Basen von Schnitt und Summe berechnen

Transkript

1 Basen von Schnitt und Summe berechnen 1 / 8

2 Voraussetzung Es seien U 1, U 2 Untervektorräume von K n. Wir wollen Basen des Schnittes U 1 U 2 und der Summe bestimmen. U 1 + U 2 2 / 8

3 Bezeichnung Der Einfachheit wegen nehmen wir an, dass U 1 und U 2 jeweils von drei Vektoren erzeugt werden können. Wir bezeichnen die erzeugenden Vektoren von U 1 und U 2 wie folgt: U 1 = [a 1, a 2, a 3 ], U 2 = [b 1, b 2, b 3 ]. 3 / 8

4 Ansatz für U 1 U 2 Für jeden Vektor x U 1 U 2 gilt: x ist sowohl als Linearkombination der Vektoren a 1, a 2, a 3 als auch als Linearkombination der Vektoren b 1, b 2, b 3 darstellbar. Genauer: λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + λ 3 a 3 = x = µ 1 b 1 + µ 2 b 2 + µ 3 b 3 für gewisse λ 1, λ 2, λ 3, µ 1, µ 2, µ 3 K. Oder äquivalent: λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + λ 3 a 3 µ 1 b 1 µ 2 b 2 µ 3 b 3 = 0. Dies stellt ein homogenes LGS mit Unbekannten λ 1, λ 2, λ 3, µ 1, µ 2, µ 3 dar. Die Matrix des LGS ist (a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ). ( ) 4 / 8

5 Ansatz für U 1 U 2 Für jeden Vektor x U 1 U 2 gilt: x ist sowohl als Linearkombination der Vektoren a 1, a 2, a 3 als auch als Linearkombination der Vektoren b 1, b 2, b 3 darstellbar. Genauer: λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + λ 3 a 3 = x = µ 1 b 1 + µ 2 b 2 + µ 3 b 3 für gewisse λ 1, λ 2, λ 3, µ 1, µ 2, µ 3 K. Oder äquivalent: λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + λ 3 a 3 µ 1 b 1 µ 2 b 2 µ 3 b 3 = 0. Dies stellt ein homogenes LGS mit Unbekannten λ 1, λ 2, λ 3, µ 1, µ 2, µ 3 dar. Die Matrix des LGS ist (a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ). ( ) 4 / 8

6 Ansatz für U 1 U 2 Für jeden Vektor x U 1 U 2 gilt: x ist sowohl als Linearkombination der Vektoren a 1, a 2, a 3 als auch als Linearkombination der Vektoren b 1, b 2, b 3 darstellbar. Genauer: λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + λ 3 a 3 = x = µ 1 b 1 + µ 2 b 2 + µ 3 b 3 für gewisse λ 1, λ 2, λ 3, µ 1, µ 2, µ 3 K. Oder äquivalent: λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + λ 3 a 3 µ 1 b 1 µ 2 b 2 µ 3 b 3 = 0. Dies stellt ein homogenes LGS mit Unbekannten λ 1, λ 2, λ 3, µ 1, µ 2, µ 3 dar. Die Matrix des LGS ist (a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ). ( ) 4 / 8

7 Ansatz für U 1 U 2 Für jeden Vektor x U 1 U 2 gilt: x ist sowohl als Linearkombination der Vektoren a 1, a 2, a 3 als auch als Linearkombination der Vektoren b 1, b 2, b 3 darstellbar. Genauer: λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + λ 3 a 3 = x = µ 1 b 1 + µ 2 b 2 + µ 3 b 3 für gewisse λ 1, λ 2, λ 3, µ 1, µ 2, µ 3 K. Oder äquivalent: λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + λ 3 a 3 µ 1 b 1 µ 2 b 2 µ 3 b 3 = 0. Dies stellt ein homogenes LGS mit Unbekannten λ 1, λ 2, λ 3, µ 1, µ 2, µ 3 dar. Die Matrix des LGS ist (a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ). ( ) 4 / 8

