Weitere Interessante Funktionen

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1 Weitere Interessante Funktionen Pascal Wagner Ausarbeitung zum Vortrag im PS Überraschungen und Gegenbeispiele in der Analysis (Sommersemester 009, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: In dieser Ausarbeitung werden wir eine weitere sehr interessante Funktion kennenlernen, die eine äuÿerst verblüende Eigenschaft aufzuweisen hat. Die im folgenden behandelte Funktion θ(x) im Intervall [0, ] wird uns zeigen, dass wir unserem mathematischen Grundverständniss nicht immer trauen können. Wir werden sehen, dass sich die Funktion bezüglich der Steigung vollkommen konträr zu den Schlüssen verhält, die wir aus den anderen Eigenschaften der Funktion ziehen würden. Inhaltsverzeichnis Einleitung Die Eigenschaften der Funktion 3. Bemerkung Die Monotonie Die Stetigkeit Die Dierenzierbarkeit Resümee 7

2 Einleitung auf dem abgeschlossenen Intervall [0, ] besitzt die folgenden Ei- Die Funktion θ(x) genschaften: (i) Sie ist stetig (ii) Sie ist streng monoton wachsend Mit ihren ersten beiden Eigenschaften gehört sie noch zu einer groÿen Gruppe gewöhnlicher Funktionen. Mit etwas mathematischem Grundwissen lassen sich aus diesen Voraussetzungen auch andere Eigenschaften der Funktion erahnen. Will man nun also Vermutungen über die Steigung, bzw. die erste Ableitung dieser Funktion anstellen, so erwartet man zunächst, dass diese auf jeden Fall gröÿer 0 sein sollte. Überraschenderweise ist dies bei unserer Funktion nicht der Fall und wir werden sogar zeigen, dass die Ableitung überall null ist, wo sie existiert. Wir können also folgende dritte Eigenschaft hinzufügen: (iii) Die Ableitung ist überall null, wo sie existiert, sowie θ(0) = 0 und θ() = Diese Eigenschaft ist zunächst einmal höchst verwirrend und auf den ersten Blick überhaupt nicht einsichtig. Daher werden wir Schritt für Schritt die Eigenschaften dieser interessanten Funktion nachweisen und zum Schluss auch zeigen können, dass die Ableitung der Funktion tatsächlich überall null ist, wo sie existiert. Bemerkung. Das ungewohnte an dieser Funktion ist die Schreibweise im Binärsystem. Daher wollen wir uns dieses zu Beginn noch einmal etwas genauer anschauen. Im Binärsystem werden alle Zahlen nur mit den Ziern 0 oder dargestellt. Die Ziern z i einer Binärzahl werden wie im Dezimalsystem ohne Trennzeichen hintereinander geschrieben. Der Unterschied besteht nur darin, dass ihr Stellenwert der zur Stelle passenden Zweierpotenz (anstatt der Zehnerpotenz) entspricht, d.h. für gilt Z = z m z m... z 0, z z... z n (m, n N, z i = 0 oder ) Z = m z i i, i= n wobei uns aber vor allem die Zahlen mit einem Wert interessieren. Den Wert einer solchen Binärzahl x [0, ] können wir folgendermaÿen berechnen:. Z = r=0 ar (a i N, a 0 < a < a <... ).

