4.1. Grundlegende Definitionen. Elemente der Analysis I Kapitel 4: Funktionen einer Variablen. 4.2 Graphen von Funktionen

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1 4.1. Grundlegende Definitionen Elemente der Analysis I Kapitel 4: Funktionen einer Variablen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 22./29. November schulz/elan-ws1011.html Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 4: Funktionen einer Variablen 22./29. November / 20 f : [ , ] [5250, 7000] x DAX(x) Definition 4.1 (Funktion,Definitionsbereich, Wertebereich) Seien D und R Teilmengen von R. Eine Funktion f : D R x f (x) ist eine Vorschrift, die jedem x D einen Wert f (x) R zuordnet. D nennt man den Definitionsbereich, R den Wertebereich (engl. range) der Funktion. Bemerkung: Verschiedenen x-werte dürfen den gleichen Funktionswert besitzen, aber ein bestimmtes x darf nur genau einen Funktionswert haben. Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 4: Funktionen einer Variablen 22./29. November / 20 Konvention über den Definitionsbereich D Wenn eine Funktion durch eine Formel definiert ist, so besteht der Definitionsbereich aus allen Werten der unabhängigen Variable (meist x), für die die Auswertung der Formel möglich ( wohldefiniert ) ist, sofern der Definitionsbereich nicht explizit auf eine kleinere Menge eingeschränkt ist. Beispiele: f 1 (x) = x 2 ; Definitionsbereich D 1 =R f 2 (x) = 1 x 5 ; Definitionsbereich D 2 =R \ {5} f 3 (x) = x 2 ; Definitionsbereich D 3 =[2, ) Definition 4.2 (Bild) Für eine Teilmenge A D definieren wir das Bild von A durch: f (A) := {f (x) : x A}. Wir nennen R f := f (D) auch Bild von f. Offenbar gilt f (A) R. In obigen Beispielen beobachten wir: f 1 (D 1 ) =[0, ), f 2 (D 2 ) =R \ {0}, f 3 (D 3 ) =[0, ). [Normalerweise ist es erhebliche schwieriger, das Bild einer Funktion zu bestimmen und erfordert meist eine Kurvendiskussion ( später).] Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 4: Funktionen einer Variablen 22./29. November / 20 Definition 4.3 (Monotonie für f : D R) Wenn für alle x 1, x 2 D gilt a) x 1 < x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) [f (x 1 ) < f (x 2 )], heißt f [streng] monoton wachsend b) x 1 < x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) [f (x 1 ) > f (x 2 )], heißt f [streng] monoton fallend 4.2 Graphen von Funktionen Definition 4.4 Die Menge {(x, y) R 2 : x D, y = f (x)} heißt Graph der Funktion. Plotten von Funktionen als Diagramm in OpenOffice Calc oder Microsoft Office Excel am schnellsten mit gnuplot Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 4: Funktionen einer Variablen 22./29. November / 20

2 Einige wichtige Graphen Eine genaue Analyse des graphischen Verlaufes einer Funktion ist uns erst möglich, wenn wir uns mit dem Differentialkalkül beschäftigt haben. Vorab lohnt es sich dennoch, sich die Graphen einiger grundlegender Funktionen einzuprägen: 4.3 Lineare Funktionen Lineare Funktion Die allgemeine lineare Funktion lässt sich mit Parametern a, b R beschreiben als f : R R x f (x) = ax + b Wir bezeichnen den Parameter a als die Steigung und b als den y-achsenabschnitt. Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 4: Funktionen einer Variablen 22./29. November / 20 Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 4: Funktionen einer Variablen 22./29. November / 20 Beispiel: Handwerkerkosten spalten sich auf in sogenannte Fixkosten (Materialeinsatz) F und variable Kosten (Löhne) mit Stundensatz v, sodass die Gesamtkosten für eine Handwerkerleistung, die in x Stunden erledigt ist, sich folgendermaßen berechnen lassen: K = F + v x. Lineare Funktionen sind die einfachste Art der Modellbildung in den Wirtschaftswissenschaften und immer dort anzutreffen, wo man nichts besseres weiß oder einem nichts besseres einfällt aber auch als Approximation an nichtlineare Modelle ( Taylorreihe, später). Satz 4.5 (Definition eines linearen Modells aus zwei Punkten) Sei f eine lineare Funktion und die Paare (x 1, y 1 ) und (x 2, y 2 ) mit x 1 x 2 liegen auf dem Graphen, dann lässt sich die gesamte lineare Funktion aus dieser Information eindeutig gewinnen. Für die Steigung a gilt a = y 2 y 1 und f lässt sich in Zwei-Punkte-Interpolationsform angeben als f (x) = x x 1 y 2 + x 2 x y 1 Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 4: Funktionen einer Variablen 22./29. November / 20 Beweis: Gelte f (x) = ax + b und somit auch Dann folgt und y 1 = f (x 1 ) = ax 1 + b y 2 = f (x 2 ) = ax 2 + b y 2 y 1 = ax 2 + b (ax 1 + b) = a( ) = a x x 1 y 2 + x 2 x y 1 = x x 1 (ax 2 + b) + x 2 x (ax 1 + b) = xa( ) x 1 ax 2 + x 2 ax 1 + b(x x 1 + x 2 x) = xa( ) + b( x 1 + x 2 ) = ax + b Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 4: Funktionen einer Variablen 22./29. November / 20