8 Ansatz für U 1 U 2 Für jeden Vektor x U 1 U 2 gilt: x ist sowohl als Linearkombination der Vektoren a 1, a 2, a 3 als auch als Linearkombination der Vektoren b 1, b 2, b 3 darstellbar. Genauer: λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + λ 3 a 3 = x = µ 1 b 1 + µ 2 b 2 + µ 3 b 3 für gewisse λ 1, λ 2, λ 3, µ 1, µ 2, µ 3 K. Oder äquivalent: λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + λ 3 a 3 µ 1 b 1 µ 2 b 2 µ 3 b 3 = 0. Dies stellt ein homogenes LGS mit Unbekannten λ 1, λ 2, λ 3, µ 1, µ 2, µ 3 dar. Die Matrix des LGS ist (a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ). ( ) 4 / 8

9 Ansatz für U 1 U 2 Als Lösung des LGS ( ) erhalten wir die Koeffizienten von Linearkombinationen, λ 1 λ 2 λ 3 µ 1 µ 2 µ 3, die Elemente des Schnitts U 1 U 2 parametrisieren. Eine Erzeugermenge für U 1 U 2 erhält man, indem man für jeden Lösungsvektor der Form ( ) auswählt. λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + λ 3 a 3 oder µ 1 b 1 + µ 2 b 2 + µ 3 b 3 Aus der Erzeugermenge kann man eine Basis bestimmen. ( ) 5 / 8

10 Ansatz für U 1 U 2 Als Lösung des LGS ( ) erhalten wir die Koeffizienten von Linearkombinationen, λ 1 λ 2 λ 3 µ 1 µ 2 µ 3, die Elemente des Schnitts U 1 U 2 parametrisieren. Eine Erzeugermenge für U 1 U 2 erhält man, indem man für jeden Lösungsvektor der Form ( ) auswählt. λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + λ 3 a 3 oder µ 1 b 1 + µ 2 b 2 + µ 3 b 3 Aus der Erzeugermenge kann man eine Basis bestimmen. ( ) 5 / 8

11 Ansatz für U 1 U 2 Als Lösung des LGS ( ) erhalten wir die Koeffizienten von Linearkombinationen, λ 1 λ 2 λ 3 µ 1 µ 2 µ 3, die Elemente des Schnitts U 1 U 2 parametrisieren. Eine Erzeugermenge für U 1 U 2 erhält man, indem man für jeden Lösungsvektor der Form ( ) auswählt. λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + λ 3 a 3 oder µ 1 b 1 + µ 2 b 2 + µ 3 b 3 Aus der Erzeugermenge kann man eine Basis bestimmen. ( ) 5 / 8

12 Warnung Verwechseln Sie nicht den Lösungsraum des LGS ( ) mit dem Schnitt U 1 U 2 selbst! 6 / 8

13 Ansatz für U 1 + U 2 Für einen Vektor y U 1 + U 2 gilt: y ist Linearkombination von Vektoren aus U 1 U 2. Genauer: y ist Linearkombination von Vektoren aus der Vereinigung der beiden jeweiligen Erzeugermengen, {a 1, a 2, a 3 } {b 1, b 2, b 3 }. Also ist {a 1, a 2, a 3, b 1, b 2, b 3 } Erzeugermenge von U 1 + U 2. Um aus der Erzeugermenge eine Basis zu gewinnen, bestimmt man eine maximale linear unabhängige Teilmenge mit dem LGS (a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ). Basisvektoren sind diejenigen Spalten, deren Nummern nach Transformation auf Gauß-Normalform ein Stufenindex sind. Dieses LGS ist das selbe wie LGS ( ). 7 / 8

