Konvexe Mengen. Def. Eine Teilmenge A R n heißt konvex, wenn sie mit je zwei Punkten x,y auch stets deren Verbindungsstrecke

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1 Konvexe Mengen Def. Eine Teilmenge A R n heißt konvex, wenn sie mit je zwei Punkten x,y auch stets deren Verbindungsstrecke xy = {x + t xy 0 t 1} = {(1 t)x + ty 0 t 1} enthält. konvex nicht konvex Lemma 25. Der Durchschnitt von konvexen Mengen ist konvex. Beweis. Wir betrachten konvexe Mengen K α, α A; wir müssen zeigen, dass α A K α konvex ist, d.h. wir müssen zeigen, dass α A K α mit je zwei Punkten x,y die ganze Strecke xy enthält. Angenommen, die Punkte x,y liegen im Durschnitt der konvexen Mengen K α, α A. Dann liegt auch die Strecke xy in allen K α. Deswegen liegt diese Strecke im Durchschnitt α A K α

2 Drei Definitionen der konvexen Hülle und Äquivalenzsatz: Def. (a) Die konvexe Hülle von A ist die Menge conv(a) := {λ 1 x λ k x k λ λ k = 1,λ i 0,x i A}. Def. (b) Die konvexe Hülle von A ist die kleinste konvexe Menge conv(a), die A enthält. (d.h., gilt A C für eine konvexe Menge C, so gilt conv(a) C) Def. (c) Die konvexe Hülle von A ist der Durchschnitt von allen konvexen Mengen, die A enthalten: conv(a) = C. C A C ist konvex Satz. Die Definitionen (a), (b), (c) sind äquivalent: ist eine Menge eine konvexe Hülle nach einer Definition, so ist sie auch eine konvexe Hülle nach den anderen Definitionen. Schema des Beweises: Zunächst machen wir eine lange Vorarbeit. Dann zeigen wir (c) (b) und anschließlich (a) (b).

3 Exkurs: Schwerpunkt Seien x 1,...,x k Punkte des Raumes R n, und m 1,...,m k R 0, so dass mind. ein m i > 0. Def. Der Schwerpunkt von x 1,...,x k mit Massen m 1,...,m k ist der Punkt a + È 1 k k i=1 m i i=1 m iax i = a + È 1 k k i=1 m i i=1 m i(x i a). Lemma 26 Schwerpunkt hängt nicht von der Wahl des Punktes a ab. Beweis. b + 1 k i=1 m i k m ibxi = a + 1 ab + k i=1 i=1 m i ( k 1 = a + k i=1 m i = a + = a + 1 k i=1 m i 1 k i=1 m i i=1 k m ibxi i=1 ) k m iab + m ibxi i=1 k m i ( ab + bx i ) i=1 k m iaxi. i=1

4 Bemerkung. Die Eigenschaft Schwerpunkt zu sein ist eine affine Eigenschaft: ist F : R n R m eine affine Abbildung, dann ist der Schwerpunkt von F(x 1 ),...,F(x k ) (mit Massen m 1,...,m k ) das Bild des Schwerpunktes von x 1,...,x k (mit denselben Massen m 1,...,m k ). In der Tat, sei F(x) = Ax + b für eine m n-matrix A und b R m. Dann gilt: F(x) F(y) = Ax + b Ay b = A(x y) Wir setzen ( ) in die Definition des Schwerpunktes von F(x 1 ),...,F(x k ) (mit Massen m 1,...,m k und Anfangspunkt a = F( 0)) ein und erhalten: F( 0) + È 1 k k i=1 m i=1 m i(f(x i ) F( 0)) i ( ) = b + È 1 ( k k i=1 m i=1 m 1 ) i(a(x i 0)) = b + A È k k i i=1 m i=1 m ix i i = F k i=1 m i k m i x i i=1 }{{} Schwerpunkt von x 1,..., x k ( )

