Grundlagen Digitaler Systeme (GDS)

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1 Grundlagen Digitaler Systeme (GDS) Prof. Dr. Sven-Hendrik Voß Sommersemester 2015 Technische Informatik (Bachelor), Semester 1 Termin 10, Donnerstag,

2 Seite 2 Binär-Codes Grundlagen digitaler Systeme Sommersemester 2015 Inhaltsverzeichnis Themen und Termine Lernziele Codes Hamming-Code Codesicherung mit unterschiedlichen Hamming-Distanzen Paritätsprüfung Zusammenfassung

3 Seite 3 Binär-Codes Grundlagen digitaler Systeme Sommersemester 2015 Themen und Termine - Seminaristischer Unterricht Seminaristischer Unterricht (SU) im Raum B323, donnerstags 10:00-11:30 Uhr Nr. Datum Themen Kurztest Einführung; Boolesche Algebra (1) Boolesche Algebra (2) Vereinfachung logischer Funktionen (1) Vereinfachung logischer Funktionen (2) Zahlensysteme (1) Christi Himmelfahrt Zahlensysteme (2) Logische Grundschaltungen (1) Logische Grundschaltungen (2) Binär-Codes (1) Binär-Codes (2) Sequentielle Logik (1) Sequentielle Logik (2) Sequentielle Logik (3) Busse, Entwicklung Addierwerk Klausur Klausurrückgabe und -besprechung

4 Seite 4 Binär-Codes Grundlagen digitaler Systeme Sommersemester 2015 Lernziele Nach diesem Termin sollten Sie... die gängigsten Codes für Fehlererkennung und -korrektur kennen die Bedeutung der Hamming-Distanz verstanden haben Verfahren der Codesicherung praktisch anwenden können

5 Seite 5 Binär-Codes Grundlagen digitaler Systeme Sommersemester 2015 Unterteilung der Codes Codes nicht redundante Codes redundante Codes Zeichencodes Zahlencodes fehlererkennende Codes fehlerkorrigierende Codes ASCII-Code Gray-Code 2-aus-5-Code Hamming- Code Fernschreibe- Code Aiken-Code Parity-Code Gruppen-Code Morse-Code BCD-Code

6 Seite 6 Binär-Codes Grundlagen digitaler Systeme Sommersemester 2015 Hamming-Code Hamming-Distanz Anzahl der Binärstellen, um die sich benachbarte Codewörter unterscheiden Hamming-Distanz eines Codes ist die minimale Hamming-Distanz aller Codewörter Maß für die Erkennbarkeit und Korrigierbarkeit von Bitfehlern in Binärcodes Redundanz Anzahl der redundanten Bits eines Codes für R > 0: Code besitzt mehr Kombinationsmöglichkeiten als erforderlich Anwendung bspw. zur Erkennung und Korrektur von Übertragungsfehlern R = log 2 (N max) log 2 (N) = log 2 (N max/n) R : Anzahl der redundanten Bits N max : Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten des Codes N : Anzahl der benutzten Kombinationen

7 Seite 7 Binär-Codes Grundlagen digitaler Systeme Sommersemester 2015 Hamming-Code Bitfehler Bits ändern ihre Werte durch Störungen während der Übertragung 1-Bit-Fehler: genau 1 Bit ist falsch Anzahl erkennbarer Bitfehler: f = d 1 Hamming-Distanz muss dann also sein: d f + 1 Anzahl korrigierbarer Bitfehler: f = d 1 2 Hamming-Distanz muss dann also sein: d 2 f + 1 Beispiel: Die Hamming-Distanz eines Codes ist d = 3 damit lassen sich bis zu 2 Bitfehler erkennen oder 1 Bitfehler korrigieren

8 Seite 8 Binär-Codes Grundlagen digitaler Systeme Sommersemester 2015 Hamming-Code Korrigierbarkeit von Codes: Hamming-Distanz ungerade (z.b. d = 3) Korrigierkugeln Codewort gültige Codewörter benachbarte Codewörter

