Realschule. 1. Schulaufgabe aus der Mathematik. Klasse 8 / I ; B( 1 1,5)

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1 1. Schulaufgabe aus der Mathematik 1. Gegeben sind die Punkte A( ) ; B( 0,5) und C( 0,5 ) 1.1 Konstruiere den Umkreis k des Dreiecks mit Mittelpunkt M. 1. Kennzeichne die Lösungsmenge mit grüner Farbe: { P P k MP PB PB,5}.. Gegeben sind die Punkte A( 41) ; B( 1 1,5) und C( ) 5. Konstruiere die Menge aller Punkte, die von AB und AC gleichen Abstand haben und von denen aus die Strecke [BC] oder die Strecke [AC] unter einem rechten Winkel erscheinen.. Gib in Mengenschreibweise an:.1 Zur Menge M 1 gehören alle Punkte, deren Abstand von parallelen Geraden g und h gleich ist, und die von einem Punkt B mehr als cm entfernt sind.. Die schraffiert gekennzeichnete Menge M einschließlich der Randlinien (siehe Skizze). 4. Untersuche mit Hilfe von Wertetabellen, ob folgende Terme über der Grundmenge G äquivalent sind: 4.1 T ( x )( x 6 ) 1 (x) = + T x 4x 1 (x) 4. T (x) = x + 1 T 4 (x) x 1 = + G = { ; 1,5; 0,5; 9 } = + G = { ; ; ; } 5. Welche Terme sind über der Grundmenge äquivalent? T1 = 6x y T4 = y 9x T T5 = 18xy ( ) = = 18x x y T 6xy y RM_A0108 **** Lösungen Seiten

2 1.1 Gib die Eigenschaft der Punkte P im schraffierten Bereich in Symbolschreibweise an. Der Rand gehört dazu. 1. Zeichne farbig alle Punkte P im schraffierten Bereich ein, für die d(p; AB) = 1,0 cm gilt..1 Kennzeichne mit Farbstift die Punktmenge { P PA cm d( P;g) 1cm}.. Kennzeiche in einer neuen Zeichnung farbig { Q QA cm d Q;g 1cm} die Punktmenge ( ). 1. Gegeben sind die Punkte Q x x mit x Gesucht ist der Punkt P, für den QP = gilt, B80gleichweit entfernt ist. und der von O00und ( ) ( ).1 Zeichne die Punkte Q n und P n für x {1; ; 4; 5}.. Ermittle die Punkte P und Q zeichnerisch.. Gib für den Pfeil OP eine Pfeilkette an, und berechne die Koordinaten des Punktes P. 4. Gib die Maße der folgenden Winkel an, und begründe deine Antwort. ACB = BAC = BDA = RM_A0109 **** Lösungen Seiten 1()

3 5. Im Inneren des Dreiecks ABC gibt es einen Punkt K, für den AKB = 90 und CKA = 10 gilt. Ermittle K durch Konstruktion. 6. Zeige, das die Terme T 1 (x) = (x - 1) und T (x) = 6(x + ) 15 äquivalent sind. 6.1 Weise die Äquivalenz bezüglich G = [ ; + ] mit Hilfe einer Wertetabelle nach. x (x - 1) 6(x + ) Weise die Äquivalenz bezüglich G = Q mit Hilfe von Termumformungen nach. (x - 1) = 6(x + ) - 15 = RM_A0109 **** Lösungen Seiten ()

4 1. Vereinfache die folgenden Terme. a 8b + 5ab a 6b a b a = x y + x 5 x x 1 x + 6 yx = Multipliziere aus und fasse soweit wie möglich zusammen: 4 ( 4s) ( 5s t 5t) ( 5) + = x ( x y) x ( xy x ) = x. Sind die Terme T1x ( ) = x und T( x) äquivalent? Berechne dazu die Termwerte und vergleiche! = über der Grundmenge G= { 0; ; 4} 4. Wende die binomischen Formeln an. ( 4x y) = ( 4a b ).( 4a + = 5. Berechne den Extremwert des folgenden Terms. T(x) = 0,75x 9x Ein Rechteck ABCD hat die Seitenlängen AB= 8cm und AD= 4cm. Verkürzt man [AB] von B her um x cm und verlängert gleichzeitig [AD] über D hinaus um x cm, so entstehen neue Rechtecke. 6.1 Zeichne das Rechteck ABCD und in diese Zeichnung hinein das Schar-Rechteck AB CD für x = Gib das zulässige Intervall für x an! 6. Berechne den Flächeninhalt der Rechtecke in Abhängigkeit von x! [Ergebnis: ( x) ( ) A = x + 4x + FE ] 6.4 Eines der Schar-Rechtecke hat einen extremen Flächeninhalt. Berechne diesen Extremwert und das dazu gehörige x! RM_A0 **** Lösungen Seiten (RM_L0)

