Lineare Algebra und analytische Geometrie II

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1 Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 206 Lineare Algebra und analytische Geometrie II Vorlesung 33 Das Kreuzprodukt Eine Besonderheit im R 3 ist das sogenannte Kreuzprodukt, das zu zwei gegebenen Vektoren einen dazu senkrechten Vektor berechnet. Definition 33.. Zu einem Körper K ist auf dem K 3 durch x y = x x 2 y y 2 := x 2y 3 x 3 y 2 x y 3 +x 3 y x 3 y 3 x y 2 x 2 y eine Verknüpfung erklärt, die das Kreuzprodukt heißt. Statt Kreuzprodukt sagt man auch Vektorprodukt. Als Merkregel kann man x y = det e x y e 2 x 2 y 2 e 3 x 3 y 3 verwenden, wobei e,e 2,e 3 die Standardvektoren sind und formal nach der ersten Spalte zu entwickeln ist. So wie es dasteht, ist das Kreuzprodukt unter Bezug auf die Standardbasis definiert. Beispiel Das Kreuzprodukt der beiden Vektoren 5 8, 3 4 R 3 2 ist = 8 4 ( 2) =

2 2 Lemma Das Kreuzprodukt auf dem K 3 erfüllt die folgenden Eigenschaften (dabei sind x,y,z K 3 und a,b K). () Es ist (2) Es ist und (3) Es ist x y = (y x). (ax+by) z = a(x z)+b(y z) z (ax+by) = a(z x)+b(z y). x y = 0 genau dann, wenn x und y linear abhängig sind. (4) Es ist (5) Es ist x (y z)+y (z x)+z (x y) = 0. x y,z = det(x,y,z), wobei hier mit, die formale Auswertung im Sinne des Standardskalarproduktes gemeint ist. (6) Es ist x,x y = 0 = y,x y, wobei hier mit, die formale Auswertung im Sinne des Standardskalarproduktes gemeint ist. Beweis. () ist klar von der Definition. (2). Es ist a x x 2 +b y y 2 z z 2 = ax +by ax 2 +by 2 z z 2 x 3 y 3 z 3 ax 3 +by 3 z 3 = (ax 2 +by 2 )z 3 (ax 3 +by 3 )z 2 (ax +by )z 3 +(ax 3 +by 3 )z (ax +by )z 2 (ax 2 +by 2 )z = ax 2z 3 ax 3 z 2 ax z 3 +ax 3 z + by 2z 3 by 3 z 2 by z 3 +by z 3 ax z 2 ax 2 z by z 2 by 2 z = a x 2z 3 x 3 z 2 x z 3 +x 3 z +b y 2z 3 y 3 z 2 y z 3 +y z 3 x z 2 x 2 z y z 2 y 2 z = a(x z)+b(y z). Die zweite Gleichung folgt daraus und aus ().

3 (3). Wenn x und y linear abhängig sind, so kann man x = cy (oder umgekehrt) schreiben. Dann ist cy cy 2 y y 2 = cy 2y 3 cy 2 y 3 cy y 3 +cy 3 y = 0. cy 3 y 3 cy y 2 cy 2 y Wenn umgekehrt das Kreuzprodukt 0 ist, so sind alle Einträge des Vektors x 2y 3 x 3 y 2 x y 3 +x 3 y gleich 0. Sei beispielsweise y 0. Wenn x = 0, so folgt x y 2 x 2 y direkt x 2 = x 3 = 0 und x wäre der Nullvektor. Sei also x 0. Dann ist y 2 = y x x 2 und y 3 = y x x 3 und somit ist (4). Siehe Aufgabe y = y x x. (5). Es ist x y,z = x 2y 3 x 3 y 2 x y 3 +x 3 y, z z 2 x y 2 x 2 y z 3 = z x 2 y 3 z x 3 y 2 z 2 x y 3 +z 2 x 3 y +z 3 x y 2 z 3 x 2 y, was mit der Determinante wegen der Regel von Sarrus übereinstimmt. (6) folgt aus (5). Der uns in (5) begegnende Ausdruck x y,z, also die Determinante der drei Vektoren, wenn man diese als Spaltenvektoren auffasst, heißt auch Spatprodukt. Lemma Es sei u,u 2,u 3 eine Orthonormalbasis des R 3 mit det(u, u 2, u 3 ) =. Dann kann man das Kreuzprodukt x y mit den Koordinaten zu dieser Basis (und den Formeln aus Definition 33.) ausrechnen. Beweis. Es sei und Nach Satz 33.3 (2) ist x = c u +c 2 u 2 +c 3 u 3 y = d u +d 2 u 2 +d 3 u 3. x y = (c u +c 2 u 2 +c 3 u 3 ) (d u +d 2 u 2 +d 3 u 3 ) = i,j 3 3 c i d j (u i u j ).

4 4 Nach Satz 33.3 (3) ist und nach Satz 33.3 () ist u i u i = 0 u i u j = u j u i. Nach Satz 33.3 (6) steht u u 2 senkrecht auf u und u 2, daher ist u u 2 = λu 3 mit einem λ R, da diese Orthogonalitätsbedingung eine Gerade definiert. Wegen Satz 33.3 (5) und der Voraussetzung ergibt sich also ist λ = λu 3,u 3 = u u 2,u 3 = det(u, u 2, u 3 ) =, u u 2 = u 3. Ebenso ergibt sich, unter Verwendung von Lemma 7.2 (3), u u 3 = u 2 und u 2 u 3 = u. Somit ist insgesamt x y = c i d j (u i u j ) = i<j i,j 3 (c i d j c j d i )(u i u j ) und dies ist die Behauptung. = (c d 2 c 2 d )u 3 (c d 3 c 3 d )u 2 +(c 2 d 3 c 3 d 2 )u Isometrien Definition Es seien V, W Vektorräume über K mit Skalarprodukten und ϕ: V W eine lineare Abbildung. Dann heißt ϕ eine Isometrie, wenn für alle v,w V gilt: ϕ(v),ϕ(w) = v,w. Eine Isometrie ist stets injektiv. Bei K = C spricht man auch von unitären Abbildungen. In Abgrenzung zu affinen Isometrien, die wir später behandeln werden, spricht man auch von linearen Isometrien. Lemma Es seien V und W Vektorräume über K und ϕ: V W eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent. () ϕ ist eine Isometrie. (2) Für alle u,v V ist d(ϕ(u),ϕ(v)) = d(u,v). (3) Für alle v V ist ϕ(v) = v.

