezimalbruch. Es ist eine irrationale Zahl, welche auf dem Zahlenstrahl abgebildet werden kann. 1 Alle Zahlen, welche auf dem Zahlenstrahl abgebildet sind, heissen reelle Zahlen R. N N o Z Q Irrationale Zahlen p q Reelle Zahlen Rechnen mit Quadratwurzeln Seite 101 Die Quadratwurzel aus der Zahl a (man schreibt: a ) ist diejenige positive Zahl b, die mit sich selbst multipliziert wieder a ergibt. a = b b b = a Regeln e 5s = 5s = : 5 = 0 : 5 0,16x 6 = 0,4x = 3 8 = 56 = = 100 = = 0 5 x 4 = x 4 = x - 4 / g - x = x = x = x = x

8 4.1. Der Satz des Pythagoras Seite 96 Im rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates gleich der Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate. a + b = c c = a + b c = a + b a = c b a = c b b = c a b = c a Berechnung von geometrischen Körpern (.37.) Seite 117 Prismen und Zylinder Ein Prisma ist ein Körper, der von zwei kongruenten und parallelen Vielecken begrenzt wird. Die zwei Vielecksflächen nennt man Grund- und Deckfläche. Ein Zylinder ist ein Körper, der von zwei kongruenten und parallelen Kreisen begrenzt wird. Pyramiden und Kegel Eine Pyramide ist ein Körper mit einem Vieleck als Grundfläche und dreieckigen Seitenflächen, welche in einer Spitze zusammenlaufen. Ein Kegel ist ein Körper mit einem Kreis als Grundfläche. Die ine eine Spitze zulaufende Mantelfläche wird von einem Kreissektor gebildet. Prisma Pyramide Zylinder Kegel - 4 / h -

9 4.14. Formeln für die Berechnung geometrischer Körper Prisma Zylinder Pyramide Kegel Volumen V = G h V = G h = π r h V = G h 3 V = G h 3 = π r h 3 O = G +M Oberfläche O = G +M O = G +M = π r + π r h O = G +M = π r G + π r α M 360 Oberfläche O (Netz) der Pyramide Oberfläche O (Netz) des Kegels - 4 / i -