5 1.0 Vereinfache folgende Terme möglichst weit x z Ø yz ( 19 xz 49yz) - -º øß = = Ł ł Ł ł x x ( x 8x ). Klammere alle gemeinsamen Faktoren aus a b + 8a b + 1a b c =.0 Vereinfache soweit wie möglich unter Anwendung von binomischen Formeln..1 ( 7a ( a = 5 5. ( x) ( 7x x y ) ( x y 7x) = 4.0 Ergänze die Lücken mithilfe der binomischen Formeln. 4.1 ( ) b 16a - = x 7y 7y = ( + ) ( - ) RM_A07 **** Lösungen Seiten (RM_L07) 1 ()

6 5.0 Gib jeweils einen quadratischen Term an, der die folgenden Eigenschaften hat. 5.1 Tmin =- 6 für x =-1 5. Tmax = 0 für x = 6.0 Bestimme den Extremwert und gib die zugehörige Belegung für x an. 6.1 T(x) = -,5-7,5 ( x + 5) 6. T(x) = x 6. T(x) = -x Ermittle den Extremwert folgender Terme durch quadratisches ergänzen und gib die zugehörige Belegung für x an. 7.1 T(x) = 1,x - 6x + 10,8 7. T( = - 0,5a + 4a RM_A07 **** Lösungen Seiten (RM_L07) ()

7 1.0 Fasse zusammen. + Ø º - + ø ß - Ø º + - ø ß = x x ( 4 x) 7x ( 5x 4) a - + = ,4a 1 ( a ).0 Vereinfache die folgenden Terme. 5.1 ( 61ab ) 4,5m 0 ( 4a ) =. Ø( ) x y- x 4xy- x 4y + x ø º ß =. 1 m - n = Ł ł Ł ł.4 4x y:5xy =.0 Verwandle folgende Terme in eine Summe und vereinfache dann die Terme so weit wie möglich..1 x( 6 4x) - - = 15 - = 4. x ( x x) 1 x y 0,5x 6y x - - = Ł ł. ( ) RM_A0407 **** Lösungen Seiten (RM_L0407) 1 ()

8 4.0 Ergänze die Lücken so, dass äquivalente Terme entstehen. 4.1 x ( x+ - ) = + x -xy 4. (-1) ( a- + 17) = + a 4. ( - 15)( 7 ) = 14x y 5.0 Wandle in Summen um. Wende dabei die binomischen Formeln an. a - 5b = 5.1 ( ) 5. ( 0,4x y) - - = 5. (- 5x + 7y)( 7y + 5x) = 6.0 Forme in ein Produkt um. Klammere aus und wende die binom. Formeln an ,04x + 1,x y + 9y = - 5x + 10x y - y = 0,81a - 0,04b = 7. Forme die Summe in ein Produkt aus zwei Binomen um. 4ax - 6ay + 4bx - by = 8. Klammere alle gemeinsamen Faktoren aus. 7xy z- 48x yz+ 66xyz = 9. Klammere die angegebenen Faktoren aus x + 9x + 0,5 = -0,5( 9. 6x 4-4x + 15x 1 = x ( 4 RM_A0407 **** Lösungen Seiten (RM_L0407) ()

9 1. Vereinfache und fasse soweit wie möglich zusammen. 4-4,x x + 6,8x - 1,x x = 5xy x - 4y 5x + y 8x - y 6x =. Löse die Klammern auf und fasse soweit wie möglich zusammen. 1,5y + (-,5x -8) -(- 4,6x + 7,5y -,5) = ( ) ( ) 1a 4a 16a 11a 8 1,5a =. Löse die Klammern durch Ausmultiplizieren auf. 4x ( x 0,5x 6x ) + - = 4 x 9 ( 9a 7b c d) = Klammere den größten gemeinsamen Faktor aus. 15x y - 10x y = 4 4-4abc + 16bc - 8bc = 5. Klammere den größten gemeinsamen Term aus. ( 5x- y) 4a+ b ( 5x-y) -( 5x- y) 8c = RM_A0410 **** Lösungen Seiten (RM_L0410) 1 ()

10 6. Gegeben sind die beiden Terme T(x) 1 = x+ 1 und T x x (x) = +, G = x Berechne jeweils die Termwerte für x { -; - 1; 0; 1; } und trage sie in die Wertetabelle unten ein. x T 1(x) T (x) Sind beide Terme äquivalent? 7. Jeder Quader ABCDEFGH hat insgesamt 1 Kanten. Davon sind jeweils vier Kanten gleich lang. Die Länge s ist die Summe aller 1 Kantenlängen. Es gilt: Länge [AB] = ( x+ )cm Breite [BC] = 0,5 (10 - x)cm Höhe [AE] = (4 x-)cm Welche Werte für x sind sinnvoll? (keine negativen Maßzahlen!) Stelle einen Term s(x) zur Berechnung der Gesamtlänge auf und vereinfache den Term soweit wie möglich. RM_A0410 **** Lösungen Seiten (RM_L0410) ()

