13 Rekonfigurierende binäre Suchbäume

Transkript

1 13 Rekonfigurierende inäre Suchäume U.-P. Schroeder, Uni Pderorn inäräume, die zufällig erzeugt wurden, weisen für die wesentlichen Opertionen Suchen, Einfügen und Löschen einen logrithmischen ufwnd uf. Dmit knn mn sich zufrieden geen. Muß mn jedoch mit der Möglichkeit rechnen, dß der um in nicht zufälliger, sondern z.. in sortierter Reihenfolge gefüllt wird, so droht eine Degenertion zur Liste und dmit zu linerer Komplexität für die Huptopertionen. Mn knn Degenertion vermeiden, wenn mn die Degenertion durch explizite Umordnungen im um verhindert, d.h. die Teiläume möglichst usgewogen hält (Lstusgleich) Diese Umordnungen sollen effizient sein, d.h. mn möchte mit sowenig Opertionen wie nötig soviel usgleich wie möglich erzielen. Für diese Rekonfigurtion von inäräumen sind die sogennnten Rottionen ls Elementropertionen vorgesehen 13-1

2 13.1 Rottionen U.-P. Schroeder, Uni Pderorn Rottionen können n elieigen Knoten eines inären Suchumes stttfinden, sofern die etroffenen Teiläume existieren Einfchrottion linksherum () und rechtsherum (): { { { Eine Linksrottion m Knoten (ezugsknoten) erfordert die Existenz eines rechten Nchfolgers () Eine Rechtsrottion m Knoten (ezugsknoten) erfordert die Existenz eines linken Nchfolgers () 13-2

3 U.-P. Schroeder, Uni Pderorn Relisierung einer einfchen Linksrottion durch Änderung der Verzeigerung void s_rotte_left(element* &) { // performs single left rottion with regrd to node element * = ->right; ->right = ->left; ->left = ; = ; void s_rotte_right(element* &) { // performs single right rottion with regrd to node element * = ->left; ->left = ->right; ->right = ; = ; 13-3

4 Doppelrottion U.-P. Schroeder, Uni Pderorn Die Doppelrottion esteht us zwei Einfchrottionen: eispiel: Doppelrottion links (im Gegenuhrzeigersinn) ezugsknoten ezugsknoten c c D c D D 1. Schritt 2. Schritt Einfchrottion rechts m rechten Nchfolger Einfchrottion links m ezugsknoten 13-4

5 U.-P. Schroeder, Uni Pderorn Doppelrottion linksherum: { { { c {D ezugsknoten c c D D In ++: void d_rotte_left(element* &) { // performs doule rottion nticlockwise s_rotte_right(->right); s_rotte_left(); 13-5

6 U.-P. Schroeder, Uni Pderorn Doppelrottion rechtsherum { { { c {D c ezugsknoten D c D In ++: void d_rotte_right(element* &) { //performs doule rottion clockwise s_rotte_left(->left); s_rotte_right(); 13-6

7 U.-P. Schroeder, Uni Pderorn Mit diesen vier Spielrten der Rottion lssen sich Unsymmetrien der Lst us der Sicht des ezugsknotens usgleichen. J nch Lge des üerlsteten Teilums knn eine der vier Vrinten eingesetzt werden. ezugsknoten Üerlsteter Teilum Einfche Doppelte Doppelte Einfche Rechtsrottion Linksrottion 13-7

8 U.-P. Schroeder, Uni Pderorn Linksrottion nwendungsfll: Der rechte Teilum ist zu groß. Einfchrottion: Innerhl des rechten Teilums ist der rechte (äußere) Teilum zu groß 13-8

9 U.-P. Schroeder, Uni Pderorn Linksrottion Doppelrottion: Innerhl des rechten Teilums ist der linke (innere) Teilum zu groß ezugsknoten c c D D 13-9

10 U.-P. Schroeder, Uni Pderorn Rechtsrottion nwendungsfll: Der linke Teilum ist zu groß. Einfchrottion: Innerhl des linken Teilums ist der linke (äußere) Teilum zu groß 13-10