5 Lemma 27. Seien x 1,...,x k und y 1,...,y r Punkte; m x1,..., m xk, m y1,..., m yr die Massen, s.d. m x m xk > 0 und m y m yr > 0. Der Schwerpunkt von x 1,...,x k sei S x. Der Schwerpunkt von y 1,...,y r sei S y. Dann gilt: Der Schwerpunkt von dem Punktepaar S x und S y mit Massen k i=1 m x i und r i=1 m y i ist gleich dem Schwerpunkt der Punkte x 1,...,x k,y 1,...,y r mit Massen m x1,..., m xk, m y1,..., m yr. Beweis. Wir berechnen die beiden Schwerpunkte und stellen fest, dass sie zusammenfallen. Nach Lemma 26 können wir einen beliebigen Punkt als den Punkt a in der Formel 1 k r a + k i=1 m x i + r j=1 m m xiaxi + m yjayj ( ) y j wählen; wir nehmen a = S x. Da S x Schwerpunkt von x 1,...,x k ist, ist 1 S x + È k k i=1 mx i=1 m x isx x i = S x, folglich k i=1 m x isx x i = 0. i Dann ist ( ) gleich 1 r S x + k i=1 m x i + r j=1 m m yjsx y j. y j i=1 j=1 j=1

6 Wenn wir den Schwerpunkt von y 1,...,y r berechnen, bekommen wir S y = S x + und deswegen 1 r j=1 m y j r j=1 1 k i=1 m x i + r j=1 m y j m yjsx y j, also 1 S x S y = r j=1 m y j r m yj = j=1 Sx y j r j=1 m yj Sx y j, r j=1 m y j k i=1 m x i + r j=1 m S x S y. y j Dann ist die Formel ( ) gleich k i=1 S x + m r x i k i=1 m x i + j=1 0 r j=1 m + m y j k y j i=1 m x i + r j=1 m S x S y, y j und dies ist die Formel für den Schwerpunkt der zwei Punkte S x, S y mit Massen k i=1 m x i, r j=1 m y j,

7 Schwerpunkt eines Dreiecks Folgerung. Man betrachte die Eckpunkte a,b,c eines Dreiecks mit Massen m a = 1, m b = 1, m c = 1. Dann ist der Schwerpunkt der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Ferner gilt: der Schnittpunkt teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 1 : 2. Beweis. Wir nehmen k = 2, x 1 = a,x 2 = b und r = 1, y 1 = c. Dann ist S x = (a+b) = 1 2 (a+ b). Wir sehen, dass S x der Mittelpunkt der Seite ab ist, deswegen ist S x c eine Seitenhalbierende. a=x1 Offensichtlich ist S y = 1 1 c = c. Dann ist nach Lemma 26 (wir nehmen S x als Fußpunkt) ( 2 S x S x + 1 Sx ) S x S y = S x + 1 3S x S y. c=y S = S x Wir sehen, dass der Schwerpunkt auf der Seitenhalbierenden die vom Punkt c ausgeht liegt, und dass er die Seitenhalbierende im Verhältnis 1 : 2 teilt. Analog zeigt man, dass der Schwerpunkt auch auf allen anderen Seitenhalbierenden liegt (und sie im Verhältnis 1 : 2 teilt). Deswegen ist der Schwerpunkt der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden, b=x2

8 Schwerpunkt versus konvexe Kombination: Def. Seien x 1,...,x k R n und λ 1,..., λ k R s.d. λ i 0 und k i=1 λ i = 1. Die konvexe Kombination von x 1,...,x k mit Koeffizienten λ 1,..., λ k ist der Punkt k i=1 λ ix i. Einfach zu sehen: ein Schwerpunkt mit Massen m k, so dass mk = 1 ist eine konvexe Kombination. In der Tat, als Punkt a können wir nach Lemma 26 den Punkt 0 nehmen. 1 Dann gilt: S x := È k k i=1 m i=1 m ix i, und das ist Definition der i konvexen Kombination. Sei S x ein Schwerpunkt von x 1,...,x k mit Massen m 1,...,m k R 0, so dass mind. ein m i > 0. Dann ist S x eine konvexe Kombination von x 1,...,x k mit Koeffizienten m 1 M,..., m k wobei M := k i=1 m i. M,