11 c) Berechne für x =,5 die Gesamtlänge s aller 1 Kanten. d) Stelle einen Term zur Berechnung der Quaderoberfläche auf und vereinfache diesen so weit wie möglich. RM_A0410 **** Lösungen Seiten (RM_L0410) ()

12 1. Löse die Klammern auf und fasse soweit wie möglich zusammen. ( 1ab 17a b ) ( 8ab 5ba ) - Ø ø º ß = ( ) ( ) x + + 4x - - 8x + x =. Forme durch Ausklammern in ein Produkt um. 1,5xz -5yz - 7,5x z +,5xy z = abc - 4abc + 54ac =. Verwandle die Summe schrittweise in ein Produkt ( ) ( ) x 6x xy 6y x x 6 y x = = 4. Multipliziere aus. 5 6,5x ( a a x ) = y ( y 5 y ),5y - + = Löse die Klammern mithilfe der Binomischen Formeln auf. ( 1 4a ) 5 + = ( 9x 7) - = RM_A0411 **** Lösungen Seiten (RM_L0411) 1 ()

13 6. Berechne mithilfe der Binomischen Formeln. 10 = 79 = c) = 7. Liegt eine Binomische Formel vor? Wenn ja, dann forme den Term in die Grundform um. 16x - 56x + 49 o keine Binomische Formel o Binomische Formel, Grundform: 9x + 15xy + 5y o keine Binomische Formel o Binomische Formel, Grundform: c) x + 96x o keine Binomische Formel o Binomische Formel, Grundform: 8. Das Dreieck ABC ist gleichschenklig rechtwinklig mit der Basis AB = 18 cm. Es werden Rechtecke PQRS einbeschrieben mit PQ AB (siehe Abb.) Die Strecke AP ist x cm lang. Gib einen Term an, der die Fläche der Rechtecke in Abhängigkeit von x beschreibt. Ermittle für das größte Rechteck den Wert für x. RM_A0411 **** Lösungen Seiten (RM_L0411) ()

14 9. Gegeben ist die nebenstehend abgebildete Fläche. + Alle Werte in cm; x. Welche Werte für x sind sinnvoll; gib den Definitionsbereich für x an. Stelle den Inhalt der Fläche in Abhängigkeit von x dar. c) Berechne den Umfang der Fläche in Abhängigkeit von x. RM_A0411 **** Lösungen Seiten (RM_L0411) ()

15 1. Vereinfache folgende Terme und fasse soweit wie möglich zusammen. ( x x 6x ) x ( 4x 1 ) = ( ) 7bx -x غ 6a - 17b + 1a : 5øß =. Fasse soweit wie möglich zusammen: (x + 5y) x + x (6x - 5y) = (x + 4) + (x -4) -x - =. Klammere den größten gemeinsamen Faktor aus. 4 1a b - 9a b + 6ab c = a x z + 17ax z - 4a x z = 4. Forme um in ein Produkt durch Ausklammern und anwenden einer Binomischen Formel a - = 1 x x = 5. Multipliziere aus: 4 ( x) ( 8 5x a ) = RM_A041 **** Lösungen Seiten (RM_L041) 1 ()

16 6. Gegeben ist das Dreieck ABC mit A ( /0), B( 4 /5) und C(0/). Zeichne das Dreieck ABC in das gegebene Koordinatensystem ein. r - 4,5 Das Dreieck ABC wird mit dem Vektor v = auf das Bilddreieck A B C Ł 1 ł verschoben. Berechne die Koordinaten der Punkte A, B und C und zeichne dieses Dreieck in das Koordinatensystem zu ein. 7. Die abgebildete quaderförmige Kiste soll mit Würfeln der Kantenlänge a = x cm vollständig gefüllt werden (siehe Abb.). Gib einen Term V(x) an, der das Volumen (den Rauminhalt) der Kiste an Abhängigkeit von x beschreibt. RM_A041 **** Lösungen Seiten (RM_L041) ()

17 8. Mit einem kleinen Federkatapult wird eine Kugel abgeschossen. Der Graph stellt die Flugbahn der Kugel dar (siehe Abb.). Die jeweilige Kugelhöhe h in Abhängigkeit von x wird durch folgenden Term beschrieben: ( ) h(x) = - 0,1x + 1,6x cm Bestimme durch Rechnung die maximale Wurfhöhe h max und gib die zugehörige Wurfweite an. Welche Wurfhöhe hat die Kugel erreicht, wenn ihre Wurfweite 1 cm beträgt? RM_A041 **** Lösungen Seiten (RM_L041) ()