3 Denition. Sei x [0, ] und p > 0 eine feste aber beliebig vorgegebene reelle Zahl. Wir setzen θ(0) = 0 und schreiben x > 0 binär, also ist x = + a 0 + a + a + = (a a i N, a 0 < a < a <... ) 3 ar r=0 Dann ist für x > 0. θ(x) = r=0 p r ( + p) ar Die Eigenschaften der Funktion Folgende bereits erwähnte Eigenschaften der Funktion wollen wir nun nachweisen: (i) Die Funktion ist streng monoton wachsend (ii) Sie ist stetig (iii) Die Ableitung ist überall null, wo sie existiert, sowie θ(0) = 0 und θ() =. Bemerkung Es lässt sich zunächst leicht zeigen, dass auch θ() = gilt: Der gröÿte anzunehmende x Wert ist: = Dies lässt sich schnell mit Hilfe der geometrischen Reihe überprüfen. Ebenfalls mit Hilfe der geometrischen Reihe können wir zeigen, dass gilt: θ() = n=0. Die Monotonie p n ( + p) n+ = + p n=0 p n ( + p) = n + p p +p = (n N) In diesem Abschnitt werden wir zeigen, dass unsere vorliegende Funktion streng monoton wachsend ist. Wir wissen, dass 0 = θ(0) und θ(x) > 0 (für x > 0) ist. Also gilt: θ(x) > θ(0) (für x > 0). Sei nun 0 < x < y und: x = a 0 + a + a +..., (a 0 < a < a <... ) y = b 0 + b + b +..., (b 0 < b < b <... ) Sei s der kleinste Index, für den gilt: a s b s 3

4 (z.b a 0 = b 0, a = b,..., a s = b s, a s b s ) Da x < y gilt, muss b s < a s und es folgt: θ(x) = θ(y) = ( + p) + p a 0 ( + p) + + p s a ( + p) + p s a s ( + p) +... as ( + p) + p b 0 ( + p) + + p s b ( + p) + p s b s ( + p) +... bs Die ersten s Terme sind hierbei gleich. Sei nun b s < a s, es gilt also: ( + p) < bs ( + p) as Da jedes Summenglied immer gröÿer oder gleich den nachfolgenden Summenglieder ist, wie sich ebenfalls leicht mit der geometrischen Reihe überprüfen lässt, können die hinteren Summenglieder nichts mehr ändern. Daraus folgt, dass θ(x) < θ(y), womit wir gezeigt hätten, dass die Funktion streng monoton wachsend ist..3 Die Stetigkeit Um die Stetigkeit der Funktion zu beweisen, werden wir uns zwei Folgen x n, y n mit x n < x < y n denieren, so dass sich für alle x [0, ] ein x n und y n nden lässt, so dass gilt: lim x n = x und Wenn wir dann zeigen können, dass lim y n = x lim (θ(y n) θ(x n )) = 0 ist, haben wir auch die Stetigkeit der Funktion gezeigt. Sei für x = und n 0 a 0 a a x n = a r n ar y n = x n + n Es ist leicht zu erkennen, dass x n x ist. Da x = x n + x ar n + + a n+ + = x a n + n+ = y n n a r>n wäre auch gezeigt, dass y n x ist. Nehmen wir nun an, k n sei die Anzahl der a i für die gilt: a i n. 4

5 Dann folgt: θ(y n ) θ(x n ) = pkn, ( + p) n wobei natürlich 0 k n n sein muss. Wählen wir z.b. x = , 6 also a 0 =, a = 3, a = 5, a 3 = 6,... und sei n = 5, dann ist x 5 = = ar a r 5 und D.h.: y 5 = = = θ(y 5 ) = ( + p) + p ( + p) + p 3 ( + p) 4 θ(x 5 ) = ( + p) + p ( + p) + p 3 ( + p) 5 Hierbei entspricht k 5 = 3, genau der Anzahl an r, 0 r 5 mit a r 5 Falls x = , 5 also keine Terme in x ausgelassen werden gilt: x 5 = y 5 = = = = θ(y 5 ) =, θ(x 5 ) = ( + p) + p p4 + + ( + p) ( + p) θ(y 5) θ(x 5 5 ) = Wir vermuten: lim (θ(y p kn n) θ(x n )) = lim ( + p) = 0 n Für p ist dies oensichtlich. Falls p > können wir mit einer Abschätzung die Aussage zeigen: p > p kn ( + p) n p n ( + p) n = ( + p )n 0 Somit hätten wir auch die Stetigkeit der Funktion nachgewiesen. 5 p 5 ( + p) 5 = pkn ( + p) 5