9 (c) (b) Satz. Die Definitionen (a), (b), (c) sind äquivalent: ist eine Menge eine konvexe Hülle nach einer Definition, so ist sie auch eine konvexe Hülle nach den anderen Definitionen. Def. (b) Die konvexe Hülle von A ist die kleinste konvexe Menge conv(a), die A enthält. (d.h., gilt A C für eine konvexe Menge C, so gilt conv(a) C) Def. (c) Die konvexe Hülle von A ist der Durchschnitt von allen konvexen Mengen, die A enthalten: conv(a) = C A C ist konvex C. Sei conv (b) (A) die konvexe Hülle im Sinne der Definition (b), d.h., die kleinste konvexe Menge, die alle Punkte von A enthält, und sei conv (c) (A) := C. Wir zeigen: C A C ist konvex (i) conv (b) (A) conv (c) (A) und (ii) conv (c) (A) conv (b) (A). Beweis (i): Nach Lemma 25 ist conv (c) (A) konvex; offensichtlich gilt A conv (c) (A), und deswegen ist conv (b) (A) conv (c) (A) nach Definition von conv (b) (A).

10 Beweis (ii): conv (c) (A) conv (b) (A). Satz. Die Definitionen (a), (b), (c) sind äquivalent: ist eine Menge konvexe Hülle nach einer Definition, so ist sie auch eine konvexe Hülle nach den anderen Definitionen. Def. (b) Die konvexe Hülle von A ist die kleinste konvexe Menge conv(a), die A enthält. (d.h., gilt A C für eine konvexe Menge C, so gilt conv(a) C) Def. (c) Die konvexe Hülle von A ist der Durchschnitt von allen konvexen Mengen, die A enthalten: conv(a) = C A C ist konvex C. conv (b) (A) ist nach Definition konvex und enthält alle Punkte von A. Dann ist sie eine der Mengen aus dem Durchschnitt C := conv (b) (A), C A C ist konvex deswegen ist conv (c) (A) conv (b) (A).

11 (a) (b) Wir beweisen zuerst das folgende Lemma. Lemma 28. Eine Menge A R n ist genau dann konvex, wenn für alle k N, für alle x 1,...,x k A und für alle λ 1,..., λ k R mit i λ i = 1, λ i 0 gilt: λ 1 x λ k x k A ( ) Beweis =: Angenommen x 1, x 2 A. Wir nehmen k = 2 und λ 1 = (1 t), λ 2 = t. Dann sind (für t [0, 1] ) λ 1 x 1 + λ 2 x 2 genau die Punkte der Strecke, die x 1 und x 2 verbindet. Falls ( ) erfüllt ist, liegen sie in A und damit ist die Menge A konvex.

12 Lemma 28. Eine Menge A R n ist genau dann konvex, wenn für alle k N, für alle x 1,..., x k A und für alle λ 1,..., λ k R mit È i λ i = 1, λ i 0 gilt: λ 1 x λ k x k A Beweis = : Angenommen A ist konvex. Zuerst bemerken wir, dass λ 1 x λ k x k genau der Schwerpunkt der Punkte x 1,...,x k mit Massen λ 1,...,λ k ist ( weil i λ i = 1). Falls wir alle Massen mit derselben Konstanten multiplizieren,ändern wir den Schwerpunkt nicht, weil diese Konstante in der Formel S := 0 + i ( ) m i j m x i j im Zähler und im Nenner erscheint (siehe auch Abschnitt: Schwerpunkt versus konvexe Kombination). Also müssen wir beweisen, dass für alle k N und für alle Massen m 1,...,m k der Schwerpunkt von x 1,...,x k A mit Massen m 1,...,m k wieder in A liegt. Induktion nach k. Induktionsanfang: für k = 2 ist das offensichtlich: in dem Fall liegt der Schwerpunkt auf der Verbindungsstrecke x 1 x 2 = {(1 t)x 1 + tx 2 t [0,1]} und diese liegt in A da A konvex ist.

