Grundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015

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1 Vektorrechnung Fakultät Grundlagen Juli 205 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung

2 Übersicht Grundsätzliches Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag 2 Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt 3 Darstellung von Ebene und Gerade Grundaufgaben Schnittaufgaben Abstandsprobleme Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 2

3 Vorbemerkung Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag Bishere haben wir uns mit mathematischen Größen beschäftigt, die sich durch Zahlenwerte beschreiben lassen. Zahlenwerte lassen sich auf der Skala eines Messinstruments ablesen; man bezeichnet sie deshalb als Skalare. Beispiele: Temperatur, Zeit, Masse, Arbeit, Spannung, etc. Bei Größen wie Geschwindigkeit, Kraft, Beschleunigung spielt jedoch auch Richtung und Orientierung eine Rolle; so ist bei einer Kraft neben der Angabe 5.3 Newton auch noch die Richtung und Orientierung wichtig. Solche Größen nennt man Vektoren. Wir unterscheiden deshalb streng zwischen skalaren und vektoriellen Größen. Deshalb benutzen wir stets unterschiedliche Darstellungsweisen! Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 3

4 Vektor Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag Definition: Ein Vektor ist eine gerichtete, orientierte Strecke im Raum. Dabei werden diejenigen Pfeile als gleich angesehen, die durch Parallelverschiebung ineinander übergehen. Bezeichnung: a. Vektoren besitzen Länge (Betrag), Richtung und Orientierung. Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie in Betrag, Richtung und Orientierung übereinstimmen. Der Vektor mit dem Betrag Null heißt Nullvektor o. a Definiert werden hier sogenannte freie Vektoren; der Anfangspunkt des Pfeils ist beliebig! Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 4

5 Grundrechenarten I Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag Vorbild: Kräfte (Kräfteparallelogramm), Geschwindigkeiten Definition: Zwei Vektoren werden addiert, indem man den Anfangspunkt des einen Vektors im Endpunkt des anderen Vektors anhängt. Der Vektor a hat Betrag und Richtung von a, aber entgegengesetzte Orientierung. Unter der Differenz a b versteht man a + ( b). Definition: Unter s a mit s > 0 verstehen wir einen Vektor, dessen Richtung und Orientierung mit a übereinstimmt, aber mit der s-fachen Länge. Ist s negativ, so dreht sich noch die Orientierung um. a b b a b a + b Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 5 a a 3 a

6 Grundrechenarten II Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag Die üblichen Rechenregeln der Algebra gelten auch hier: a + b = b + a Kommutativgeetz s (t a) = (s t) a Assoziativgesetz s( a + b) = s a + s b Distributivgesetz I (s + t) a = s a + t a Distributivgesetz II Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 6

7 Algebraisierung Grundsätzliches Kartesisches Koordinatensystem; Dazu wählen wir drei Vektoren e, e 2, e 3 der Länge aus, die paarweise aufeinander orthogonal stehen. Orientierung mit Rechte-Hand- Regel! Alle Vektoren können als Linearkombination der Einheitsvektoren dargestellt werden. a = a e + a 2 e 2 + a 3 e 3 Identifikation: a = a a 2 a 3 Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag a 3 a e 3 e 3 x 3 a e a e 2 e a 2 e 2 x 2 x Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 7

8 Algebraisierung; Rechengesetze Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag In der Technik werden die Basisvektoren häufig mit i, j, k bezeichnet. Grundrechenoperationen übertragen sich auf die Koordinaten: Gleichheit von Vektoren a a 2 a 3 = b b 2 b 3 a = b a 2 = b 2 a 3 = b 3 Addition und Subtraktion a a 2 a 3 ± = b b 2 b 3 a ± b a 2 ± b 2 a 3 ± b 3 s a a 2 a 3 s-multiplikation = s a s a 2 s a 3 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 8

9 Länge, Betrag a = Grundsätzliches a 2 + a2 2 rechtwinkliges Dreieck in (x, y)-ebene a = a 2 + a3 2 rechtwinkliges Dreieck (x, y)-ebene = a 2 + a2 2 + a2 3 Normierung eines Vektors auf die Länge ; Einsvektor in Richtung a. e a = a a Vektor der Länge mit Richtung und Orientierung wie a Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag a 3 x 3 a a 2 a a x 2 x Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 9

10 Produktmöglichkeiten Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt In der Vektorrechnung gibt es zwei Typen von Objekten: Vektoren: a, b Skalare (Zahlen): 2, 4, s Bei der bereits eingeführten s-multiplikation wurden verknüpft: Skalar Vektor Nun erklären wir Verknüpfungen: Vektor Vektor Das Ergebnis einer solchen Verknüpfung kann wieder ein Vektor oder ein Skalar sein! Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 0

