Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften
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- Alexa Grosse
- vor 7 Jahren
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1 Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften Aufgabe 1 Ein Polynom 3. Grades hat eine Nullstelle bei x 0 = 0 und einen Wendepunkt bei x w = 1. Die Gleichung der Wendetangente lautet f 2 (x) = 9x + 1. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung des Polynoms f 1 (x)! Aufgabe 2 Ein Polynom 3. Grades hat einen Tiefpunkt bei T (5 12, 5) und einen Hochpunkt bei H(1 3, 5). Bestimmen Sie die Funktionsgleichung des Polynoms f(x)! Aufgabe 3 Ein Polynom 3. Grades hat einen Hochpunkt bei H( 1 8). Bei x = 1 lässt sich die Gerade mit der Funktionsgleichung f 2 (x) = 4x + 4 als Tangente an den Graphen der gesuchten Funktion f 1 (x) legen. Bestimmen Sie diese Funktionsgleichung! Aufgabe 4 Ein Polynom 3. Grades berührt bei x 1 = 2 die Tangente mit der Funktionsgleichung f 2 (x) = 8x 15. Der Funktionsgraph schneidet die y-achse bei y 0 = 1. Dort beträgt die Steigung m = 16. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f 1 (x)! Aufgabe 5 Ein Polynom 4. Grades ist spiegelsymmetrisch zur y-achse. Bei x w = 1 hat sie eine Wendetangente mit der Funktionsgleichung f 2 (x) = 8x + 6. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f 1 (x)! Aufgabe 6 Ein Polynom 5. Grades ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Der Graph der Funktion hat einen Hochpunkt bei H(2 48) und schneidet die Gerade mit der Funktionsgleichung f 2 (x) = 5x + 19 an der Stelle x s = 1. Wie lautet die Funktionsgleichung f 1 (x) der gesuchten Funktion? Aufgabe 7 Ein Polynom 4. Grades hat einen Sattelpunkt bei S(0 4). Bei x b = 2 berührt sie die Gerade mit der Funktionsgleichung f 2 (x) = 4x 8. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f 1 (x) der gesuchten Funktion! Aufgabe 8 Ein Polynom 2. Grades (eine Parabel) berührt die Gerade mit der Funktionsgleichung f 2 (x) = 2x + 4 in ihrem Schnittpunkt mit der y-achse. Eine andere Parabel mit der Funktionsgleichung f 3 (x) = 2x 2 + 3x 1 schneidet die gesuchte Parabel bei x s = 2. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f 1 (x) der gesuchten Parabel! Aufgabe 9 Ein Polynom 3. Grades mit der Funktionsgleichung f 1 (x) schneidet die Parabel mit der Funktionsgleichung f 2 (x) = x 2 + 4x 4 bei x 1 = 1, bei x 2 = 2 und bei x 3 = 5. Außerdem hat der Graph der gesuchten Funktion einen Hochpunkt bei x h = 1. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f 1 (x) der gesuchten Funktion! 1
2 Ergebnisse: (Die erforderlichen Lösungsansätze mit komplettem Lösungsweg finden Sie bei Bedarf auf den nächsten Seiten.) Aufgabe 1 Aufgabe 2 f 1 (x) = x 3 3x 2 6x f(x) = 0, 5x 3 4, 5x 2 + 7, 5x Aufgabe 3 f 1 (x) = x 3 x 2 5x + 5 Aufgabe 4 f 1 (x) = 2x x x + 1 Aufgabe 5 f 1 (x) = x 4 6x Aufgabe 6 f 1 (x) = x 5 + 5x x Aufgabe 7 f 1 (x) = 1, 25x 4 3x Aufgabe 8 f 1 (x) = 3, 25x 2 2x + 4 Aufgabe 9 f 1 (x) = x 3 5x 2 + 7x + 6 2