13 Induktionsschritt k 1 k. Es seien x 1,...,x k A und m 1,...,m k 0 mit k > 2, i m i > 0. Sei S der Schwerpunkt von x 1,...,x k 1 mit Massen m 1,...,m k 1. Nach Induktionsvoraussetzung ist S A. Nach Lemma 27 ist der Schwerpunkt von x 1,...,x k (mit Massen m 1,...,m k ) der Schwerpunkt von S A, x k A mit Massen jeweils m m k 1 und m k. Nach Induktionsvoraussetzung liegt der Schwerpunkt dann in A,

14 (a) (b) Satz. Die Definitionen (a), (b), (c) sind äquivalent: ist eine Menge konvexe Hülle nach einer Definition, so ist sie auch eine konvexe Hülle nach den anderen Definitionen. Def. (a) Die konvexe Hülle von A ist die Menge conv(a) := {λ 1 x λ k x k λ λ k = 1, λ i 0, x i A}. Def. (b) Die konvexe Hülle von A ist die kleinste konvexe Menge conv(a), die A enthält. (d.h., gilt A C für eine konvexe Menge C, so gilt conv(a) C) Nach Definition (b) ist conv (b) (A) konvex, und enthält A. Dann liegen nach Lemma 28 alle Punkte der Form i λ ix i (wobei λ i 0, i λ i = 1, x i A ) in conv (b) (A). Also conv (a) (A) conv (b) (A). Deswegen bleibt uns noch zu zeigen, dass conv (a) (A) konvex ist. (Da A conv (a) (A) ist, ist dann conv (b) (A) conv (a) (A).)

15 Angenommen die Punkte x und y sind konvexe Kombinationen von Punkten x 1,...,x k A (OBdA können wir denken, dass die Punkte in der Linearkombination für x und y gleich sind, weil wir die fehlenden Punkte mit Koeffizient λ = 0 hinzufügen können.) x = i λ i x i y = i µ i x i. Dann besteht die Verbindungsstrecke xy aus den Punkten der Form (wobei t [0,1]) (1 t) i λ ix i + t i µ ix i = i ((1 t)λ i + tµ i ) }{{} η i x i. Die Koeffizienten η i erfüllen η i 0 und i η i = i ((1 t)λ i + tµ i ) = (1 t) + t = 1. Deswegen liegt jeder Punkt der Verbindungsstrecke xy in conv (a) (A),

16 Topologische Begriffe in der konvexen Geometrie Wiederholung. Ein offener Ball vom Radius r > 0 um x 0 ist die Menge B x0 (r) := {x R n d(x,x 0 ) < r}. Def. (Analysis- Vorlesung) Sei A R n. Das Innere von A (Bezeichnung: int(a)) ist die Vereinigung von allen offenen Bällen, die ganz in A enthalten sind. Def. Wiederholung. Eine Menge A R n ist offen, falls es für jeden Punkt a A ein r > 0 gibt, so dass B a (r) A. Bemerkung. Eine Menge A ist genau dann offen, falls A = int(a). x y Bsp. Ein offener Ball ist offen. Weil für jeden Punkt y B x0 (r), also für jedes y mit y x 0 < r der ganze Ball B y ( 1 2 (r y x 0 )) in B x0 (r) liegt: in der Tat, ist z B y ( 1 2 (r y x 0 )), so gilt z x 0 Dreiecksungleichung z y + y x (r y x 0 ) + y x 0 = 1 2 (r + y x 0 ) r.

17 Lemma 29. Sei A eine konvexe Menge, x int(a) und y A. Dann gilt: jeder Punkt u xy, s.d. u y liegt in int(a). Beweis. Sei y A und o.b.d.a. sei y = 0 der Ursprung. Da x int(a), Def. von offen = eine offene Kugel B x (δ) A. Für beliebiges u xy, s.d. u y existiert ein λ, (0 < λ < 1), so dass u = λx. Es gilt: B λx (λδ) = λb δ (x) := {λ w w B δ (x)}. Weil A konvex ist und 0 A, gilt: λb δ (x) A = B λδ (λx) = B λδ (u) A. Da die Kugel um u mit Radius λδ in A enthalten ist, folgt daraus, dass u int(a).

