Auswahl von Schätzfunktionen

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1 Auswahl von Schätzfunktionen Worum geht es in diesem Modul? Überblick zur Punktschätzung Vorüberlegung zur Effizienz Vergleich unserer Schätzer für My unter Normalverteilung Relative Effizienz Einführung der Laplace-Verteilung Effizienz von Mittelwert und Median unter Laplace-Verteilung Worum geht es in diesem Modul? Als Abschluss der Ausführungen zu Punktschätzern wird der Begriff der relativen Effizienz eingeführt. Die Bedeutung dieses Begriffs wird mithilfe einiger Simulationen veranschaulicht. Überblick zur Punktschätzung Im Rahmen der Punktschätzung haben wir verschiedene Schätzer kennengerlernt und deren Eigenschaften genauer untersucht. Die Tabellen geben einen Überblick und beziehen dabei auch einige Schätzer ein, die wir bisher nicht behandelt haben, deren Anwendung mit unserem bisherigen Wissen aber problemlos möglich ist. Schätzer für Parameter diskreter Verteilungen: Verteilung Parameter Schätzfunktion Erwartungs-treue Konsistenz Binomialverteilung Poissonverteilung Geometrische Verteilung Page 1

2 Diskrete Gleichverteilung auf Schätzer für Parameter stetiger Verteilungen: Verteilung Parameter Schätzfunktion Erwartungs-treue Konsistenz Normalverteilung Normalverteilung asympt. Exponentialverteilu ng asympt. stetige Gleichverteilung auf Page 2

3 Vorüberlegung zur Effizienz Wir haben uns intensiv mit der Beurteilung von Schätzern (vgl. ) beschäftigt und nach Eigenschaften gesucht, die eine Beurteilung der Schätzer ermöglichen. Sind wir in der Lage, Schätzer zu vergleichen? Dies ist nur begrenzt möglich. Bisher gilt die Konsistenz als "höchste" Eigenschaft. Es handelt sich aber um eine Eigenschaft, die entweder vorhanden ist oder nicht. Im Falle der Schätzer für den Parameter der Normalverteilung sind Mittelwert und Median (s. Tabelle ) konsistent - welcher Schätzer ist aber "besser"? Um diese Frage zu beantworten, wollen wir unsere Überlegungen in diesem Modul um einen (letzten) Schritt ergänzen. Vergleich unserer Schätzer für My unter Normalverteilung Für den Parameter der Normalverteilung kennen wir folgende Schätzer: Alle drei Schätzer sind erwartungstreu,, und für die Varianzen gilt bei Normalverteilung für :. Die Varianz des Medians ist also unter Normalverteilung größer als die des Mittelwertes. Um dies zu quantifizieren, können Page 3

4 wir einen Faktor einführen: mit für. Der Faktor, um den die Standardabweichung von größer ist als die Standardabweichung von (bei demselben Stichprobenumfang), steigt mit langsam an und erreicht schon für seinen asymptotischen Wert, d.h. die Standardabweichung des Medians ist um etwa 25% größer als die Standardabweichung des Mittelwertes. Entsprechend sollte die Varianz des Medians etwa (also 57%) größer sein als die des Mittelwertes (vgl. hatten wir in einer Simulation 54% ermittelt). In ähnlicher Weise könnten wir nun die Standardabweichungen bzw. die Varianzen anderer erwartungstreuer Schätzer miteinander vergleichen. Es sei noch einmal explizit darauf hingewiesen, dass ein solcher Vergleich nur aussagekräftig ist, wenn beide Schätzer erwartungstreu sind! Relative Effizienz Die Verallgemeinerung der Überlegung führt zu dem Begriff der "relativen Effizienz". Die relative Effizienz eines erwartungstreuen Schätzers im Vergleich zu einem anderen erwartungstreuen Schätzer für denselben Parameter definieren wir als den Quotienten der Varianz von und der Varianz von. Man gibt diesen Wert meist in Prozent an. Sind die Varianzen der beiden Schätzer gleich, dann ist ; hat der zu vergleichende Schätzer eine größere (kleinere) Varianz als der Vergleichsschätzer, dann ist die Effizienz kleiner (größer) als eins. In der Regel hängt von ab; allerdings gibt es viele Fälle, in denen sich mit wachsendem stabilisiert. Den Grenzwert Page 4