3 Hier die erforderlichen Lösungsansätze mit durchgerechneter Lösung: Aufgabe 1 Ein Polynom 3. Grades hat eine Nullstelle bei x 0 = 0 und einen Wendepunkt bei x w = 1. Die Gleichung der Wendetangente lautet f 2 (x) = 9x + 1. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung des Polynoms f 1 (x)! f 1 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d f 1(x) = 3ax 2 + 2bx + c f 1 (x) = 6ax + 2b Nullstelle bei x 0 = 0 : f 1 (0) = 0 0 a + 0 b + 0 c + d = 0 Wendepunkt bei x w = 1 : f 1 (1) = 0 6a + 2b = 0 Steigung am Wendepunkt x w = 1 : f 1(1) = f 2(1) = 9 3a + 2b + c = 9 Funktionswert am Wendepunkt x w = 1 : f 1 (1) = f 2 (1) = 8 a + b + c + d = 8 Aus der ersten Gleichung erhält man sofort den Parameter d = 0. Eingesetzt in die anderen Gleichungen erhält man ein Lineargleichungssystem 3. Ordnung. (1) 6a +2b = 0 (2) 3a +2b +c = 9 (3) a +b +c = 8 Nur in Gleichung (2) und (3) ist der Parameter c enthalten. Da der Parameter dort mit gleichem Koeffizienten 1 vorkommt, können die Gleichungen direkt voneinander subtrahiert werden. (2) 3a +2b +c = 9 (3) a +b +c = 8 (4) 2a +b = 1 Damit bleibt ein Lineargleichungssystem 2. Ordnung übrig. (1) 6a +2b = 0 (4) 2a +b = 1 Ich löse Gleichung (4) nach b auf und setze das Ergebnis in Gleichung (1) ein. 2a + b = 1 2a b = 1 2a 1 Der Koeffizient wird auch Vorzahl genannt. Das ist die Zahl, die vor einer Variablen steht. 3
4 Eingesetzt in (1): 6a + 2b = 0 6a + 2 ( 1 2a) = 0 6a 2 4a = a = 2 : 2 a = 1 Mit der umgestellten Gleichung (1) bestimme ich b. b = 1 2a = = 3 Beide Ergebnisse setze ich in Gleichung (3) ein, um c zu bestimmen. a + b + c = c = c = 6 Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung: f 1 (x) = x 3 3x 2 6x 4
5 Aufgabe 2 Ein Polynom 3. Grades hat einen Tiefpunkt bei T (5 12, 5) und einen Hochpunkt bei H(1 3, 5). Bestimmen Sie die Funktionsgleichung des Polynoms f(x)! f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d f (x) = 3ax 2 + 2bx + c Tiefpunkt bei x t = 5 : f (5) = 0 75a + 10b + c = 0 Funktionswert am Tiefpunkt x t = 5 : f(5) = 12, 5 125a + 25b + 5c + d = 12, 5 Hochpunkt bei x h = 1 : f (1) = 0 3a + 2b + c = 0 Funktionswert am Hochpunkt x h = 1 : f(1) = 3, 5 a + b + c + d = 3, 5 Wir haben ein Lineargleichungssystem 4. Ordnung erhalten. (1) 75a +10b +c = 0 (2) 125a +25b +5c +d = 12, 5 (3) 3a +2b +c = 0 (4) a +b +c +d = 3, 5 Man erkennt sofort, dass der Parameter d nur in zwei Gleichungen (2) und (4) vorkommt. Da jeweils d allein auftritt, können die Gleichungen sofort voneinander subtrahiert werden. (2) 125a +25b +5c +d = 12, 5 (4) a +b +c +d = 3, 5 (5) 124a +24b +4c = 16 Mit dieser Gleichung (5) anstelle von (2) und (4) bleibt ein Lineargleichungssystem 3. Ordnung übrig. (1) 75a +10b +c = 0 (3) 3a +2b +c = 0 (5) 124a +24b +4c = 16 Zur Vereinfachung kann Gleichung (5) noch durch 4 dividiert werden. (1) 75a +10b +c = 0 (3) 3a +2b +c = 0 (5) 31a +6b +c = 4 Jetzt sind alle Koeffizienten von c gleich. Daher bietet sich das Additions-/Subtraktionsverfahren an. Zunächst subtrahiere ich Gleichung (3) von Gleichung (1). (1) 75a +10b +c = 0 (3) 3a +2b +c = 0 (6) 72a +8b = 0 5