18 Lemma 29. Sei A eine konvexe Menge, x int(a) und y A. Dann gilt: jeder Punkt u xy s.d. u y liegt in int(a). Folgerung. Falls A konvex ist, dann ist das Innere int(a) konvex. Beweis. Seien x, y int(a). Nach Lemma 29 liegt jeder Punkt der Strecke xy in int(a)

19 Stützende Hyperebenen Def. Eine Hyperebene H stützt eine Menge S R n in einem Punkt x S, wenn x H und H die Menge S beschränkt, d.h. S liegt ganz auf einer Seite von H (d.h. für H = {y R n l,y = c } gilt dann l,y c für alle y S, oder l,y c für alle y S.) H heißt Stützhyperebene.

20 Def. (Analysis-Vorlesung) Sei S eine abgeschlossene Menge. Die Menge Rand(S) := S \ int(s) heißt die Randmenge von S. A Rand(A) Bsp. Rand des abgeschlossenen Balls B x0 (r) = {x R n x x 0 r} ist die Sphäre {x R n x x 0 =r}

21 Nächstes Ziel: Existenz einer stützenden Hyperebene durch jeden Randpunkt einer abgeschl. konvexen Menge. Satz. (Existenz der Stützhyperebene) Sei S R n, S R n abgeschlossen und konvex. Es gilt: Ist x ein Randpunkt von S, so existiert mindestens eine Hyperebene, die S in x stützt. Zuerst machen wir (relativ viel) Vorarbeit.

22 Def. Der Punkt λ 1 x λ k x k, λ i 0, x i A, heißt positive Kombination der Elemente x 1,...,x k von A. Die positive Hülle von A pos(a) ist die Menge aller positiven Kombinationen von Elementen von A. y S 0 x Positive Hülle von S ist die ganze Ebene

23 Def. Sei S R n eine nichtleere Menge. Der Kegel (mit Spitze 0) über S ist die Menge Kegel(S) := {µ x µ 0,x S}.

24 Lemma 30. Es gilt: (i) Die positive Hülle einer konvexen Menge ist konvex. (ii) Die positive Hülle ist ein Kegel. (iii) Ist A konvex, so fällt der Kegel über A mit pos(a) zusammen. Beweis (i). Seien x, x pos(a), wobei A konvex ist, d.h. x und x sind positive Kombinationen von Punkten aus A. OBdA können wir annehmen, dass die Punkte x i in der positiven Kombination für x und in der positiven Kombination für x zusammenfallen; sonst können wir die fehlenden Punkte mit Koeffizient 0 hinzufügen. Dann gilt: x = k i=1 λ ix i und x = k λ i=1 i x i Dann besteht die Strecke x x aus den Punkten (wobei t [0,1]) t x + (1 t) x = t k i=1 λ ix i + (1 t) k λ i=1 i x i = k i=1 (t λ i + (1 t) λ i ) x i. }{{} η i Da jedes η i die Summe von zwei nichtnegativen Zahlen ist, ist η i 0 und damit t x + (1 t) x pos(a),

25 Lemma 30. Es gilt: (i) Die positive Hülle einer konvexen Menge ist konvex. (ii) Die positive Hülle ist ein Kegel. (iii) Ist A konvex, so fällt der Kegel über A mit pos(a) zusammen. Beweis (ii). Sei x pos(a), d.h. x ist eine positive Kombination von Punkten aus A: x = k i=1 λ ix i mit x i A und λ i 0. Dann ist ein beliebiger Punkt x = µ x aus Kegel(pos(A)) auch als positive Kombination der x i darstellbar: µ x = µ k i=1 λ ix i = k i=1 µ λ i }{{} λ i 0 Beweis (iii). Die Inklusion pos(a) Kegel(A) ist offensichtlich. Wir zeigen pos(a) Kegel(A). Sei x pos(a), wobei A konvex ist. Dann ist x = µ 1 x µ k x k, wobei x i A, µ i 0. Sind alle µ i = 0, so ist x = 0, und liegt in Kegel(A) nach Definition. Ist M := i µ i > 0, so betrachten wir den Punkt x := 1 M x = µ 1 M }{{} λ 1 x µ k M }{{} λ k i λ i = 1. Nach dem Äquivalenzsatz ist x k. Nach Konstruktion der λ i ist Def (b) Def (a) A = conv(a) = {λ 1 x λ k x k λ λ k = 1,λ i 0}. Dann liegt x in conv(a) = A. Damit liegt x = M x in Kegel(A), x i,

