Eingangsprüfung Stochastik,

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1 Eigagsprüfug Stochastik, 5.5. Wir gehe stets vo eiem Wahrscheilichkeitsraum (Ω, A, P aus. Die Borel σ-algebra auf wird mit B bezeichet, das Lebesgue Maß auf wird mit λ bezeichet. Aufgabe ( Pukte Sei x fest. Gegebe sei das Maß µ : B {,}, µ(a = A (x. Beweise Sie, dass für alle Borel-messbare Fuktioe f : fdµ = f(x gilt. Lösug Ist f eie Treppefuktio, d.h. es gibt α i, A i B, i =,..., mit f = α i Ai, da gilt f dµ = α i µ(a i = }{{} = Ai (x α i Ai (x = f(x. Ist u f, da sei (f N eie Folge vo Treppefuktioe mit f f, f, N. Mit dem Satz vo der Mootoe Kovergez folgt f dµ = lim f dµ = lim f (x = f(x. }{{} =f (x Im allgemeie Fall sei f ± := max(, ±f. f + ud f sid messbar, somit gilt f + dµ = f + (x ud f dµ = f (x. Daraus folgt wege f = f + + f, dass f itegrierbar ist ud aus f = f + f schließlich f dµ = f + dµ f dµ = f + (x f (x = f(x. Aufgabe (5 Pukte Sei X : Ω eie Zufallsvariable mit Dichte p falls x (,] f(x = q falls x (,]. sost Wir betrachte ferer Zufallsvariable X,...,X uabhägig ud idetisch wie X verteilt.

2 (a Welche Bedigug müsse p ud q erfülle, damit f eie Wahrscheilichkeitsdichte ist? (b Bestimme Sie die Verteilugsfuktio, de Erwartugswert ud die Variaz vo X i Abhägigkeit vo p. (c Sei ˆP = 3 X i. Beweise Sie, dass ˆP ei erwartugstreuer Schätzer vo p ist, ud bestimme Sie de quadratische Fehler mse ( ˆP vo ˆP, d.h. mse ( ˆP = E(( ˆP p = Var( ˆP + (E( ˆP p. (d Für i =,..., sei K i : Ω {,}, K i (ω = K := K i. { falls X i (ω sost ud (i Bestimme Sie die Verteilug vo K i ud vo K i Abhägigkeit vo p. K (ii Zeige Sie, dass ˆP := ei erwartugstreuer Schätzer vo p ist, ud bestimme Sie mse( ˆP. (e Vergleiche Sie ˆP ud ˆP. Lösug Zu (a Es muss gelte ud p,q. Zu (b E(X = E(X = = = 3 p pdx + px dx + px dx + q dx = p + q = q = p qx dx = p qx dx = p 3 = p 3 + ( p7 3 = 7 3 p + ( px + ( px3 3 = p + ( p3 Var(X = 7 ( 3 3 p p = 7 3 p 9 + 3p p 4 = + p p = + p( p.

3 Sei F die Verteilugsfuktio vo X. Es gilt F(x = für x, Zu (c x (,] = F(x = x (,] = F(x = x x [, = F(x =. E( ˆP Var( ˆP pdt = px pdt + x ( pdt = p + ( p(x = 3 E(X = 3 E(X = p ( ( 3 = Var X i = Var X i = Var (X i = Var (X = p( p +. Da ˆP erwartugstreu ist, gilt mse( ˆP = Var( ˆP. Zu (d (i P(K i = = P(X i = P(X = p für alle i =,...,. Damit ist K i Beroulli-verteilt mit Parameter p. Wege K i = (,] (X i ud der Uabhägigkeit der X i sid die Zufallsvariable K i ebefalls uabhägig. Damit gilt K B(,p. (ii Es folgt E( ˆP = E(K = p = p p( p Var( ˆP = Var(K = = Da ˆP erwartugtreu ist, gilt mse( ˆP = Var( ˆP. Zu (e Beide Schätzer sid erwartugstreu. Wege p( p mse( ˆP p( p p( p mse( ˆP = + = > ist der Schätzer ˆP vorzuziehe, da er de kleiere Stadardfehler aufweist. Aufgabe 3 (6 Pukte Wir setze als bekat voraus, dass für idetisch ( ud uabhägig verteilte Zufallsvariable X i, i =,...,, X i Exp X i χ 3

