3 Anwendungen der Differentialrechnung. (x 1, x 2,..., x n 1, x n ) f xn (x 1, x 2,..., x n 1, x n ), 1 i n 1. y + cos z

Transkript

1 R Es sei f : R n D R eine einmal stetig differenzierbare Funktion, für die in einer Umgebung eines Punkte a = a 1, a,, a n D gilt: fa 1, a,, a n = 0, f xn a 1, a,, a n 0 Dann gibt es eines Umgebung U des Punktes a 1, a,, a n 1 und ein offenes Intervall K R, das a n enthält, so dass gilt a R := {x 1, x,, x n 1, x n ; x 1, x,, x n 1 U, x n K} D und f xn x 0 für alle x R b Zu jedem Punkt x 1, x,, x n 1 U gibt es genau eine Zahl x n K mit fx 1, x,, x n 1, x n = 0 Durch x n := gx 1, x,, x n 1 ist eine partiell differenzierbare Funktion g : U R erklärt mit g x i x 1, x,, x n 1 = f x i x 1, x,, x n 1, x n f xn x 1, x,, x n 1, x n, 1 i n 1 Beispiel 30: fx, y z = xcos y + y cos z + z cos x = 0 ist implizit eine Funktion z = gx, y in einer Umgebung von 0,0, erklärt, da f z 0, 0, 0, 0, = y sinz + cos x = 1 0, 0, Dann ist außerdem g x 0, 0 = f x0, 0, cos y z sinx = f z 0, 0, y sinz + cos x = 1 0, 0, und g y 0, 0 = f y0, 0, f z 0, 0, y + cos z = xsin y sinz + cos x = cos 0, 0, 33 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen In zahlreichen Extremwertaufgaben ist die Menge der zulässigen Punkte eingeschränkt durch eine oder auch mehrere Nebenbedingungen der Form gx 1, x,, x n = 0 69

2 R Sei M := { x R n ; g x = 0} Man sagt, a M ist eine Maximalstelle Minimalstelle von f unter der Nebenbedingung g x = 0, wenn es eine Umgebung U r a gibt, so dass f x f a f x f a gilt für alle x U r a M Man schreibt f x Extr! NB :g x = Explizite Methode Man löst, so möglich, g x = 0 nach einer Variablen, zb x n = hx 1, x,, x n 1 auf und eliminiert über die Substitution x n aus f Es entsteht ein Extremalproblem ohne Nebenbedingung: fx 1, x,, x n 1, hx 1, x,, x n 1 = Extr! Beispiel 31: Gesucht sind die wärmsten und die kältesten Punkte auf der Sphäre x + y + z = 1 bei einer Temperaturverteilung Tx, y, z = xy + xz Da in x, y, z und x, y, z dieselbe Temperatur herrscht, genügt es, die Extremwerte auf der Hemnissphäre x = 1 y z zu bestimmen Fy, z := Txy, z, y, z = y + z 1 y z = Extr! Auf dem Kreis x = 0, y + z = 1 gibt es keine Punkte extremaler Temperatur, dort ist T = 0 Für y + z < 1 berechnen wir über F y = F z = 0 die stationären Punkte Für diese muss gelten F y = 1 y z + 1 y + z y 1 y z = F z = 1 y z + 1 y + z z 1 y z = 0 bzw 1 y z y yz = 1 y z yz = 0 y + z + yz = 1 70

3 und 1 y z zy z = 1 y z zy = 0 y + z + yz = 1 Folglich ist ein nichtlineares Gleichungssystem zu lösen: y + z + yz = 1, 31 y + z + yz = 1 3 Wenn beide Gleichungen erfüllt sein sollen, dann muss auch 31-3 erfüllt sein, dh und man erhält die folgenden Fälle y z = 0 y = z 1 y = z, dann ergibt die Gleichung 31: 3y 3 y = y = 1 und damit y = z = ± 1 und es ist y + z = = 1, dh diese Punkte liegen nicht im Bereich y + z < 1 und entfallen deshalb y = z, dann ergibt die Gleichung 31: y + y + y = 1 und damit y = z = ± 1 In diesem Fall ist x = = 1 Damit gibt es 4 mögliche Extremalpunkte auf der Sphäre: a = 1, 1, 1, 1 b =, 1, 1, auf der oberen Hemnissphäre und a = 1, 1, 1, b = 1, 1, 1, auf der unteren Hemnissphäre Die stetige Temperaturverteilung hat auf der Sphäre Punkte minimaler und maximaler Temperaturverteilung, daher sind wegen T a = T a = xy + xz = = und T b = T b = xy + xz = = die Punkte a, a Maximalstellen und b, b Minimalstellen 71