26 Lemma 31. Sei S R 2, S R 2, offen und konvex. Dann gilt für jedes x R 2 \ S: Es existiert eine Gerade L mit x L und L S =. Beweis. OBdA sei x := 0 R 2 \ S. Da die Menge S offen und konvex ist, ist nach Lemma 30 pos(s) auch konvex und ein Kegel über S. Deswegen ist pos(s) ein offener Sektor mit Eckpunkt 0 und Winkel δ π. Eine Ursprungsgerade L (d. h. x = 0 L), die eine Seite des Sektors enthält, erfüllt nun obige Bedingung L S =, da der Sektor offen ist,

27 Hilfssatz. Sei F ein affiner Unterraum des R n mit dim(f) = k, wobei 0 k n 2. Sei S R n offen und konvex, so daß F S =. Dann gilt: Es existiert ein (k + 1) dimensionaler affiner Unterraum F mit F F und F S =. L L Beweis. Sei e 1,...,e n die Standardbasis des R n. OBdA ist 0 F. Für 0 < k n 2 sei F = aff ({ 0,e 1,...,e k }) (= Span({e 1,...,e k })) und U = aff ({ 0,e k+1,...,e n }) (= Span({e k+1,...,e n })). Sei π : R n U die orthogonale Projektion (=Lot) auf U, π(a 1,...,a n ) := (0,...,0,a k+1,...,a n ). Da π offensichtlich eine affine Abbildung ist, ist Bild π (S) eine konvexe Teilmenge von U.

28 Wir betrachten die Ebene P := aff ({ 0,e n,e n 1 }). Die Schnittmenge Bild π (S) P ist auch eine konvexe Menge; sie ist offen als Teilmenge von P. L L Wegen F S = gilt: 0 Bild π (S), und deswegen 0 Bild π (S) P. Deswegen existiert nach Lemma 31 eine Gerade L P mit x := 0 L und L Bild π (S) =. Für F := Urbild π L = F + L gilt: dim(f ) = dim(f) + 1 und F S =,

29 Existenz von stützenden Hyperebenen: Beweis. Satz (Existenz der Stützhyperebenen). Sei S R n, S R n, abgeschlossen und konvex. Es gilt: Ist x ein Randpunkt von S, so existiert mindestens eine Hyperebene, die S in x stützt. Hilfssatz. Sei F ein affiner Unterraum von R n mit dim(f) = k, wobei 0 k n 2. Sei S R n offen und konvex, so daß F S =. Dann gilt: Es existiert ein (k +1) dimensionaler affiner Unterraum F mit F F und F S =. Beweis. Angenommen, es gibt eine Hyperebene H, so dass S H. Dann ist H Stützebene für jeden Punkt von S. Im Folgenden werden wir annehmen, dass es keine Hyperebene H gibt, so dass S H. Dann ist int(s). In der Tat gibt es n + 1-Punkte von S, die in keiner Hyperebene liegen. Die konvexe Hülle von diesen Punkten ist eine Teilmenge von S, welche innere Punkte besitzt. Wir betrachten jetzt die Menge int(s). Sie ist offen und nicht leer. Für jeden Punkt x Rand(S) liefert ((n 1) k)-maliges Anwenden des Hilfssatzes die Behauptung, da die Dimension des affinen Raumes jeweils um 1 wächst, bis der Raum eine Hyperebene ist,

30 Umkehrung des Satzes über Existenz der Stützhyperebene Satz. ( Existenz der Stützhyperebene) Sei S R n, S R n,abgeschlossen und konvex. Es gilt: Ist x ein Randpunkt von S, so existiert mindestens eine Hyperebene, die S in x stützt. Satz. Sei S R n abgeschlossen und int(s). Es gilt: Wenn durch jeden Randpunkt von S eine Hyperebene verläuft, die S stützt, dann ist S konvex.