6 Dann subtrahiere ich Gleichung (5) von Gleichung (1). (1) 75a +10b +c = 0 (5) 31a +6b +c = 4 (7) 44a +4b = 4 Gleichung (6) und (7) stellen nun ein Lineargleichungssystem 4. Ordnung dar. (6) 72a +8b = 0 (7) 44a +4b = 4 Beide Gleichungen können noch etwas vereinfacht werden. Gleichung (6) lässt sich durch 8 dividieren und Gleichung (7) durch 4. (6) 9a +b = 0 (7) 11a +b = 1 In dieser Form lassen sich die Gleichungen voneinander subtrahieren, so dass b wegfällt. (6) 9a +b = 0 (7) 11a +b = 1 2a = 1 : 2 a = 0, 5 Dieses Ergebnis setze ich in Gleichung (6) ein. 9a + b = 0 9 0, 5 + b = 0 4, 5 b = 4, 5 Diese Ergebnisse setze ich in Gleichung (3) ein. 3a + 2b + c = 0 3 0, ( 4, 5) + c = 0 7, 5 + c = 0 + 7, 5 c = 7, 5 Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung: f(x) = 0, 5x 3 4, 5x 2 + 7, 5x 6
7 Aufgabe 3 Ein Polynom 3. Grades hat einen Hochpunkt bei H( 1 8). Bei x = 1 lässt sich die Gerade mit der Funktionsgleichung f 2 (x) = 4x + 4 als Tangente an den Graphen der gesuchten Funktion f 1 (x) legen. Bestimmen Sie diese Funktionsgleichung! f 1 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d f 1(x) = 3ax 2 + 2bx + c Hochpunkt bei x h = 1 : f 1( 1) = 0 3a 2b + c = 0 Funktionswert am Hochpunkt x h = 1 : f 1 ( 1) = 8 a + b c + d = 8 Steigung bei x 1 = 1 : f 1(1) = f 2(1) = 4 3a + 2b + c = 4 Funktionswert bei x 1 = 1 : f 1 (1) = f 2 (1) = 0 a + b + c + d = 0 Damit haben wir folgendes Gleichungssystem erhalten: (1) 3a 2b +c = 0 (2) a +b c +d = 8 (3) 3a +2b +c = 4 (4) a +b +c +d = 0 Es fällt auf, dass der Parameter d nur in Gleichung (2) und (4) enthalten ist. Daher ist es sinnvoll, diese beiden Gleichungen so miteinander zu kombinieren, dass d wegfällt. Das geht ab besten durch Subtrahieren. Die neue Gleichung bekommt die Nummer (5). (2) a +b c +d = 8 (4) a +b +c +d = 0 (5) = (4) (2) 2a +2c = 8 Zufälligerweise ist dabei auch b weggefallen. Auf jeden Fall haben wir jetzt nur noch 3 Gleichungen mit 3 Variablen. (5) 2a +2c = 8 (1) 3a 2b +c = 0 (3) 3a +2b +c = 4 Addiert man Gleichung (1) und (3), dann fällt b weg und es bleiben nur noch zwei Gleichungen mit zwei Variablen übrig. (1) 3a 2b +c = 0 (3) 3a +2b +c = 4 + (6) 6a +2c = 4 7
8 Das wiederum vereinfachte Gleichungssystem sieht folgendermaßen aus: (5) 2a +2c = 8 (6) 6a +2c = 4 In diesem Gleichungssystem kann bequem c eliminiert werden, wenn man die Gleichungen voneinander subtrahiert. (5) 2a +2c = 8 (6) 6a +2c = 4 4a = 4 : 4 a = 1 Das Ergebnis setze ich in Gleichung (5) ein. 2a + 2c = c = 8 2 2c = 10 : 2 c = 5 Beide Ergebnisse setze ich in Gleichung (1) ein. 3a 2b + c = b 5 = 0 2b 2 = b = 2 : ( 2) b = 1 Jetzt fehlt nur noch d. Dazu verwende ich Gleichung (4). a + b + c + d = d = d = 5 Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung: f 1 (x) = x 3 x 2 5x + 5 8
