Spielerische Erarbeitungen der Zusammenhänge von Graphen und Funktionsgleichungen

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1 Claudia Huppertz STUNDENTHEMA: Spielerische Erarbeitungen der Zusammenhänge von Graphen und Funktionsgleichungen bei gebrochenrationalen Funktionen in einem Gruppenpuzzle unter Brücksichtigung des Aspekts Wechsel der Darstellungsebenen DATUM: ZEIT: 8:40-9:5 Uhr LERNGRUPPE: LK. Lernziele Grobziel: Die Schülerinnen sollen mit Hilfe der bereits erarbeiteten Kenntnisse über die Eigenschaften von gebrochenrationalen Funktionen die Zusammenhänge zwischen Graphen, Funktionsgleichungen und verbaler Beschreibung einer Funktion kooperativ und selbstständig erarbeiten, erklären und kritisch prüfen können. Feinziele: Die Schülerinnen sollen... affektiv kognitiv Bereitschaft zur Selbstständigkeit und Kooperation zeigen, indem sie in Partnerarbeit verschiedene Aufgaben lösen und diese anschließend mit einem oder zwei anderen Eperten besprechen, ergänzen, kritisch prüfen und arbeitsteilig vorstellen. Bereitschaft zur gegenseitigen Hilfe zeigen, indem z.b. die leistungsstärkeren Sch. mit den schwächeren Sch. in Partnerarbeit agieren. fähig sein, ihre Lösungen als eigene Arbeit verantwortungsvoll zu vertreten und selbstorganisiert zu präsentieren. fähig sein, bereits eingesetzte Methoden und das Gruppenpuzzle bzgl. ihrer didaktischen Bedeutung zu reflektieren, indem sie mgl. Lernziele nennen und diese bewerten können. die Zusammenhänge zwischen Graphen (ikonisch), Funktionsgleichungen (symbolisch) und der Beschreibung einer Funktion (verbal) erkennen und begründen können, indem sie die charakteristischen Merkmale selektieren und (ohne ausführlich zu rechnen) zuordnen können. ihre Kenntnisse über die Eigenschaften gebrochenrationaler Funktionen in für sie neue Aufgabenstellungen einsetzen können, indem sie diese lösen. Claudia Huppertz Studienseminar Sek II Paderborn

2 erkennen, dass in der Aufgabe verschiedene Funktionsgleichungen als Lösung möglich sind, indem sie entweder unterschiedliche Ergebnisse auf die Richtigkeit überprüfen oder sogar die Funktionsgleichung als Kurvenschar darstellen. Verknüpfung der Stunde mit langfristig angestrebten Zielen / Schwerpunkte der Stunde: a) Förderung des Methodenbewusstseins b) Förderung der Selbstständigkeit und Kooperation c) Förderung des Verantwortungsbewusstseins und der Selbstorganisation d) Förderung des ökonomischen Abschätzens und Einordnens (einer gebrochenrationalen Funktion) e) Schulung des Wechselns zwischen verschiedenen Darstellungsebenen Claudia Huppertz Studienseminar Sek II Paderborn