4 gilt. Gegebe seie X,...,X uabhägige Exp(λ-verteilte Zufallsvariable, mit ubekatem λ >. Für de Erwartugswert µ := E(X soll die Vermutug µ = utersucht werde. Es wird der Schätzer X := X i verwedet. (a Ageomme es gilt λ =. Bestimme Sie für α (, Zahle a,b mit der Eigeschaft (b Wie beurteile Sie für die Date P(X a = α, P(X b = α,3 6,,7 3,,7,5,4,4,4,6 die Hypothese H : µ = zum Niveau 5 %? Lösug Zu (a Für z > gilt P(X z = P ( ( X i z = P X i z = χ (z Somit sid a ud b so zu bestimme, dass a = χ ;α/ ud b = χ ; α/ gilt, also ergibt sich a = χ ;α/, b = χ ; α/. Zu (b H : µ = wird zum Niveau α abgeleht, we uter H der Mittelwert der Stichprobe zu klei bzw. zu groß ist, bzw. präziser, we X stark vo abweicht, d.h. we P ( X a + P(X b = α. Wählt ma a, b wie i (a ist diese Gleichug erfüllt. Somit ergibt sich für α =,5 a = χ ;,5 =,959, b = χ ;,975 = 3,47. Der Mittelwert der Stichprobe beträgt,8. Wege a <,8 < b wird H icht abgeleht. Aufgabe 4 ( Pukte Seie X,Y Zufallsvariable mit Verteilugsfuktioe F X, F Y ud I B(,p ud X,Y,I seie uabhägig. Sei Z := IX + ( IY. 4

5 (a Zeige Sie F Z = pf X + ( pf Y. (b Bestimme Sie E(Z I ud Var(Z I. (c Gebe Sie ei Beispiel für die Verteiluge vo X,Y a, so dass Z keie λ -Dichte besitzt. Lösug Zu (a P(Z z = P(Z z I = P(I = + P(Z z I = P(I = = P(X z I = p + P(Y z I = ( p = P(X zp + P(Y z( p = pf X (z + ( pf Y (z. Die dritte Zeile folgt aus der Uabhägigkeit vo I, X, Y. Zu (b E(Z I = E(IX I + E(( IY I = IE(X I + ( IE(Y I = IE(X + ( IE(Y. Die letzte Gleichug folgt aus der Uabhägigkeit vo I ud X bzw. Y. Var(Z I = E(Z I E(Z I = E(IX + ( IY I (IE(X + ( IE(Y = E(IX I + E(( IY I IE(X ( IE(Y = IE(X I + ( IE(Y I IE(X ( IE(Y = IE(X + ( IE(Y IE(X ( IE(Y = IVar(X + ( IVar(Y. Zu (c Für X,Y B(,p gilt Z B(,p wege (a. Aufgabe 5 (9 Pukte Sei (X, Y eie zweidimesioale auf [, ] [, ] gleichverteilte Zufallsvariable, also mit λ -Dichte f = [,] [,]. (a Beweise Sie [,] [,] (x,y = [,] (x [,] (y für alle x,y. (b Bestimme Sie die adverteiluge, also die Verteilug vo X ud Y. (c Sid X ud Y uabhägig? Lösug Zu (a [,] [,] (x,y = (x,y [,] [,] x [,],y [,] [,] (x = [,] (y = [,] (x [,] (y =. 5

6 Zu (b Die addichte f X ist gegebe durch f X (x = f(x,ydy = [,] (x [,] (ydy = [,] (x ud aalog f Y (y = [,] (y. Somit sid X,Y jeweils gleichverteilt auf [,]. Zu (c X ud Y sid uabhägig, da wege (a die gemeisame Dichte das Produkt der Dichte f X, f Y ist. Aufgabe 6 (6 Pukte Sei X die Bearbeitugszeit für eie Schade. Es wird ageomme, dass äherugsweise X N(µ, gilt. Es werde die Bearbeitugszeite x,...,x voeiader uabhägiger Schäde aufgezeichet. (a Bestimme Sie dafür eie Maximum Likelihood Schätzer für µ. (b Für = ergebe die Summe der Bearbeitugszeite 5. Gebe Sie ei Schätzitervall zum Sigifikaziveau vo 95% für µ a. (c Wie groß muss die Stichprobe sei, damit die Läge des Kofidezitervalls maximal beträgt? Lösug Zu (a Seie x,...,x die Date. Da ist eie Likelihood L bzw. eie Loglikelihood l = ll gegebe durch ( ( / L(µ = exp (x i µ π l(µ = l(π (x i µ l (µ = (x i µ l (µ = <. Daraus ergibt sich durch Nullsetze vo l der Maximum Likelihood Schätzer ˆµ = X i. Zu (b Es hadelt sich um de Fall eier Normalverteilug mit bekater Variaz. σ Somit ergibt sich mit u,975 =,96 = 6, das Schätzitervall Zu (c [43,8;56,] 6

7 Die Läge des Kofidezitervalls beträgt u,975 σ = 39,. Damit muss gelte 39, 384,6. Die Stichprobe muss midestes = 385 betrage. 7