11 Definition Grundsätzliches Physikalisches Vorbild: Arbeit, die längs einer Strecke s von der Kraft F geleistet wird. Nur der Anteil der Kraft längs des Weges ist relevant. A = F s cos ϕ Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt F ϕ F cos ϕ s Definition: Unter dem Skalarprodukt der Vektoren a und b versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren a und b, multipliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenenwinkels. a b = a b cos ϕ a b > 0 0 ϕ < π 2 a b < 0 π 2 < ϕ π a b = 0 ϕ = π 2 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie:

12 Eigenschaften Grundsätzliches Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt a b = b a a ( b + c) = a b + a c s ( a b) = (s a) b = a (s b) Im Allgemeinen gilt: Aus a b = 0 folgt a ( b c) }{{} Vektor in Richtung a ) a = o oder 2) b = o oder 3) a b Es gibt keine Umkehrung des Skalarprodukts ( a b) c. }{{} Vektor in Richtung c x a x = b Alle x besitzen dieselbe Projektion auf a! a Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 2

13 Koordinatendarstellung Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt a a 2 a 3 b b 2 b 3 = a b + a 2 b 2 + a 3 b 3 Winkel zwischen den beiden Vektoren bei bekannten Koordinaten a b = a b cos ϕ cos ϕ = a b a b = a b + a 2 b 2 + a 3 b 3 a 2 + a2 2 + a2 3 b 2 + b2 2 + b2 3 Speziell: Richtungswinkel α, β, γ zu den Koordinatenachsen cos α = a cos β = a 2 a a Es gilt: cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = cos γ = a 3 a Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 3

14 Projektion Grundsätzliches Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt Projektion des Vektors a auf die Richtung von b: skalar: a b = a b b vektoriell: a b = a b b 2 b a a a b b Dabei ist a b die mit einem Vorzeichen versehene Länge von a b. Es gilt a b = a b, wenn a b die gleiche Orientierung hat wie b, und a b = a b, wenn a b zu b entgegengesetzt orientiert ist. Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 4

15 Definition Grundsätzliches Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt Motivation: Bewegte elektrische Ladung im Magnetfeld; Drehmoment in der Mechanik Definition: Das mit a b bezeichnete Vektorprodukt (Kreuzprodukt) steht senkrecht auf den Vektoren a und b, bildet mit a, b in der Reihenfolge a, b, a b ein Rechtssystem und hat den Betrag a b b a b = a b sin ϕ, ϕ = ( a, b). a ϕ b b sin ϕ a Der Betrag a b kann als die Maßzahl der von den Vektoren a, b aufgespannten Parallelogrammfläche gedeutet werden. a b a b = a b Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 5

16 Eigenschaften Grundsätzliches Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt a b = b a a ( b + c) = a b + a c s ( a b) = (s a) b = a (s b) Im Allgemeinen gilt: a ( b c) ( a b) c. Aus a b = o folgt Es gibt keine Umkehrung des Vektorprodukts, d. h., die Beziehung ) a = o oder 2) b = o oder 3) a b. x a x = b lässt sich nicht nach x auflösen. a Alle x besitzen dieselbe Projektion auf die Senkrechte von a! Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 6

17 Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt Vektorprodukt in Koordinatendarstellung I a b = (a e + a 2 e 2 + a 3 e 3 ) (b e + b 2 e 2 + b 3 e 3 ) = a b e e }{{} = o a 2 b e 2 e }{{} + a b 2 e e }{{} 2 + a b 3 e e }{{} = e 3 = e 2 + a 2 b 2 e 2 e }{{} 2 = e 3 = o + a 2 b 3 e 2 e 3 }{{} = e +... a 3 b e 3 e }{{} = e 2 + a 3 b 2 e 3 e }{{} 2 = e + a 3 b 3 e 3 e }{{} 3 = o = (a 2 b 3 a 3 b 2 ) e + (a 3 b a b 3 ) e 2 + (a b 2 a 2 b ) e 3 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 7

18 Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt Vektorprodukt in Koordinatendarstellung II oder a a 2 a 3 b b 2 b 3 = a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b a b 3 a b 2 a 2 b Eselsbrücke: e e 2 e 3 a a 2 a 3 b b 2 b 3 = e a 2 a 3 b 2 b 3 }{{} a 2 b 3 a 3 b 2 e 2 a a 3 b b 3 }{{} a b 3 a 3 b + e 3 a a 2 b b 2 }{{} a b 2 a 2 b Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 8