4 34 Parametrisierung der Nebenbedingung Im Fall zweier Variabler bestimmt man eine Parameterdarstellung x = xt, y = yt, t I, der Kurve gx, y = 0 und löst für Ft := fxt, yt das gewöhnliche Extremalproblem ft = Extr! Dabei sind die Randpunkte wiederum extra zu betrachten 3 Lagrange-Multiplikatoren-Methode Wir gehen zunächst davon aus, dass a in a ein lokales Extremum vorliegt, b gradg a 0 ist, c die Funktion f einmal stetig partiell differenzierbar ist Dann gilt: Wegen b kann man die Nebenbedingung in einer Umgebung von a nach einer Veränderlichen, wir nehmen an dies sei x n auflösen, dh es ist x n = hx 1, x,, x n in U r a In U r a hat die Funktion fx 1, x,, x n 1, hx 1, x,, x n 1 folglich ein lokales Extremum nämlich in x = a und die notwendige Bedingung für ein lokales Extremum muss erfüllt sein, dh mit a = a 1, a,, a n 1, a n = a, a n ist f x1 a + f xn ah x1 a gradf a, h a f x a + f xn ah x a = = 0 f xn 1 a + f xn ah xn 1 a Nach dem Satz über die implizite Funktion ist aber und damit ist h xi a = g x i a g xn a f xi a+f xn ah xi a = f xi a f xn a g x i a g xn a = f x i a f x n a g xn a g x i a = 0, 1 i n 1 Fügt man nun als n-te Gleichung die triviale Gleichung f xn a f x n a g xn a g x n a = 0 7

5 hinzu, so erhält man gradf a f x n a g xn a gradg a = 0 gradf a + λ gradg a = 0, λ R In Worten: Der Gradient der Funktion f an der lokalen Extremalstelle ist ein skalares Vielfaches des Gradienten der Nebenbedingung g an der lokalen Extremalstelle Beispiel 3: Es sei fx, y = y x und gx, y = x + y 1 = 0 Gesucht sind lokale Extrema der Funktion fx, y unter der Nebenbedingung gx, y = 0 Wie man sich am Bild und geometrisch leicht überlegt, befinden sich die lokalen Extrema in x 1, y 1 = 1, 1 mit fx 1, y 1 = fx, y = = = und x, y = 1, 1 mit 1 Grün dargestellt ist die Richtung des Gradienten von f : gradf x, y =, rot 1 sind die Richtungen der Gradienten von gx, y für verschiedene x, y Es ist gradgx, y = x Der Gradient steht immer senkrecht auf dem Tangentenvektor Wie man leicht y sieht haben der Gradient von f und g in x 1, y 1 die gleiche Richtung und in x, y entgegengesetzte Richtung 73

6 R Lagrange-Multiplikatoren-Methode 1 Hilfsfunktion bilden: Lx 1,, x n, λ = fx 1,, x n + λ gx 1,, x n mit n + 1 Variablen x 1,, x n, λ Berechne gradl und löse das i Allg nichtlineare Gleichungssystem gradl = L x1 L x L xn L λ f x1 x 1,, x n + λg x1 x 1,, x n f x x 1,, x n + λg x x 1,, x n = = 0 f xn x 1,, x n + λg xn x 1,, x n gx 1,, x n Dabei entsprechen der ersten n Gleichungen der Beziehung gradfx 1,, x n + λ gradgx 1,, x n = 0 und die n + 1-te Gleichung ist gerade die Nebenbedingung 3 Man untersucht, welche der gefundenen Werte a 1,, a n tatsächlich Extremalstellen sind λ spielt keine Rolle mehr In den meisten praktischen Problemen lassen sich die Extrema unter den gefundenen Punkten aus physikalischen Gründen oder durch direkten Vergleich der Funktionswerte erkennen Schliesslich sind noch die Punkte b, in denen f, g nicht differenzierbar sind oder für die gradg b = 0 ist, getrennt zu untersuchen Beispiel 33: fx, y = y x und die Nebenbedingung lautet gx, y = x + y 1 = 0 Dann ist Lx, y, λ = fx, y + λ gx, y = y x + λx + y 1 Es ist zu untersuchen: gradl = L x L y L λ = f x x, y + λ g x x, y f y x, y + λ g y x, y gx, y = 1 + λx 1 + λy x + y 1 = 0 Aus der ersten Gleichung erhält man x = 1 1 λ, aus der Gleichung y = λ = x, was in die 3 Gleichung eingesetzt ergibt: x 1 = 0 x 1/ = ± 1 74