9 Aufgabe 4 Ein Polynom 3. Grades berührt bei x 1 = 2 die Tangente mit der Funktionsgleichung f 2 (x) = 8x 15. Der Funktionsgraph schneidet die y-achse bei y 0 = 1. Dort beträgt die Steigung m = 16. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f 1 (x)! f 1 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d f 1(x) = 3ax 2 + 2bx + c Steigung bei x 1 = 2 : f 1( 2) = f 2( 2) = 8 12a 4b + c = 8 Funktionswert bei x 1 = 2 : f 1 ( 2) = f 2 ( 2) = 1 8a + 4b 2c + d = 1 Funktionswert bei x 2 = 0 : f 1 (0) = 1 0 a + 0 b + 0 c + d = 1 Steigung bei x 2 = 0 : f 1(0) = 16 0 a + 0 b + c = 16 Bekannt sind aus den beiden letzten Gleichungen sofort c = 16 und d = 1. Setzen wir das in die beiden ersten Gleichungen ein, erhalten wir: (1) 12a 4b + c = 8 (2) 8a + 4b 2c + d = 1 (1) 12a 4b + 16 = 8 (2) 8a + 4b = 1 (1) 12a 4b = 24 (2) 8a + 4b = 32 Es bietet sich an, die beiden Gleichungen zu addieren, damit b wegfällt. (1) 12a 4b = 24 (2) 8a +4b = a = 8 : 4 a = 2 Das Ergebnis setze ich in Gleichung (2) ein. 8a + 4b = b = b = 48 : 4 b = 12 Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung: f 1 (x) = 2x x x + 1 9
10 Aufgabe 5 Ein Polynom 4. Grades ist spiegelsymmetrisch zur y-achse. Bei x w = 1 hat sie eine Wendetangente mit der Funktionsgleichung f 2 (x) = 8x + 6. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f 1 (x)! f 1 (x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e Wegen Spiegelsymmetrie: b = d = 0 also: f 1 (x) = ax 4 + cx 2 + e f 1(x) = 4ax 3 + 2cx f 1 (x) = 12ax 2 + 2c Wendepunkt bei x w = 1 : f 1 ( 1) = 0 12a + 2c = 0 Steigung bei x w = 1 : f 1( 1) = f 2( 1) = 8 4a 2c = 8 Funktionswert bei x w = 1 : f 1 ( 1) = f 2 ( 1) = 2 a + c + e = 2 Wir haben ein Gleichungssystem 3. Ordnung erhalten. (1) 12a +2c = 0 (2) 4a 2c = 8 (3) a +c +e = 2 Es fällt auf, dass die Koeffizienten von c in Gleichung (1) und (2) bis auf das Vorzeichen identisch sind. Addiert man diese Gleichungen, dann bleibt nur a übrig und kann aus dieser einen Gleichung berechnet werden. (1) 12a +2c = 0 (2) 4a 2c = 8 + 8a = 8 : 8 a = 1 Das Ergebnis setze ich in Gleichung (1) ein. 12a + 2c = c = c = c = 12 : 2 c = 6 Beide Ergebnisse werden in Gleichung (3) eingesetzt, um e zu bestimmen. a + c + e = e = e = e = 3 Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung: f 1 (x) = x 4 6x