19 Definition Grundsätzliches Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt Spatprodukt Wird das Vektorprodukt von zwei Vektoren b c mit dem Vektor a skalar multipliziert, so nennt man diese Kombination Spatprodukt. Schreibweise: [ a, b, c ] = a ( b c) Das Spatprodukt lässt sich als (orientiertes) Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Spats interpretieren. a ( b c) = b c a cos ϕ }{{}}{{} A P h mit ϕ = ( a, b c). b c ϕ a c Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 9 h b A p

20 Eigenschaften Grundsätzliches Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt Eigenschaften des Spatprodukts: Die Eigenschaft [ a, b, c ] = 0 ist gleichwertig dazu, dass alle Vektoren in einer Ebene liegen. [ a, b, c ] > 0 a, b, c bilden (in dieser Reihenfolge) ein Rechtssystem. Wird beim Spatprodukt die Reihenfolge der Vektoren verändert, so kann sich höchstens das Vorzeichen ändern. Speziell gilt: Werden zwei Vektoren vertauscht (dritter Vektor bleibt auf seiner Position), so ändert sich das Vorzeichen. Bei zyklischer Vertauschung bleibt das Vorzeichen erhalten. Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 20

21 Koordinatendarstellung Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt Koordinatendarstellung des Spatprodukts: a ( b c) = a a 2 a 3 b 2 c 3 b 3 c 2 b 3 c b c 3 b c 2 b 2 c = a (b 2 c 3 b 3 c 2 ) + a 2 (b 3 c b c 3 ) + a 3 (b c 2 b 2 c ) = a a 2 a 3 b b 2 b 3 c c 2 c 3 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 2

22 Vektoren und Punkte Darstellung von Ebene und Gerade Grundaufgaben Grundsätzliches zur Beziehung zwischen Vektorraum und Punktraum. Vektorraum: Menge der Vektoren, Pfeilklassen ; Pfeile können beliebig parallel verschoben werden. Punktraum: Menge der Punkte im Raum. Denken wir uns im Punktraum ein kartesisches Koordinatensystem vorgegeben und hängen im Koordinatenursprung sämtliche Vektoren (Pfeile) des Vektorraums an, so weist zu jedem Punkt P des Raumes ein Vektor. Wir nennen diesen Vektor p Ortsvektor des Punktes P. In den folgenden geometrischen Aufgabenstellungen wird nicht mehr zwischen Punkt und Ortsvektor unterschieden. Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 22

23 Gerade; Parameterdarstellung Darstellung von Ebene und Gerade Grundaufgaben Geraden im Anschauungsraum x 0 uλ u g Aufpunkt: x 0 Richtungsvektor: g : x = x 0 + λ u (λ IR) u x 3 x Punkt + Richtung Durchläuft λ alle reellen Zahlen, so durchläuft x alle Punkte der Gerade. x x 2 x = x x 2 x 3 = λ 2 2 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 23

24 Ebene; Parameterdarstellung Darstellung von Ebene und Gerade Grundaufgaben Aufpunkt: x 0 E µ v v λ u u x Richtungsvektoren: u, v x 0 x 3 x x 2 x x = x 2 = + λ 2 + µ 2 x E : x = x 0 + λ u + µ v (λ, µ IR) Punkt + zwei Richtungen Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 24

25 Ebene; lineare Gleichung Darstellung von Ebene und Gerade Grundaufgaben n n v E u x x 0 x x 2 x 3 n n 2 n 3 x = x 0 + λ u + µ v n = u v n x = n x 0 = d (= konstant ) = n x + n 2 x 2 + n 3 x 3 = d Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 25

26 Schnitt Ebene Gerade g : x = 0 + λ 2 x = + λ x 2 = λ x 3 = 2λ E : x + 2x 2 + x 3 = 3 (+λ)+2λ+( 2λ) = 3 λ = s = = cos ( π 2 α) = sin(α) = sin(α) = 2 α = n u n u 2 = Darstellung von Ebene und Gerade Grundaufgaben u x 0 E x 3 n α S x x 2 g : x = x 0 + λ u E : n x + n 2 x 2 + n 3 x 3 = d Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 26 g

27 Schnitt zweier Ebenen Darstellung von Ebene und Gerade Grundaufgaben Die Ebenen E, E 2 seien durch ihre Koordinatengleichung gegeben. Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems ergibt eine einparametrige Lösung, d. h. die Parameterdarstellung der Schnittgeraden. E : x + 2x 2 + x 3 = 3 E 2 : 4x x 2 + 2x 3 = 3 ( ) ( ) x kann frei gewählt werden! x = 5λ x 2 = 2λ x 3 = 9λ 5 x = + λ 2 ( λ IR ) Schnittgerade 0 9 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 27