6 .4 Die Dierenzierbarkeit Zum Schluss wollen wir noch die überraschende Eigenschaft nachweisen, dass die Ableitung der Funktion θ(x) überall dort 0 ist, wo sie existiert. Wir werden also zeigen, dass für einen Punkt a [0, ] für den θ (a) existiert, θ (a) = 0 ist. Dafür nehme wir zunächst einmal an, dass p ist. Für jedes a [0, ] nden sich zwei Folgen x n, y n (wie oben) mit den Eigenschaften: x n < a < y n Unter Verwendung des Dierenzenquotienten, muss also für die Ableitung von a gelten: Wir wissen bereits, dass gilt: da x n = a r n Also ist θ (a) = lim θ(y n ) θ(x n ) y n x n θ(y n ) θ(x n ) = pkn ( + p) n und y ar n = x n + y n n x n =. n θ (a) = lim θ(y n ) θ(x n ) y n x n p kn = lim ( + p) n n Um die überraschende Eigenschaft der Funktion nun nachzuweisen, müssen wir also zeigen, dass: θ p kn (a) = lim ( + p) n n = 0 ist. Dazu nehmen wir zuächst einmal an, der Grenzwert sei 0. Da Teilfolgen konvergenter Folgen gegen den selben Grenzwert konvergiern, gilt für eine konvergente Folge a n, deren Grenzwert 0 ist: lim = Dies würde in unserem Fall bedeuten, dass: a n a n = ist. also muss gelten: p kn ( θ +p (a) = lim )n p k n ( = +p )n lim p kn k n ( + p ) = lim pkn k n = + p 6

7 Da p ist, muss der Gerenzwert von p kn k n existieren. Nehmen wir an, dieser sei k. Wir wissen aber, dass wenn eine Folge b n b konvergiert, bedeutet dies auch, dass (b + b + + b n ) b n Auf unseren Fall angewendet folgt: (k k + k 3 k + + k n k n ) n k k n n k k n k k n n n k Wie wir oben aber bereits festgehalten haben, muss 0 k n sein D.h.: k n n 0 für 0 k < n oder Also ist k entweder 0 oder. Eingesetzt ergibt sich also: k n n p 0 = + p für k = n = + p Da wir angenommen hatten p ergibt sich hier ein Widerspruch. Für den Fall p = hätten wir die Identität vorliegen, wobei die Ableitung immer null ist. Wir haben also gezeigt, dass θ (x) überall dort null ist, wo die Ableitung existiert. 3 Resümee Im Rückblick können wir sagen, dass die Eigenschaft der Funktion bezüglich der Ableitung immer noch überraschend wirkt. Ungewohnt war sicherlich die Schreibweise im Binärsystem bzw. das Umrechnen zwischen Binär- und Dezimalsystem. Interessant war die Erfahrung, dass unser mathematisches Verständnis uns doch allzu leicht täuschen kann. Betrachtet man die ersten beiden Eigenschaften der Funktion (Monotonie und Stetigkeit), so geht man davon aus, dass die Ableitung auf jeden Fall gröÿer null sein muss. Die vorliegende Funktion hat uns aber gelehrt, dass dies nicht immer so sein muss. Wir haben bisher gezeigt, dass die Ableitung, sofern sie existiert, null ist. Mit Hilfe des Satzes von Lebesgue könnte man sogar zeigen, dass die Ableitung überall existiert und überall null ist. Diese Tatsache beseitigt auch letzte Zweifel, dass die Funktion vielleicht nur an wenigen besonderen Stellen Dierenzierbar ist und unterstreicht noch einmal die Besonderheit der vorliegenden Funktion. 7

8 Literatur [] Forster, Otto: Analysis. Vieweg, Wiesbaden 008. [] Rajwade, A.R.: Surprises and Counterexamples in Real Function Theory, Hindustan Book Agency, Delhi 007 [3] Diverse: (Stand: ) 8