3 NAME: Claudia Huppertz LERNGRUPPE: LK. DATUM: ZEIT: 8:40-9:5 Uhr STUNDENTHEMA: Spielerische Erarbeitungen der Zusammenhänge von Graphen und Funktionsgleichungen bei gebrochenrationalen Funktionen in einem Gruppenpuzzle unter Brücksichtigung des Aspekts Wechsel der Darstellungsebenen UNTERRICHTSZIEL: Die Schülerinnen sollen mit Hilfe der bereits erarbeiteten Kenntnisse über die Eigenschaften von gebrochenrationalen Funktionen die Zusammenhänge zwischen Graphen, Funktionsgleichungen und verbaler Beschreibung einer Funktion kooperativ und selbstständig erarbeiten, erklären und kritisch prüfen können. PHASEN INHALTLICHE SCHWERPUNKTE / OPERATIONEN SOZIAL- /AKTIONSFORM MEDIEN INTENTIONEN UND BEGRÜNDUNGEN Einstieg Refleion Erarbeitung (Ausstiegsmöglichkeit) Sicherung Refleion Begrüßung, Vorstellen des Besuchs Die Schülerinnen äußern sich zu mgl. Lernzielen, die durch die eingesetzten Arbeitsformen erreicht werden sollen (HA). Dazu stellt eine Schülerin ihre Überlegungen in Form eines Mind Maps vor. Dieses wird ergänzt und besprochen. In einer für die Schülerinnen neuen Methode ( Gruppenpuzzle ) werden math. Aufgaben (s. Anlage) mit verschiedenen Darstellungsebenen erarbeitet. Das geschieht in folgenden Phasen: a) In Partnerarbeit (Partnerbildung durch Losentscheid) werden die drei Aufgaben gelöst. b) Die Epertengruppen werden getrennt und neu zusammengesetzt, um Ergebnisse zusammenzutragen (versch. Lösungen sind möglich), zu ergänzen, zu diskutieren und kritisch zu prüfen. c) Die Endergebnisse werden zur Präsentation vorbereitet (Arbeitsteilung; Jede Gruppe ist für eine Aufgabe verantwortlich). Dazu erhalten die Schülerinnen mehrere Folien. d) Die Aufgaben und die Ergebnisse werden den anderen Schülerinnen vorgestellt, erklärt und Fragen beantwortet. Die Schülerinnen werden aufgefordert noch einmal kurz die durchgeführte Arbeitsform darzustellen, erfahrene Vor- und Nachteile zu nennen und diese bzgl. der Effektivität beim Erreichen von math. und außermath. Lernzielen zu bewerten. UG Partnerarbeit (In einer Gruppe sind vss. drei Personen) Wechsel der Partner UG Folie HA Arbeitsblätter (zwei verschiedene Ausführungen mit gleicher Aufgabenstellung, aber unterschiedl. Beispielen) je Arbeitsblätter zwei Folien (mit Graph, leere Folie), Tafel evtl. Folie HA HAUSAUFGABE ZUR STUNDE: Erstellen eines Mind Maps zu den bereits erlernten Arbeitsmethoden und mögliche Lernziele. HAUSAUFGABE ZUR NÄCHSTEN STUNDE: keine (erste Stunde einer Doppelstunde) Bem.: Zwei Schülerinnen haben eine Folie für die HA in der letzten Stunde bekommen. Förderung des Methodenbewusstseins Wiederholung der Verwendung eines Mind Maps als gut strukturierte und übersichtliche Präsentationsmethode Während des Gruppenpuzzles hält sich der Lehrer vollkommen zurück. Er klärt nur Fragen zur Aufgabenstellung. Förderung der Kooperation und des selbstständigen Erbeitens Der Schwierigkeitsgrad der Aufgaben nimmt der Reihenfolge nach zu. Wechsel der Darstellungsebenen Förderung des Transferdenkens beim Darstellen der Zusammenhänge (s. Aufgaben) Förderung des kritischen Prüfens (Die Sch. prüfen die Lösungen und korrigieren sich selbst.) Aufgabe lässt unterschiedliche Lösungen zu. Die Sch. organisieren die Vorstellungsweise selbst (Zuteilung der Aufgaben, Wahl der Präsentationsmittel). Üben des Präsentierens Förderung des Verantwortungsbewusstseins für die eigene Arbeit. Transparentmachen der Lernziele fördert Motivation des erneuten Einsatzes. Falls die Phasen a) - c) sehr viel Zeit in Anspruch nehmen, werde ich evtl. die abschließende Refleionsphase vorziehen, da mir die Bewertung der Arbeitsform seitens der Schülerinnen für eine mögliche Wiederholung sehr wichtig ist. Claudia Huppertz Studienseminar Sek II Paderborn