28 Schnittwinkel zweier Ebenen Darstellung von Ebene und Gerade Grundaufgaben Der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen ist derselbe wie der Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren n und n 2. cos ϕ = n n 2 n n 2 n ϕ n 2 ϕ E ϕ E : x + 2x 2 + x 3 = 3 E 2 : 4x x 2 + 2x 3 = 3 4 cos ϕ = = ϕ.206 [ 69.24o ] E 2 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 28

29 Schnitt zweier Geraden g : x = x 0 + λ u x = g 2 : x = x 02 + λ 2 u Darstellung von Ebene und Gerade Grundaufgaben + λ 2 3 ; x = 5 + λ 2 2 Zwei Geraden im Raum besitzen nur dann einen Schnittpunkt, wenn sie in einer Ebene liegen und nicht parallel sind. Kriterium: Spatprodukt = 0! [ u, u 2, ( x 02 x 0 )] = Das Gleichsetzen der beiden Parameterdarstellungen ergibt ein lineares Gleichungssystem für die beiden Parameter. + λ = 5 + λ 2 2 λ = 2 λ 2 = 3 s = ( 2) 2 = = 0 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 29

30 Schnitt dreier Ebenen Darstellung von Ebene und Gerade Grundaufgaben Die drei Ebenen werden durch drei lineare Gleichungen repräsentiert. Die Suche nach einem Schnittpunkt läuft auf die Diskussion dieses Gleichungssystems hinaus. eindeutige Lösung: einparametrige Lösung: keine Lösung: E : x + 2x 2 + x 3 = 3 E 2 : 4x x 2 + 2x 3 = 3 E 3 : x + x 2 + 7x 3 = 2 Ebenen in allgemeiner Lage haben einen Schnittpunkt Bündel von drei Ebenen um eine Gerade eine Ebene ist parallel zur Schnittgerade der beiden anderen Ebenen oder alle drei Ebenen sind parallel Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 30

31 Abstand Punkt Ebene; Lotfußpunkt Die Gerade durch den Punkt P mit dem Richtungsvektor n schneidet die Ebene im Lotfußpunkt L. Der Abstand Punkt-Lotfußpunkt ergibt auch den Abstand Punkt Ebene. E : x + 2x 2 + x 3 g : x = d = LP = = 3 ; P(3 5 2) + λ 2 Darstellung von Ebene und Gerade Grundaufgaben x 3 E x x 2 x = 3 + λ x 2 = 5 + 2λ x 3 = 2 + λ (3 + λ) + 2(5 + 2λ) + (2 + λ) = 3 λ = 2 l = = LP = = p l n L P g n Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 3

32 Abstand Punkt Gerade I Die Ebene g durch den Punkt P schneidet die Gerade in L. Der Abstand PL ergibt auch den Abstand Punkt Gerade. P( 6) g : x = 2 + λ 2 3 E : x +2x 2 +3x 3 = }{{} x = 2 + λ x 2 = + 2λ x 3 = + 3λ l = = =2 Darstellung von Ebene und Gerade Grundaufgaben x 3 p x x 2 (2 + λ) + 2( + 2λ) + 3( + 3λ) = 2 λ = ; LP = P l x 0 u L E = 2 2 ; d = LP = g Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 32

33 Abstand Punkt Gerade II Darstellung von Ebene und Gerade Grundaufgaben Das Parallelogramm wird vom Richtungsvektor u der Geraden und vom g Verbindungsvektor v = p x 0 aufgespannt. u Dabei gilt für den Abstand d: d d u = v u v v u d = = 29 p x 0 u P 6 g : x = 0 + λ ; P(0 2 ) 2 v = = 2 ; v u = 2 v u = = 29; u = = 6 e e 2 e = Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 33

34 Abstand Gerade Gerade Darstellung von Ebene und Gerade Grundaufgaben Die Messrichtung des Abstands d erhält man als Vektorprodukt von u u 2. Der Abstand ergibt sich als Projektion des Verbindungsvektors v = x 0 x 02 auf die Richtung u u 2 : d = v ( u u 2 ) u u 2 = 6 9 u v x 0 u 2 x 3 x 02 x x 2 g d u u 2 g : x = + λ 4 ; g 2 : x = 2 + µ 0 ; v = 2 = u u 2 = e e 2 e u u 2 = = 9; = 8 ; v ( u u 2 ) = 0 8 = Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Folie: 34 g 2