3 Graphische Darstellung linearer Ungleichungen 4.4 Quadratische Funktionen Lineare Ungleichungen vom Typ px + qy m lassen sich in zwei Dimensionen graphisch darstellen, was manchmal sinnvoll ist zur Vergegenwärtigung von Zusammenhängen. Es folgen zwei Beispiele: Funktionen der Form f : R R x f (x) = ax 2 + bx + c mit a, b, c R und a 0 heißen quadratische Funktionen. Wir führen eine quadratische Ergänzung durch: ( f (x) = ax 2 + bx + c = a x + b ) 2 b2 4ac 2a 4a und beobachten, dass es sich offenbar um eine verschobene und gestreckte Parabel handelt, wobei gilt {(x, y) : 2x + y 4} Budget-Menge {(x, y) : 2x + y 4 x 0 y 0} falls a > 0 gilt für alle x: falls a < 0 gilt für alle x: f (x) f ( b 2a ) = 4ac b2 4a f (x) f ( b 2a ) = 4ac b2 4a Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 4: Funktionen einer Variablen 22./29. November / 20 Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 4: Funktionen einer Variablen 22./29. November / 20 Quadratische Funktionen als Graphen 4.5 Polynome Funktionen der Form p : R R a > 0 a < 0 x p(x) = n a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n i=0 b2 4ac 4a b2 4ac 4a mit a i R für alle i = 1,..., n und a n 0 heißen Polynome vom Grad n. Eine Gleichung p(x) = 0 heißt Gleichung n-ter Ordnung, wenn p ein Polynom vom Grad n ist. b 2a Minimum b 2a Maximum Jedes Polynom kann nach dem Fundamentalsatz der Algebra geschrieben werden als Produkt von Polynomen erster und zweiter Ordnung, wobei sich die Ordnungen der Teiler zu n aufsummieren. Wir können Nullstellen herausdividieren! Beispiel: Eine Nullstelle von p(x) = x 3 2x 2 + x 2 ist x 1 = 2. (Polynomdivision: Anschrieb) Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 4: Funktionen einer Variablen 22./29. November / 20 Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 4: Funktionen einer Variablen 22./29. November / 20