4 f() Jonglieren" mit gebrochenrationalen Funktionen Aufgabe : y 0 Ordnet dem dargestellten Graphen eine der folgenden Funktionsgleichungen zu! f( )= i( )= g( )= j( )= h ( )= k( )= Eure Lösung: Claudia Huppertz Studienseminar Sek II Paderborn 4

5 f() Jonglieren" mit gebrochenrationalen Funktionen Aufgabe : y 0 Ordnet dem dargestellten Graphen eine der folgenden Funktionsgleichungen zu! 4 f( )= i( )= 4 4 g( )= h ( )= j( )= 4 k( )= 4 Eure Lösung: Claudia Huppertz Studienseminar Sek II Paderborn 5

6 Aufgabe : Welche charakteristischen Merkmale hat der Graph der gegebenen Funktionsgleichung? + a) f( )= Falls ihr frühzeitig fertig seid: b) g( )= + Aufgabe : W A N T E D Gesucht wird die Funktionsgleichung einer gebrochenrationalen Funktion, deren senkrechte Asymptote die Gleichung = für alle Funktionswerte erfüllt. Außerdem wurde sie zusätzlich noch mit einer waagerechten Asymptote gesehen. Diese war nicht die -Achse. Ihre zwei-zweigige Gestalt macht sie noch bedrohlicher. Für nähere Hinweise, die zur Überführung der Funktion dienen, ist eine Belohnung in Form eines Kurstreffens nach meiner Eamensprüfung (nach Absprache!) angesetzt! Claudia Huppertz Studienseminar Sek II Paderborn 6

7 Euer Hinweis: Aufgabe : Welche charakteristischen Merkmale hat der Graph der gegebenen Funktionsgleichung? a) f( )= + 7 Falls ihr frühzeitig fertig seid: b) g( )= + + Aufgabe : W A N T E D Gesucht wird die Funktionsgleichung einer gebrochenrationalen Funktion, die aus drei verschiedenen Zweigen besteht. Während der Untersuchungen ist der Hinweis eingegangen, dass sie durch den Nullpunkt verläuft. Auch zwei senkrechte Asymptoten sind bekannt. Die eine erfüllt die Gleichung = -, die andere = für alle Funktionswerte. Für nähere Hinweise, die zur Überführung der Funktion dienen, ist eine Belohnung in Form eines Kurstreffens nach meiner Eamensprüfung (nach Absprache!) angesetzt! Euer Hinweis: Claudia Huppertz Studienseminar Sek II Paderborn 7

8 Lösungen Aufgabe Aufgabe Aufgabe grün orange h ( )= k( )= a) = ist Polstelle (mit VZW), senkrechte Asymptote mit der Gleichung = = - ist Unstetigkeitsstelle, waagerechte Asymptote: f() =, Graph besteht aus zwei Zweigen, Nullstelle bei = 0, keine Symmetrie zum Nullpunkt oder zur y- Achse b) = - und = sind Polstellen (mit VZW), senkrechte Asymptoten mit den Gleichungen = - und =, Nullstelle bei = 0, Graph besteht aus drei Zweigen, Symmetrie zum Nullpunkt a + b f( ) =, a R\ {} 0, b R a b und 4 a) -Achse als waagerechte Asymptote, = ist Polstelle (mit VZW), senkrechte Asymptote mit der Gleichung =, für + gilt: f() 0 für alle R (Annäherung von oben ) für - gilt: f() 0 für alle R (Annäherung von unten ), keine Nullstellen Graph besteht aus zwei Zweigen, keine Symmetrie zum Nullpunkt oder zur y- Achse b) waagerechte Asymptote: f() = -½, = - ist Polstelle (mit VZW), senkrechte Asymptote mit der Gleichung = - Graph besteht aus zwei Zweigen, Nullstellen bei = -, = 0 und = +, keine Symmetrie zum Nullpunkt oder zur y- Achse n a f( ) = a {}, R\ 0, n Ν, ± 4 Claudia Huppertz Studienseminar Sek II Paderborn 8