5 bezeichnet man als die asymptotische relative Effizienz von bezüglich. Beispiel: Relative asymptotische Effizienz von Mittelwert und Median Die relative Effizienz von in Bezug auf bei Normalverteilung ist, und die asymptotische relative Effizienz ist. In manchen Fällen sind die Statistiker in der Lage, die Varianz des asymptotisch erwartungstreuen Schätzers für einen Parameter anzugeben, der die kleinste Varianz unter allen erwartungstreuen Schätzern hat (und zwar auch dann, wenn man diesen Schätzer nicht kennt oder nicht weiß, das es ihn gibt). Im Falle der Schätzung von bei Normalverteilung ist das, d.h. ist der beste erwartungstreue Schätzer für, weil diese Varianzuntergrenze annimmt. Die relative Effizienz jedes anderen Schätzers in Bezug auf den besten erwartungstreuen Schätzer ist dann immer kleiner (oder gleich) 1. Die asymptotische relative Effizienz besagt, dass die Schätzung des Erwartungswertes bei Normalverteilung mit weniger wirksam ist als die mit. Um dieselbe Varianz des Schätzers, also dieselbe Präzision der Schätzung zu erreichen, könnte man den Stichprobenumfang von (bei Verwendung von ) auf (bei Verwendung von ) erhöhen. Aus der Forderung ergibt sich. D.h. um bei Normalverteilung mit mit derselben Präzision zu schätzen wie mit, ist der Stichprobenumfang um 57%, also etwa um die Hälfte, zu erhöhen. Ein Chiphersteller möchte einen neuen Hauptprozessor auf den Markt bringen. Erste Serien wurden bereits gefertigt. Der Produktionsprozess bei Computerprozessoren ist sehr anfällig, Ausschussquoten von 25% gelten als gut. Die funktionsfähigen Chips haben unterschiedliche Qualität und können stabil bei unterschiedlich hohen Taktfrequenzen betrieben werden. Aus den ersten Serien wurden einige funktionierende Chips getestet und jeweils gemessen, bis zu welcher maximalen Frequenz sie stabil laufen. Es wird davon ausgegangen, dass die maximale Taktfrequenz eine normalverteilte Zufallsvariable ist. Um abzuschätzen, für welche Taktfrequenzen wie viele Chips spezifiziert werden können und wie entsprechend die jeweiligen 1000er-Großhandels-Abnahmepreise Page 5

6 und anhand einer Stichprobe geschätzt werden. Verwenden Sie folgende Schätzer: Berechnen Sie im Statistiklabor die Effizienz und ; approximieren Sie dabei die theoretische Varianz durch die empirische. Interpretieren Sie die Ergebnisse. Labordatei öffnen ( cd2.zmpf ) Wir wollen mit Hilfe des Statistiklabors in einem Simulationsexperiment die empirische Varianz der drei Schätzer, und bestimmen und daraus wiederum die relative Effizienz schätzen. Dazu bilden wir analog zu den Quotienten aus den empirischen Varianzen. Labordatei öffnen ( ced.zmpf ) Einführung der Laplace-Verteilung Wir haben Mittelwert und Median als Schätzer für den Parameter der Normalverteilung verglichen. Beide Schätzer sind Schätzer für den Erwartungswert einer Verteilung allgemein - bei der Normalverteilung tritt der Spezialfall auf, dass der Erwartungswert auch einem Parameter der Verteilung, nämlich, entspricht. Wir setzen jetzt Mittelwert und Median als Schätzer für den Erwartungswert einer anderen Verteilung - der Laplace-Verteilung - ein. Auch hier ist der Erwartungswert ein Parameter der Verteilung und heißt ebenfalls. Die Laplace-Verteilung ist eine stetige Verteilung; sie hat die Wahrscheinlichkeitsdichte mit den Parametern und. Dichtefunktion der Laplace-Verteilung für verschiedene Werte von b ist der Erwartungswert und ein Skalenparameter, wobei gilt. In der folgenden Abbildung sind die Dichten der Normalverteilung und der Laplace-Verteilung nebeneinandergestellt. Die Verteilungen haben identische Erwartungswerte und wegen auch identische Varianzen. Vergleich der Dichten von Normalverteilung N(50, 10^2) und Laplace-Verteilung L(50, 7.07); die Parameter sind so gewählt, dass die Verteilungen identischen Erwartungswert und identische Varianz haben Zunächst erkennt man, dass die Laplace-Verteilung wie die Normalverteilung eine symmetrische Verteilung ist. Im Vergleich zur Normalverteilung ist die Page 6

7 Laplace-Verteilung in der Mitte spitzer und hat mehr Wahrscheinlichkeitsmasse in den Flanken (im Englischen nennt man sie daher "long tailed"). In der Abbildung ist das nur schwer erkennbar, aber die Dichten haben bei und einen weiteren Schnittpunkt - von diesem Punkt ab läuft die Dichte der Laplace-Verteilung in den Flanken oberhalb der Dichte der Normalverteilung. Effizienz von Mittelwert und Median unter Laplace-Verteilung Aus der Laplace-Verteilung ziehen wir jetzt Stichproben vom Umfang und berechnen die Schätzer, und. Vergleich versch. Schätzer für My unter Laplace-Verteilung Die Häufigkeitsverteilungen führen zu folgenden Vermutungen: Alle drei Schätzer sind erwartungstreu; hat eine kleinere Varianz als und die Varianz von ist noch größer als die von. Tatsächlich ergibt das auch die Theorie. ist bei Laplace-Verteilung effizienter als, während es bei der Normalverteilung umgekehrt war. Theoretisch kann man zeigen, dass bester erwartungstreuer Schätzer für ist (bei Normalverteilung ist das ). Wir fassen die Ergebnisse zur Effizienz zusammen: - nur bei erwartungstreuen Schätzern ist ein Effizienzvergleich über das Varianzverhältnis möglich, - ist immer ein erwartungstreuer Schätzer für, aber nur unter Normalverteilung bester erwartungstreuer Schätzer, - will man bei Normalverteilung mit dem Median mit etwa derselben Präzision schätzen wie mit dem arithmetischen Mittelwert, dann muss man den Stichprobenumfang um etwa 50% erhöhen. Laplace-Verteilung ErklärungRelative asymptotische Effizienz ErklärungRelative Effizienz Erklärung (c) Projekt Neue Statistik 2003, Freie Universität Berlin, Center für Digitale Systeme Kontakt: Page 7