11 U.-P. Schroeder, Uni Pderorn Rechtsrottion Doppelrottion: Innerhl des linken Teilums ist der rechte (innere) Teilum zu groß c ezugsknoten D c D 13-11

12 U.-P. Schroeder, Uni Pderorn 13.2 VL-äume Um die logrithmische Komplexität der Opertionen zu erhlten, müssen Gleichgewichtsedingungen nicht nur für den Wurzelknoten, sondern für lle Knoten gelten. Gleichgewicht nur ezüglich der Wurzel: VL-äume sind inäre Suchäume, die eine gewisse Gleichgewichtsedingung zwischen Teiläumen einhlten. Sie sind ennnt nch ihren eiden Erfindern delson-velskii und Lndis (1962) Definition Ein VL-um ist ein inärer Suchum, in dem für jeden Knoten gilt: Die Höhen h des linken und des rechten Teilums unterscheiden sich um höchstens 1. Forml: h 1 mit h:= h L h R 13-12

13 U.-P. Schroeder, Uni Pderorn Minimler VL-um der Höhe

14 U.-P. Schroeder, Uni Pderorn Prinzip des VL-ums Um die Gleichgewichtsedingung einzuhlten und leicht üerprüfen zu können, ist es sinnvoll, in den Knoten zusätzlich die Höhe des jeweiligen Teilums speichern struct element { int height; vlue dt; element *left; element *right; ; //definition of VL node element //height of sutree defined y node //dt vlue //left successor (or child) //right successor (or child) Nch dem Einfügen oder Löschen von Elementen werden die Höhen ktulisiert und lle etroffenen Knoten entlng des Pfdes von der Wurzel is zur Einfüge- oder Löschstelle ezüglich der Gleichgewichtsedingung üerprüft. ei Verletzung der edingung wird durch Rottion ds Gleichgewicht wiederhergestellt

15 U.-P. Schroeder, Uni Pderorn Hilfsfunktionen für VL-um-Implementierung int Mx(int x, int y) { // returns mx of x nd y if (x<y) return y; else return x; int node_ht(element *node) { // returns height of node even if node is NULL if (node == NULL) return -1; else return node->height; void clc_height(element *node) {//updtes height of node ssuming correct height of successors node->height=1+mx(node_ht(node->left),node_ht(node->right)); element* get_min(element * node) { // returns pointer to minimum of sutree while (node->left!= NULL) node=node->left; return node; 13-15

16 U.-P. Schroeder, Uni Pderorn Rottionsfunktionen void s_rotte_right(element* &) { // performs single right rottion nd updtes heights element * = ->left; ->left = ->right; ->right = ; = ; clc_height(->right); clc_height(); void s_rotte_left(element* &) { // performs single left rottion nd updtes heights element * = ->right; ->right = ->left; ->left = ; = ; clc_height(->left); clc_height(); void d_rotte_left(element* &) { s_rotte_right(->right); s_rotte_left(); void d_rotte_right(element* &) { s_rotte_left(->left); s_rotte_right(); 13-16

17 U.-P. Schroeder, Uni Pderorn Einfügen Wir nehmen n, die Gleichgewichtsedingung sei vor dem Einfügen n llen Knoten erfüllt. Ds Einfügen eines Knotens in einem Teilum läßt seine Höhe unverändert oder erhöht sie um +1. h= h=2 h=0 30 h= h=3 h= h=1 h=0 90 h=0 10 h=2 20 h=1 40 h= h=3 h=0 h= h=1 h=2 80 h=0 90 Höhe ändert sich nicht Höhe ändert sich 13-17