11 Aufgabe 6 Ein Polynom 5. Grades ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Der Graph der Funktion hat einen Hochpunkt bei H(2 48) und schneidet die Gerade mit der Funktionsgleichung f 2 (x) = 5x + 19 an der Stelle x s = 1. Wie lautet die Funktionsgleichung f 1 (x) der gesuchten Funktion? f 1 (x) = ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f Wegen Punktsymmetrie: b = d = f = 0 also: f 1 (x) = ax 5 + cx 3 + ex f 1(x) = 5ax 4 + 3cx 2 + e Hochpunkt bei x h = 2 : f 1(2) = 0 80a + 12c + e = 0 Funktionswert bei x h = 2 : f 1 (2) = 48 32a + 8c + 2e = 48 Funktionswert bei x s = 1 : f 1 (1) = f 2 (1) = 24 a + c + e = 24 Wir haben ein Gleichungssystem 3. Ordnung erhalten. (1) 80a +12c +e = 0 (2) 32a +8c +2e = 48 (3) a +c +e = 24 Da das Gleichungssystem keine Besonderheiten aufweist, die ein bestimmtes Vorgehen als besonders günstig erscheinen lassen, wähle ich zur Lösung die Cramersche Regel. a = = = a = 1 b =
12 = 144 = b = 5 Zur Bestimmung von c setze ich diese Werte in Gleichung (3) ein. a + c + e = e = 24 4 e = 20 Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung: f 1 (x) = x 5 + 5x x 12
13 Aufgabe 7 Ein Polynom 4. Grades hat einen Sattelpunkt bei S(0 4). Bei x b = 2 berührt sie die Gerade mit der Funktionsgleichung f 2 (x) = 4x 8. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f 1 (x) der gesuchten Funktion! f 1 (x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e f 1(x) = 4ax 3 + 3bx 2 + 2cx + d f 1 (x) = 12ax + 6bx + 2c Sattelpunkt bei x s = 0 : f 1(0) = 0 0 a + 0 b + 0 c + d = 0 Sattelpunkt Wendepunkt bei x s = 0 : f 1 (0) = 0 0 a + 0 b + c = 0 Funktionswert bei x s = 0 : f 1 (0) = 4 0 a + 0 b + 0 c + 0 d + e = 4 Steigung bei x b = 2 : f 1(2) = f 2(2) = 4 32a + 12b + 4c + d = 4 Funktionswert bei x b = 2 : f 1 (2) = f 2 (2) = 0 16a + 8b + 4c + 2d + e = 0 Aus den ersten drei Gleichungen ergeben sich sofort die Parameter d = 0, c = 0 und e = 4. Diese Ergebnisse setze ich in die letzten beiden Gleichungen ein. (1) 32a + 12b + 4c + d = 4 (2) 16a + 8b + 4c + 2d + e = 0 (1) 32a + 12b = 4 (2) 16a + 8b + 4 = 0 (1) 32a + 12b = 4 (2) 16a + 8b = 4 Dividiert man die erste Gleichung durch 2, dann kann man die Gleichungen voneinander subtrahieren, um b zu erhalten. (1) 32a +12b = 4 : 2 (2) 16a +8b = 4 (1) 16a +6b = 2 (2) 16a +8b = 4 2b = 6 : 2 b = 3 Das Ergebnis setze ich in Gleichung (2) ein. 16a + 8b = 4 16a + 8 ( 3) = a = 20 : 16 a = 1, 25 Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung: f 1 (x) = 1, 25x 4 3x
14 Aufgabe 8 Ein Polynom 2. Grades (eine Parabel) berührt die Gerade mit der Funktionsgleichung f 2 (x) = 2x + 4 in ihrem Schnittpunkt mit der y-achse. Eine andere Parabel mit der Funktionsgleichung f 3 (x) = 2x 2 + 3x 1 schneidet die gesuchte Parabel bei x s = 2. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f 1 (x) der gesuchten Parabel! f 1 (x) = ax 2 + bx + c f 1(x) = 2ax + b Steigung bei x b = 0 : f 1(0) = f 2(0) = 2 0 a + b = 2 Funktionswert bei x b = 0 : f 1 (0) = f 2 (0) = 4 0 a + 0 b + c = 4 Funktionswert bei x s = 2 : f 1 (2) = f 3 (2) = 13 4a + 2b + c = 13 Die weitere Lösung ist sehr simpel. Aus den ersten beiden Gleichungen ergibt sich direkt b = 2 und c = 4. Diese Werte müssen nur noch in die dritte Gleichung eingesetzt werden. 4a + 2b + c = 13 4a + 2 ( 2) + 4 = 13 4a = 13 : 4 a = 3, 25 Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung: f 1 (x) = 3, 25x 2 2x