7 Wir erhalten damit die Punkte: x 1, y 1 = x 1, x 1 = 1, 1 und x, y = x, x = 1, 1 Also nur Punkte!! Aus dem Vergleich der Funktionswerte ergibt sich das lokale Maximum und das lokale Minimum Beispiel 34: Es sind die Scheitelpunkte der Ellipse x + xy + y = zu bestimmen, das sind die Punkte mit dem größten oder kleinsten Abstand zum Nullpunkt Abstand zum Nullpunkt wird bestimmt durch fx, y = x + y Das Extremalproblem lautet deshalb: fx, y = x + y = Extr! NB: gx, y = x + xy + y = 0 Bildung der Lagrange-Funktion: Lx, y,λ = x + y + λx + xy + y und das zu lösende Gleichungssystem ist gradl = L x L y L λ = x + λx + y y + λx + y x + xy + y = 0 Die Kunst besteht nun darin, dieses nichtlineare Gleichungssystem zu lösen Hierfür gibt es verschiedene Möglichkeiten: 1 Wir lösen die erste Gleichung nach y auf Dabei können wir benutzen, dass λ = 0 keine Lösung des Gleichungssystems ergibt, denn λ = 0 impliziert, dass x = y = 0 sein muss und damit ist Nebenbedingung nicht erfüllt Für λ 0 ergibt die erste Gleichung: y = 1 + λ x λ Dies in die zweite Gleichung eingesetzt führt auf: 1 + λ λx λ x = 0 λ 41 + λ x = 0 λ Diese Gleichung ist erfüllt, wenn x = 0 oder λ 41 + λ = 0 gilt Aber x = 0 impliziert y = 0 und diese Variante erfüllt die Nebenbedingung nicht Es verbleibt also die Gleichung λ 41 + λ = 3λ 8λ 4 = 0 λ 1/ = 4 3 ± = 4 3 ± 3 7

8 Also λ 1 = 3 und λ = Für λ 1 ergibt sich daraus 3 x 3 y = 0 x = y und für λ ergibt sich x y = 0 x = y Setzt man x = y in die 3 Gleichung ein, so erhält man 3x = 0 x = 3 x 1/ = ± 3 und die Punkte 3, 3 und 3, 3 Setzt man x = y in die 3 Gleichung ein, so erhält man x = 0 x = x 3/4 = ± und die Punkte, und, Wir schreiben die beiden ersten Gleichungen als Gleichungssystem: + λ λ λ + λ x Das ist ein lineares Gleichungssystem mit dem Parameter λ Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, so hat es nur die triviale Lösung x = y = 0 Diese Lösung erfüllt aber die 3 Gleichung nicht Folglich muss die Determinante des Gleichungssystems gleich Null sein, dh Alles andere ist nun wie bei 1 y = λ1 + λ λ = 0 3λ + 8λ + 4 = 0 Wie man leicht sieht, ist yl x xl y = x y = 0 Hieraus folgen sofort die zwei Fälle x = y und x = y Alles andere ist wie vorher 0 Die Scheitelpunkte sind 3,, 3 3,, 3,,, 76

9 Bemerkung 8: Völlig analog behandelt man den Fall von k Nebenbedingungen, wobei die Anzahl der Nebenbedingungen k kleiner als die Anzahl der Variablen n sein soll Sind f, g 1,, g k einmal stetig partiell differenzierbar und die Gradienten für alle x M mit gradg 1 x,,gradg x M := { x R n : g 1 x = = g k x = 0} linear unabhängig, dann findet man die Lösung des Extremalproblems mit Nebenbedingungen: fx 1, x,, x n Extr! NB :g 1 x 1, x,, x n = g k x 1, x,, x n = 0 unter den stationären Punkten der Lagrange-Funktion: Lx 1, x,, x n, λ 1,,λ k = f x + λ 1 g 1 x + + λ n g n x 36 Extremalstellen in von Hyperflächen begrenzten Bereichen Es sei U ein durch Hyperflächen begrenzter Bereich des R n, dh U = { x R n : g 1 x 0,, g r x 0} 77