18 U.-P. Schroeder, Uni Pderorn Höhenänderung eim Einfügen: Fllunterscheidung Flls eine Höhenänderung eintritt, können entlng des Einfügepfdes m jeweils etrchteten Knoten folgende Fälle unterschieden werden: ) Die Teiläume des Knotens wren gleich hoch Der neue Knoten ändert die Höhe eines der eiden Teiläume um +1. Die Gleichgewichtsedingung wird eingehlten ) Die Teiläume des Knotens wren ungleich hoch Der neue Knoten wird im kleineren Teilum eingefügt und ändert dessen Höhe um +1. Die eiden Teiläume hen jetzt gleiche Höhe. Die Gleichgewichtsedingung wird eingehlten c) Die Teiläume des Knotens wren ungleich hoch Der neue Knoten wird im größeren Teilum eingefügt und ändert dessen Höhe um +1. Die Höhen der eiden Teiläume unterscheiden sich jetzt um 2. Die Gleichgewichtsedingung ist verletzt und muß durch Rottion wiederhergestellt werden 13-18

19 Nur im Fll c) git es lso etws zu tun. etrchten wir lso wieder die möglichen Fälle. (Ds Gnze gilt nlog für die spiegelildliche Sitution) Gegeene Sitution (Gleichgewichtsverletzung in, rechter Teilum zu hoch: h = h + 2): U.-P. Schroeder, Uni Pderorn? Fll I: Sitution: ist schuld : h = h +1 Lösung: Linksrottion einfch 13-19

20 U.-P. Schroeder, Uni Pderorn Fll II: Sitution: ist schuld : h = h +1 Lösung: Linksrottion doppelt L R L R 13-20

21 U.-P. Schroeder, Uni Pderorn Wirkung der Einfchrottion uf die Höhen Nch Einfügen: h=x+3 Nch Rottion: h=x+2 h=x+2 x x+1 x+1 x+1 x x x Stelle der Lsterhöhung Wirkung der Doppelrottion uf die Höhe Nch Einfügen: h=x+3 Nch Rottion: h=x+2 h=x+2 D x c x+1 x+1 x c x+1 x x x-1 x-1 x D x x x-1 lterntiv mögliche Lsterhöhung x-1 x 13-21

22 Einfügen U.-P. Schroeder, Uni Pderorn void check_rot_left(element* &node) { if (node==null) return; // empty sutree else if (node->right!=null) // left rottion possile if (node_ht(node->right)-node_ht(node->left)==2) //rotte if (node_ht(node->right->left)>node_ht(node->right->right)) d_rotte_left(node); // doule rottion else s_rotte_left(node); // single rottion else clc_height(node); // updte node height else clc_height(node); // updte node height void check_rot_right(element* &node) { if (node==null) return; // empty sutree else if (node->left!=null) // right rottion possile if (node_ht(node->left) - node_ht(node->right)==2) if (node_ht(node->left->right)>node_ht(node->left->left)) d_rotte_right(node); // doule rottion else s_rotte_right(node); // single rottion else clc_height(node); // updte node height else clc_height(node); // updte node height 13-22

23 U.-P. Schroeder, Uni Pderorn void ins(element* &p, vlue v) { if (p == NULL) // insert position found: crete new node { p = new element; p ->height = 0; p ->left = NULL; p ->dt = v; p ->right = NULL; return; if (v < p->dt) // rnch to left sutree { ins(p->left, v); check_rot_right(p); if (v > p->dt) // rnch to right sutree { ins(p->right, v); check_rot_left(p); // else element is lredy in the tree: nothing is eing done 13-23

24 U.-P. Schroeder, Uni Pderorn eispiel Die Eigenschft des VL-ums läßt sich gut n Hnd eines sortierten Einfügens erkennen, ds ei einem normlen (freien) inärum eine Degenertion zur Folge hätte. eispiel: Einfügen der Werte 10, 20,..., 70 in einen m nfng leeren VL-um

25 Entfernen U.-P. Schroeder, Uni Pderorn Ds Entfernen verläuft ähnlich wie eim freien inärum (Kp. 12). Wir verwenden jedoch eine rekursive Formulierung. Nchdem der zu entfernende Knoten gefunden wurde, werden je nch Existenz von Nchfolgern vier Fälle unterschieden: Ht der Knoten keinen Nchfolger, knn er direkt gelöscht werden. Ht er nur einen linken Nchfolger, so wird sein linker Nchfolger n seinen Vorgänger gehängt (Üerrückung). Dnn knn er gelöscht werden. Ht er nur einen rechten Nchfolger, so wird sein rechter Nchfolger n seinen Vorgänger gehängt (Üerrückung). Dnn knn er gelöscht werden. Ht er zwei Nchfolger, so wird er durch den linkesten Knoten in seinem rechten Teilum (sein Nchfolger in In-Ordnung) ersetzt (Werttrnsfer). Dieser Knoten wird dnn durch einen weiteren (rekursiven) ufruf von remove gelöscht. ei jeder (rekursiven) Rückkehr us remove muß eine Rottionsprüfung durchgeführt werden, d eine Höhenänderung stttgefunden hen knn. Fllunterscheidung wie eim Einfügen