14 Ansatz für U 1 + U 2 Für einen Vektor y U 1 + U 2 gilt: y ist Linearkombination von Vektoren aus U 1 U 2. Genauer: y ist Linearkombination von Vektoren aus der Vereinigung der beiden jeweiligen Erzeugermengen, {a 1, a 2, a 3 } {b 1, b 2, b 3 }. Also ist {a 1, a 2, a 3, b 1, b 2, b 3 } Erzeugermenge von U 1 + U 2. Um aus der Erzeugermenge eine Basis zu gewinnen, bestimmt man eine maximale linear unabhängige Teilmenge mit dem LGS (a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ). Basisvektoren sind diejenigen Spalten, deren Nummern nach Transformation auf Gauß-Normalform ein Stufenindex sind. Dieses LGS ist das selbe wie LGS ( ). 7 / 8

15 Ansatz für U 1 + U 2 Für einen Vektor y U 1 + U 2 gilt: y ist Linearkombination von Vektoren aus U 1 U 2. Genauer: y ist Linearkombination von Vektoren aus der Vereinigung der beiden jeweiligen Erzeugermengen, {a 1, a 2, a 3 } {b 1, b 2, b 3 }. Also ist {a 1, a 2, a 3, b 1, b 2, b 3 } Erzeugermenge von U 1 + U 2. Um aus der Erzeugermenge eine Basis zu gewinnen, bestimmt man eine maximale linear unabhängige Teilmenge mit dem LGS (a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ). Basisvektoren sind diejenigen Spalten, deren Nummern nach Transformation auf Gauß-Normalform ein Stufenindex sind. Dieses LGS ist das selbe wie LGS ( ). 7 / 8

16 Ansatz für U 1 + U 2 Für einen Vektor y U 1 + U 2 gilt: y ist Linearkombination von Vektoren aus U 1 U 2. Genauer: y ist Linearkombination von Vektoren aus der Vereinigung der beiden jeweiligen Erzeugermengen, {a 1, a 2, a 3 } {b 1, b 2, b 3 }. Also ist {a 1, a 2, a 3, b 1, b 2, b 3 } Erzeugermenge von U 1 + U 2. Um aus der Erzeugermenge eine Basis zu gewinnen, bestimmt man eine maximale linear unabhängige Teilmenge mit dem LGS (a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ). Basisvektoren sind diejenigen Spalten, deren Nummern nach Transformation auf Gauß-Normalform ein Stufenindex sind. Dieses LGS ist das selbe wie LGS ( ). 7 / 8

17 Ansatz für U 1 + U 2 Für einen Vektor y U 1 + U 2 gilt: y ist Linearkombination von Vektoren aus U 1 U 2. Genauer: y ist Linearkombination von Vektoren aus der Vereinigung der beiden jeweiligen Erzeugermengen, {a 1, a 2, a 3 } {b 1, b 2, b 3 }. Also ist {a 1, a 2, a 3, b 1, b 2, b 3 } Erzeugermenge von U 1 + U 2. Um aus der Erzeugermenge eine Basis zu gewinnen, bestimmt man eine maximale linear unabhängige Teilmenge mit dem LGS (a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ). Basisvektoren sind diejenigen Spalten, deren Nummern nach Transformation auf Gauß-Normalform ein Stufenindex sind. Dieses LGS ist das selbe wie LGS ( ). 7 / 8

18 Ansatz für U 1 + U 2 Für einen Vektor y U 1 + U 2 gilt: y ist Linearkombination von Vektoren aus U 1 U 2. Genauer: y ist Linearkombination von Vektoren aus der Vereinigung der beiden jeweiligen Erzeugermengen, {a 1, a 2, a 3 } {b 1, b 2, b 3 }. Also ist {a 1, a 2, a 3, b 1, b 2, b 3 } Erzeugermenge von U 1 + U 2. Um aus der Erzeugermenge eine Basis zu gewinnen, bestimmt man eine maximale linear unabhängige Teilmenge mit dem LGS (a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ). Basisvektoren sind diejenigen Spalten, deren Nummern nach Transformation auf Gauß-Normalform ein Stufenindex sind. Dieses LGS ist das selbe wie LGS ( ). 7 / 8

19 Ansatz für U 1 U 2 und U 1 + U 2 Wir stellen also fest, dass wir mit dem LGS ( ) sowohl eine Erzeugermenge für U 1 U 2 als auch eine Basis für U 1 + U 2 bestimmen können. 8 / 8