31 Satz. Sei S R n abgeschlossen und int(s). Es gilt: Wenn durch jeden Randpunkt von S eine Hyperebene durchgeht, die S stützt, dann ist S konvex. Beweis für n 2. Sei wieder S R n abgeschlossen und int(s). Ist S = R n, so ist S konvex. Wir nehmen an, dass S R n. Wir nehmen einen Punkt x S. Außerdem gibt es, da int(s), ein y int(s) und einen Randpunkt b von S, sodass b xy, b {x,y}. Die nach Voraussetzung existierende stützende Hyperebene H von S durch b enthält nicht x (denn würde sie b und x enthalten, so enthielte sie auch die Strecke bx und damit auch die Strecke xy, was im Widerspruch dazu steht, dass y ein innerer Punkt ist). Folglich gilt für den abgeschlossenen Halbraum, der von H begrenzt wird und y enthält, dass er S einschließt, aber nicht x enthält. Da x ein beliebiger Punkt ist der nicht in S liegt, kann man dieses Verfahren für alle x S anwenden und so schließen, dass S gleich dem Schnitt aller so entstandenen Halbräume, welche S enthalten, ist. Also ist S ein Durchschnitt von konvexen Mengen und damit selbst konvex,

32 Sätze über Existenz der Stützhyperebene und dessen Umkehrung in Worten Die Sätze ergeben die folgende Charakterisierung von abgeschlossenen konvexen Mengen mit nicht leerem Inneren: Sei S R n abgeschlossen und int(s). Dann gilt: S ist genau dann konvex, wenn durch jeden Randpunkt von S eine die Menge S stützende Hyperebene geht. = Gilt nach Satz über Existenz der Stützhyperebene. = Gilt nach Umkehrung des Satzes. Bemerkung. Das Interessante an diesem wichtigen Satz ist, dass er die globale paarweise Definition von Konvexität (Die Strecke zwischen zwei beliebigen Punkten aus S muss ganz in S liegen) mit einer Eigenschaft von einigen einzelnen Punkten (jeder Randpunkt muss in einer Stützebene liegen) gleichsetzt.

33 Def. Sei S R n eine konvexe Menge. Ein Punkt x S heißt Extrempunkt von S, wenn es kein Intervall ab ganz in S liegend gibt, ab S, sodass x ab und x {a, b}. Die Menge aller Extrempunkte von S heißt Profil von S.

34 Wiederholung Vorl. Analysis. Eine abgeschlossene beschränkte Menge im R n ist kompakt. Satz (Darstellung von konvexen Körper als Konvexe Hülle des Profils). Sei S R n eine kompakte und konvexe Menge. Es gilt: S ist die konvexe Hülle ihres Profils P. In anderen Worten, Jedes x S ist Konvex-Kombination von Elementen des Profils von S. Zuerst eine Hilfsaussage: Lemma 32 Sei S R n abgeschlossen und konvex. Sei H eine Stützhyperebene von S in einem Punkt x S. Es gilt: Ist x ein Extrempunkt von H S, so ist x ein Extrempunkt von S. Beweis. Sei H := {y l,y = c}. Sei x aus dem von S H. Dann gilt l,x = c. OBdA ist l,z c für alle z S. Wir nehmen an, dass x nicht aus dem Profil von S ist. Das heißt, x liegt im Inneren eines Intervals, also x = λ u + (1 λ) v mit λ (0,1),u,v S und entweder u S H oder v S H (sonst wäre x kein Extrempunkt in S H.) Folglich gilt l, u < c oder l, u > c. OBdA können wir annehemen, dass l,u < c. Dann gilt c = l,x = l,λ u + (1 λ) v Linearität = λ l,u + (1 λ) l,v < λ c + (1 λ) c < c. Der Widerspruch zeigt, dass x im Profil von S liegt,

35 Satz. Sei S R n eine kompakte und konvexe Menge. Es gilt: S ist die konvexe Hülle ihres Profils P. Induktionsbeweis nach k := dim(aff (S)). InduktionsAnfang: Ist k = 0, so ist S nur ein Punkt. Da dieser Punkt trivialerweise auch das Profil P von S ist, gilt conv(p) = S. InduktionsVoraussetzung: Gelte der Satz für jede kompakte, konvexe Menge der Dimension höchstens k 1.