26 U.-P. Schroeder, Uni Pderorn void rem(element* &node, vlue v) { element *p; if (node == NULL) return; // (su)tree empty: not found else if (v < node->dt) rem(node->left, v); // go to left sutree else if (v > node->dt) rem(node->right, v); // go to right sutree else // element found { if (node->left!= NULL && node->right!= NULL) { // two children p=get_min(node->right); // min of right sutree node->dt = p->dt; // vlue trnsfer rem(node->right,node->dt);//remove min of right sutree check_rot_right(node); else { p=node; if (node->left==null && node->right==null) { delete p; node = NULL; else { if (node->left==null) // only right child { node=node->right; check_rot_right(node); else // only left child if (node->right==null) { node=node->left; check_rot_left(node); delete p; clc_height(node); 13-26

27 eispiel: U.-P. Schroeder, Uni Pderorn us dem folgenden VL-um () werden die Elemente 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 sukzessive entfernt () () (c) 55 (d)

28 U.-P. Schroeder, Uni Pderorn (e) (f) (g) 55 (h) (i) 55 (j) 13-28

29 U.-P. Schroeder, Uni Pderorn Komplexität der Opertionen im VL-um Von den Rottionen gesehen, verlufen die Opertionen Suchen Einfügen Entfernen wie ei den freien inäräumen, d.h. es muß ein Pfd von der Wurzel is mximl zu einem ltt gelufen werden. D der ufwnd für eine Rottion oder Doppelrottion konstnt ist (O(1)), d.h. nicht von der Größe des umes hängt, gilt - wie sonst uch in äumen - dß der ufwnd der drei Opertionen liner mit der Höhe des umes wächst. Es leit lso die Frge, wie die Höhe eines VL-umes mit seiner Knotenzhl zusmmenhängt

30 Höhe von VL-äumen U.-P. Schroeder, Uni Pderorn Um eine schätzung zu erhlten, etrchten wir den ungünstigsten Fll, d.h. VL-äume mit einer für die gegeene Knotenzhl mximlen Höhe, zw. VL-äume mit einer für eine gegeene Höhe minimlen Knotenzhl: Diese äume genügen offensichtlich einem gewissen ildungsgesetz 13-30

31 Höhe von VL-äumen U.-P. Schroeder, Uni Pderorn F 0 F 1... F h F h-2 F h-1 Der um F h der Höhe h setzt sich lso zusmmen us einem um der Höhe h-1 und einem um der Höhe h-2. Für die Entwicklung der Knotenzhlen n h = nf ( h ) gilt lso: n h = 1+ n h 1 + n h 2 mit n 0 = 1 und n 1 = 2 d.h. die Knotenzhlen der mximl symmetrischen VL-äume entsprechen (fst) den Fioncci- Zhlen. Die äume heißen dher uch Fioncci-äume. Ein VL-um der Höhe h ht dher mindestens f h+2-1 Knoten, woei f k die k-te Fioncci-Zhl meint

32 Höhe von VL-äumen U.-P. Schroeder, Uni Pderorn Für einen llgemeinen VL-um der Höhe h gilt demnch: n h f h+2 1 Für Fioncci-Zhlen gilt die schätzung des Goldenen Schnitts: f k > k 1 und dher n h f h+2 1 > h+2 2 zw. h < log 2 2 log 2 [ 5( n h + 2) ] 2 Im O-Klkül lso: h = O(log n) Die Grundopertionen in VL-äumen esitzen lso höchstens logrithmischen ufwnd