4 Polynomdivision mit Rest Faktorzerlegung von Polynomen Sei P ein Polynom vom vom Grad m und Q ein Polynom vom Grad n mit m n. Dann gibt es eindeutige Polynome q und r so, dass gilt P(x) = q(x)q(x) + r(x), für alle x R, wobei der Grad von r kleiner als der von q ist. Falls r(x) = 0 für alle x, heißt P teilbar durch Q. Spezialfall Q(x) = x a P(x) = q(x)(x a) + r 0, wobei r 0 R eine Konstante ist (=Polynom vom Grad 0, also kleiner als 1). Hierfür gilt offenbar P ist teilbar durch (x a) r 0 = 0 P(a) = 0 (Durchführung Polynomdivision mit Rest: Anschrieb) Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 4: Funktionen einer Variablen 22./29. November / Rationale Funktionen Funktionen der Form p : R R x R(x) = P(x) Q(x), wobei P und Q Polynome sind, heißen rationale Funktionen. Häufigstes Beispiel: R(x) = ax + b, a, b, c, d R, c 0 cx + d Offenbar gilt ax + b = a c (cx + d) + (b ad c R(x) = a c ), und somit + bc ad c(cx + d) Damit handelt es sich um eine Hyperbel (also Funktion von Grundtyp f (x) = 1/x), die verschoben und gestreckt ist (mehr zu Verschiebungen und Streckungen von Funktionen im nächsten Kapitel). Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 4: Funktionen einer Variablen 22./29. November / Potenzfunktion versus Exponentialfunktion Beispiele und Anmerkung Potenzfunktion (A, r R) f : [0, ) R x f (x) = Ax r mit x 0, falls r < 0. Exp.-funktion (A, a > 0 ) f : R (0, ) x f (x) = Aa x a > 1 Potenzfunktion Oberfläche (S) einer Kugel in Abhängigkeit vom Volumen (V ) S(V ) = (36π) 1/3 V 2/3 Exponentialfunktion Kapitalverzinsung in Anhängigkeit von der Zeit t ( K (t) = K p ) t 100 Nettosozialprodukt (Y ) in Abhängigkeit von Kapital (K ), Arbeit (L) und Zeit (t) Y (K, L, t) = 2, 262K 0,203 L 0,763 (1, 02) t Was ist a r für r R \ Q? Jedes r R lässt sich beliebig gut durch ein q Q annähern. Damit können wir vorerst lesen: a r a q für r q. (Mehr später) Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 4: Funktionen einer Variablen 22./29. November / 20 Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 4: Funktionen einer Variablen 22./29. November / 20

5 Natürliche Exponentialfunktion Die Exponentialfunktion zur Basis e heißt natürliche Exponentialfunktion. Zur Definition von e: Man betrachte das Kapital nach einem Jahr mit 100% ( ) Verzinsung und n unterjährigen Zinsperioden: K 1 = K n n Periode n K 1 /K 0 Monat 12 2, Woche 52 2, Tag 365 2, Stunden , Minuten , Sekunden , Wir sehen, dass K 1 /K 0 für immer kleinere Perioden einem Wert ( Limes=Grenzwert ) zustrebt, den wir e nennen. Mit der Begrifflichkeit von Kapitel 6 und 7 können wir schreiben e x = lim n (1 + x n und werden erkennen, dass e x die einzige Funktion ist, die sich selbst als Ableitung hat und dadurch ausgezeichnet ist und auch dadurch als einzige Exponentialfunktion gut berechenbar ist. Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 4: Funktionen einer Variablen 22./29. November / 20 ) n 4.8 Natürliche Logarithmusfunktion Definition 4.6 (Natürlicher Logarithmus) Die natürliche Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion, also definiert durch ln : (0, ) R x ln(x) = u mit e u = x Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 4: Funktionen einer Variablen 22./29. November / 20 Rechenregeln für die natürliche Logarithmusfunktion Aus der Definition gewinnen wir für p R, x, y > 0 und u := ln x, v := ln y folgende Rechenregeln: (a) ln(xy) = ln x + ln y, (b) ln( x y ) = ln x ln y, (c) ln(x p ) = p ln x, da e u e v = e u+v eu da e v = e u v da (e u ) p = e pu (d) ln 1 = 0, ln e = 1, ln e x = x, da e 0 = 1, e 1 = e, x = e ln x Anwendungen Wir sehen für a > 0: ln(a x ) = x ln a und damit a x = e x ln a, was wir nun auch als Definition für die allgemeine Exponentialfunktion mit reellem Exponenten verwenden können. Die Zeitdauer ( n für eine gewünschte Kapitalentwicklung K 1 = K p n 100) lässt sich nun berechnen als ( ) K1 / ( n = ln ln 1 + p ) 100 K 0 Der allgemeine Logarithmus zur Basis a > 0 wird bezeichnet mit log a und ist definiert duch a log a x = x. Hierfür gelten die obigen Rechenregeln (a)-(c) ebenso und (d) in analoger Weise. Anwendung des natürlichen Logarithmus auf diese Definition liefert uns log a x ln a = ln x und damit die einfache Umrechnung log a x = ln x ln a Wir nehmen vieles auf logarithmische Weise wahr. Das ermöglicht es uns Vorgänge über viele Größenordnungen hinweg zu erfassen. Insbesondere hören wir logarithmisch. F log 12 2 (F) Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 4: Funktionen einer Variablen 22./29. November / 20 Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 4: Funktionen einer Variablen 22./29. November / 20