15 Aufgabe 9 Ein Polynom 3. Grades mit der Funktionsgleichung f 1 (x) schneidet die Parabel mit der Funktionsgleichung f 2 (x) = x 2 + 4x 4 bei x 1 = 1, bei x 2 = 2 und bei x 3 = 5. Außerdem hat der Graph der gesuchten Funktion einen Hochpunkt bei x h = 1. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f 1 (x) der gesuchten Funktion! f 1 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d f 1(x) = 3ax 2 + 2bx + c Funktionswert bei x 1 = 1 : f 1 ( 1) = f 2 ( 1) = 7 a + b c + d = 7 Funktionswert bei x 1 = 2 : f 1 (2) = f 2 (2) = 8 8a + 4b + 2c + d = 8 Funktionswert bei x 1 = 5 : f 1 (5) = f 2 (5) = a + 25b + 5c + d = 41 Hochpunkt bei x h = 1 : f 1(1) = 0 3a + 2b + c = 0 Wir haben ein Lineargleichungssystem 4. Ordnung erhalten. (1) a +b c +d = 7 (2) 8a +4b +2c +d = 8 (3) 125a +25b +5c +d = 41 (4) 3a +2b +c = 0 Es fällt auf, dass der Parameter d in Gleichung (4) nicht vorkommt und in den anderen Gleichungen jeweils nur einfach. Daher bietet es sich an, zunächst d zu eliminieren. Dazu subtrahiere ich Gleichung (1) von Gleichung (2) und erhalte Gleichung (5). (1) a +b c +d = 7 (2) 8a +4b +2c +d = 8 (5) 9a +3b +3c = 15 Dann subtrahiere ich Gleichung (2) von Gleichung (3) und erhalte Gleichung (6). (2) 8a +4b +2c +d = 8 (3) 125a +25b +5c +d = 41 (6) 117a +21b +3c = 33 Übrig bleibt ein Lineargleichungssystem 3. Ordnung. (4) 3a +2b +c = 0 (5) 9a +3b +3c = 15 (6) 117a +21b +3c = 33 Das Gleichungssystem lässt sich etwas vereinfachen, wenn man sowohl Gleichung (5) als auch Gleichung (6) durch 3 dividiert. (4) 3a +2b +c = 0 (5) 3a +b +c = 5 (6) 39a +7b +c = 11 15
16 Es fällt auf, dass in Gleichung (4) und (5) die Koeffizienten von a und c übereinstimmen. Das kann man ausnutzen, indem man die beiden Gleichungen voneinander subtrahiert. Dann fallen beide gleichzeitig weg! (4) 3a +2b +c = 0 (5) 3a +b +c = 5 (7) b = 5 Das Ergebnis wird nun in Gleichung (6) und entweder in Gleichung (4) oder Gleichung (5) eingesetzt. Ich wähle willkürlich Gleichung (5) aus. Dann bleibt ein Lineargleichungssystem 2. Ordnung übrig. (5) 3a 5 +c = 5 (6) 39a +7 ( 5) +c = 11 Aufgelöst in Normalform sieht das System so aus: (5) 3a +c = 10 (6) 39a +c = 46 Da jeweils c allein vorkommt, können die Gleichungen sofort voneinander subtrahiert werden. (5) 3a +c = 10 (6) 39a +c = 46 36a = 36 : 36 a = 1 Das Ergebnis setze ich in Gleichung (5) ein. 3a + c = c = 10 3 c = 7 Alle Ergebnisse setze ich in Gleichung (1) ein, um d zu bestimmen. a + b c + d = d = d = 6 Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung: f 1 (x) = x 3 5x 2 + 7x
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