9 Seite 9 Binär-Codes Grundlagen digitaler Systeme Sommersemester 2015 Hamming-Code Korrigierbarkeit von Codes: Hamming-Distanz gerade (z.b. d = 4) Korrigierkugeln Codewort gültige Codewörter benachbarte Codewörter

10 Seite 10 Binär-Codes Grundlagen digitaler Systeme Sommersemester 2015 Codesicherung mit unterschiedlichen Hamming-Distanzen Beispiel: Dreistelliger Dualcode mit der Hamming-Distanz d = 1 jeder Bitfehler führt zu einem gültigen Codewort deshalb kann kein Fehler erkannt oder korrigiert werden : (gültige Codewörter) Mögliche Genutzte Codewörter Codewörter

11 Seite 11 Binär-Codes Grundlagen digitaler Systeme Sommersemester 2015 Codesicherung mit unterschiedlichen Hamming-Distanzen Beispiel: Dreistelliger Dualcode mit der Hamming-Distanz d = 2 ein Ein-Bitfehler führt zu einem ungültigen Codewort deshalb kann ein Ein-Bitfehler erkannt werden nicht erkennbar: Zwei-Bitfehler (führt wieder zu gültigem Codewort) keine Korrektur eines fehlerhaft übertragenen Codewortes möglich Mögliche Genutzte Codewörter Codewörter : (gültige Codewörter)

12 Seite 12 Binär-Codes Grundlagen digitaler Systeme Sommersemester 2015 Codesicherung mit unterschiedlichen Hamming-Distanzen Beispiel: Dreistelliger Dualcode mit der Hamming-Distanz d = 3 Ein- und Zwei-Bitfehler können erkannt werden nur Ein-Bitfehler können korrigiert werden Annahme: Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Ein-Bitfehlern wesentlich größer ist als die von Zwei-Bitfehlern Mögliche Genutzte Codewörter Codewörter : (gültige Codewörter)

13 Seite 13 Binär-Codes Grundlagen digitaler Systeme Sommersemester 2015 Paritätsprüfung Quersummenprüfung einfachste Art der Codesicherung Bildungsvorschrift: füge zusätzliches Bit (Paritätsbit), so zu jedem Codewort hinzu, dass die Quersumme eine vorgegebene Quersumme erfüllt Zwei Möglichkeiten: gerade Parität (even parity) ungerade Parität (odd parity) Das Paritätsbit für gerade/ungerade Parität wird so gebildet, dass einschließlich dem Paritätsbit die Quersumme gerade/ungerade ist.

14 Seite 14 Binär-Codes Grundlagen digitaler Systeme Sommersemester 2015 Paritätsprüfung Beispiel: Paritätsbit zum Code Dezimal Wertigkeit ungerade gerade Parität Parität Ein Paritätsbit ermöglicht die Erkennung von 1 Bitfehlern und erhöht somit die Hamming-Distanz auf Werte größer gleich zwei.

15 Seite 15 Binär-Codes Grundlagen digitaler Systeme Sommersemester 2015 Zusammenfassung Heute haben Sie gelernt... welche Voraussetzungen ein Code erfüllen muss, damit bei der Übertragung von Daten Übertragungsfehler erkannt bzw. korrigiert werden können wie Sie Daten praktisch gegen Übertragungsfehler absichern können

16 Seite 16 Binär-Codes Grundlagen digitaler Systeme Sommersemester 2015 Ausblick auf nächste Stunde In der nächsten Stunde widmen wir uns... Flipflops als Grundelement sequentieller Logik Vor- und Nachteilen einzelner Flipflop-Typen deren Ansteuerverhalten

17 Seite 17 Binär-Codes Grundlagen digitaler Systeme Sommersemester 2015 Hinweise zum Selbststudium Zur Vertiefung wird empfohlen... GDS-Skript Manfred Seifart, Helmut Beikirch: Digitale Schaltungen, ISBN

18 Seite 18 Binär-Codes Grundlagen digitaler Systeme Sommersemester 2015 Kritik Nun sind Sie dran: Kritik: Was funktioniert gut / was schlecht? Anregungen Wünsche Verbesserungsvorschläge in Bezug auf Inhalt und Organisation der Vorlesung