10 R Die Kandidaten für Extremalstellen von f : U R sind: a die Ecken von U falls vorhanden, sind das die eindeutigen Lösungen von möglichen Kombinationen g i x = g j x = = g k x = 0 und ansonsten g l x < 0, b die Extremalstellen in den berandenden Kurven-, Flächen- und Hyperflächenstücken von U, mit der Lagrange-Multiplikatoren-Methode, durch Parametriesierung bzw Einsetzen der entsprechenden Nebenbedingung, c die stationären Stellen von f im Innern von U : { x R n : g 1 x < 0,, g r x < 0}, d Punkte in U, in denen f nicht differenzierbar ist Der größte kleinste Funktionswert an den Stellen a, b, c, d liefert das globale Maximum Minimum Beispiel 3: Gesucht sind die Extrema von fx, y = 3x xy+y auf der Kreisscheibe x + y 1 78

11 Untersuchung der extremwertverdächtigen Punkte: a U hat keine Ecken, b der Rand von U ist die Kreislinie x +y = 1 Wir haben das Extremwertproblem mit Nebenbedingung fx, y Extr! NB : x + y = 1 zu betrachten Nach der Lagrange-Multiplikatoren-Methode bilden wir: Lx, y,λ = fx, y + λgx, y = 3x xy + y + λx + y 1 und berechnen: gradlx, y,λ = 0 : L x L y L λ = 6x y + λx x + y + λy x + y 1 = λ = 0 impliziert x = y = 0 und dafür ist die Nebenbedingung nicht erfüllt Die ersten beiden Gleichungen ergeben das Eigenwertproblem: x y = λ x y Wir bestimmen die Eigenwerte aus 3 λ 1 deta λe = 1 1 λ = 3 + λ1 + λ 1 = 0 λ + 4λ + = 0 79

12 und erhalten als Lösungen λ 1/ = ± 4 = ± Die zugehörigen Eigenvektoren ergeben sich für λ 1 = + zu und damit x + 1 y = 0 x = 1y Eingesetzt in die Nebenbedingung erhält man 1 y +y = +y = 1 y 1/ = ±1 und x 1/ = ± sowie für λ = und damit x+1+ y = 0 x = 1+ y Eingesetzt in die Nebenbedingung erhält man 1+ y +y = + +y = 1 y 3/4 = ±1 und x 3/4 = Das ergibt die 4 Punkte: a = 1 4, 1 4, a, b = , 1, b 4 + Als Funktionswerte ergeben sich f a = f a = = = = 6 4 = 3 4 = = = 0,9 80

13 und f b = f b = = = = = = = = + 3,41 Bemerkung 9: 1 Anstelle des Eigenwertproblems hätte man auch ein Gleichungssystem mit dem Parameter λ betrachten können: 3 + λ 1 x 0 = λ y 0 Da die triviale Lösung x = y = 0 die Nebenbedingung nicht erfüllt, interessieren alle λ für die das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist, also wo gilt 3 + λ 1 = 3 + λ1 + λ 1 = λ Danach ist die Lösung, gemäß oben bzw der Bemerkung zu bestimmen Man hätte stattdessen auch die erste Gleichung nach y auflösen können: und das in die zweite Gleichung einsetzen: y = 6x + λx y = 3 + λx x λy = x λ3 + λx = λ3 + λx = 0 und erhält die gleiche quadratische Gleichung für λ Also auch λ 1/ = ± Damit ergeben sich Beziehungen: y 1 = 3 + x 1 = 1 + x 1, y 3 = 3 x 3 = 1 x 3 Eingesetzt in die Nebenbedingung folgt daraus: und damit x 1/ = x x 1 = x 1 = 1 ±1 4 + = ± = ±

14 und entsprechend y 1/ = ± = ±1 4 Analog erhält man aus die Lösungen x 3/4 = x x 3 = x 3 = 1 ±1 4 = = und entsprechend y 3/4 = = ±1 4 + Das sind diesselben Punkte wie oben c Stationäre Punkte im Innern von U : 6x y gradfx, y = x + y = 0 Aus der zweiten gleichung x = y und das in die erste Gleichung eingesetzt ergibt x = y = 0 Der Ursprung 0, 0 U Die Determinante der Hesse-Matrix im Ursprung 8

15 ist deth f 0, 0 = 6 = 1 4 = 8 > 0 und mit f xx 0, 0 = 6 > 0 liegt im Ursprung ein lokales Minimum vor d f ist in U überall differenzierbar, deshalb sind keine weiteren Punkte zu betrachten Folglich gibt es in b und b ein globales Maximum mit f b = f b = + und im Ursprung ein globales Minimum mit f0, 0 = 0 Bemerkung 10: Wie man leicht sieht sind die Maxima/Minima für die Extremwertaufgabe fx, y = 3x xy + y Extr! NB : gx, y = x + y 1 = 0, gerade an den Stellen, wo gradf ein skalares Vielfaches von gradg ist 83