36 Satz. Sei S R n eine kompakte und konvexe Menge. Es gilt: S ist die konvexe Hülle ihres Profils P. Induktionsschritt: Sei dim(aff (S)) = k und x S. Die affine Hülle aff (S) ist zu R k isomorph. Offensichtlich ist S kompakt und konvex als Teilmenge von aff (S) = R k. Ferner gilt: Das Profil P von S (in R n ) und die konvexe Hülle conv(p) (auch in R n ) fällt mit dem Profil P von S (in aff (S) = R k ) und der konvexen Hülle conv(p) (auch in aff (S) = R k ) zusammen. Also können wir OBdA annehmen, dass k = n ist. Ist x im Rand von S enthalten, so gibt es nach dem Satz über Existenz der Stützhyperebene eine k 1 dimensionale Hyperebene, die S in x stützt. Die Menge S H ist kompakt und konvex, wobei dim(aff (S H)) k 1. Nach Induktionsvoraussetzung gilt dann, dass x eine Konvexkombination der Extrempunkte von S H ist. Aus Lemma 32 folgt, dass x eine Konvexkombination der Extrempunkte von S ist. Wir haben deswegen Rand(S) conv(p) bewiesen. Wir zeigen jetzt int(s) conv(p). Sei x int(s). Sei G eine Gerade in der affinen Hülle von S durch x. Dann ist G S ein Interval mit Endpunkten y und z, wobei y, z Rand(S) conv(p). Dann liegt das ganze Intervall in conv(p), folglich int(s) conv(p). Insgesamt haben wir gezeigt:s conv(p).da S konvex ist, ist conv(p) S nach dem Äquivalenzsatz. Also erhalten wir conv(p) = S,

37 Links: S ist eine Halbgerade, d.h. S ist konvex aber unbegrenzt und somit nicht kompakt. Das Profil von S ist der Punkt P 1. Es gilt hier: conv(p) S. Rechts: S ist ein halboffener, halbgeschlossener Kreis, d.h. S ist konvex und beschränkt, aber nicht abgeschlossen, also nicht kompakt. Das Profil von S ist der linke Halbkreis. Folglich gilt conv(p) S. Folgerung. Jede kompakte, konvexe Menge S besitzt mindestens einen Extrempunkt. Beweis. Weil S nach Satz über Darstellung der konvexen Körper als Konvexhülle des Profils mit der konvexe Hülle der Extrempunkte übereinstimmt, Beispiele, die zeigen, dass die Annahmen wichtig sind:

38 Es gibt Ähnlichkeiten zwischen dem Profil einer kompakten, konvexen Menge und einer Basis eines linearen Untervektorraums bzw. Koordinatensystems eines affinen Unterraums: Eine Basis B eines linearen Unterraums U ist eine linear unabhängige Teilmenge von U, welche den Unterraum aufspannt, in dem Sinn, dass jedes Element von U eine Linearkombination der Elemente in B ist. Jeder Unterraum des R n besitzt eine Basis, und obwohl die Basis nicht eindeutig ist, hat sie immer die gleiche Anzahl von Elementen. Eine Teilmenge F des R n besitzt eine affin unabhängige Teilmenge A von F mit einer endlichen Anzahl von Elementen, so dass die affine Hülle von A gleich der affinen Hülle von F ist. Obwohl diese Teilmenge nicht eindeutig ist, hat sie immer die gleiche Anzahl von Elementen. Wenn wir eine Menge als konvex unabhängig definieren, wenn kein Element der Menge eine Konvexkombination der anderen Elemente ist, dann ist das Profil P von S eine konvex unabhängige Teilmenge von S, wobei S wieder kompakt und konvex ist, so dass die konvexe Hülle von P gleich S ist. In der Analogie gesprochen heißt das, dass P die Menge S konvex aufspannt. Obwohl das Profil eindeutig ist, kann es unglücklicherweise unendlich viele Elemente haben. Wie die Beispiele oben zeigen, bricht diese Analogie leider völlig zusammen, falls die Menge S nicht kompakt ist.

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