5 5 (4) Für alle v V mit v = ist auch ϕ(v) =. Beweis. Die Richtungen () (2), (2) (3) und (3) (4) sind Einschränkungen. (4) (3). Für den Nullvektor ist die Aussage (3) klar, sei also v 0. Dann besitzt v die Norm und wegen v ϕ(v) = ϕ ( v v v ) = v ϕ ( v v ist ϕ(v) = v. (3) () folgt aus Lemma 3.0. Lemma Seien V und W euklidische Vektorräume und sei ϕ: V W eine lineare Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. () ϕ ist eine Isometrie. (2) Für jede Orthonormalbasis u i,i =,...,n, von V ist ϕ(u i ),i =,...,n, Teil einer Orthonormalbasis von W. (3) Es gibt eine Orthonormalbasis u i,i =,...,n, von V derart, dass ϕ(u i ),i =,...,n, Teil einer Orthonormalbasis von W ist. ) Beweis. Siehe Aufgabe Die Menge der Vektoren mit Norm in einem euklidischen Vektorraum nennt man auch die Sphäre. Eine Isometrie lässt sich also dadurch charakterisieren, dass unter ihr die Sphäre in die Sphäre abgebildet wird. Satz Zu jedem euklidischen Vektorraum V gibt es eine bijektive Isometrie ϕ: R n V, wobei R n mit dem Standardskalarprodukt versehen sei. Beweis. Es sei u,...,u n eine Orthonormalbasis von V und sei ϕ: R n V die durch ϕ(e i ) = u i festgelegte lineare Abbildung. Nach Lemma 33.7 (3) ist dies eine Isometrie. Isometrien auf einem euklidischen Vektorraum Wir besprechen nun Isometrien von einem euklidischen Vektorraum in sich selbst. Diese sind stets bijektiv. Bezüglich einer jeden Orthonormalbasis von V werden sie folgendermaßen beschrieben.

6 6 Lemma Es sei V ein euklidischer Vektorraum und u,...,u n eine Orthonormalbasis von V. Es sei ϕ: V V eine lineare Abbildung und M die beschreibende Matrix zu ϕ bezüglich der gegeben Basis. Dann ist ϕ genau dann eine Isometrie, wenn ist. M tr M = E n Beweis. Sei zunächst ϕ eine Isometrie. Dann ist v i = ϕ(u i ) eine Orthonormalbasis nach Lemma 33.7, und diese bilden die Spalten der beschreibenden Matrix M. Daher ist unter Verwendung von Aufgabe 33.3 v tr i v j = v i,v j = δ ij. Als Matrixgleichung bedeutet dies M tr M = Das Argument rückwärts gelesen ergibt die Umkehrung. Die Menge der Isometrien auf einem euklidischen Vektorraum bildet eine Gruppe, und zwar eine Untergruppe der Gruppe aller bijektiven linearen Abbildungen. Wir erinnern kurz an die allgemeine und die spezielle lineare Gruppe. Zu einem Körper K und n N + nennt man die Menge aller invertierbarer n n-matrizen die allgemeine lineare Gruppe über K. Sie wird mit GL n (K) bezeichnet. Zu einem Körper K und n N + nennt man die Menge aller invertierbarer n n-matrizen mit det M = die spezielle lineare Gruppe über K. Sie wird mit SL n (K) bezeichnet. Definition EsseiK einkörperunde n dieeinheitsmatrixderlänge n. Eine Matrix M GL n (K) mit M tr M = E n heißt orthogonale Matrix. Die Menge aller orthogonalen Matrizen heißt orthogonale Gruppe, sie wird mit O n (K) = { M GL n (K) M tr M = E n } bezeichnet.

7 7 Definition 33.. Eine Matrix M GL n (C) mit M tr M = E n heißt unitäre Matrix. Die Menge aller unitären Matrizen heißt unitäre Gruppe, sie wird mit } U n = {M GL n (C) M tr M = E n bezeichnet. Eigenwerte bei Isometrien Satz Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und sei ϕ: V V eine lineare Isometrie. Dann besitzt jeder Eigenwert von ϕ den Betrag. Bei K = R sind nur die Eigenwerte und möglich. Beweis. Esseiϕ(v) = λv mitv 0,d.h.v isteineigenvektorzumeigenwert λ K. Wegen der Isometrieeigenschaft gilt v = ϕ(v) = λv = λ v. Wegen v = 0 folgt daraus λ =. Im Reellen bedeutet dies λ = ±. Im Allgemeinen muss eine Isometrie keine Eigenwerte besitzen, bei ungerader Dimension allerdings schon, siehe dazu die nächste Vorlesung. Lemma Die Determinante einer linearen Isometrie ϕ: V V auf einem euklidischen Vektorraum V ist oder. Beweis. Nach Lemma 33.9 ist M tr M = Somit folgt die Aussage aus dem Determinantenmultiplikationssatz und aus Satz 7.5. Eigentliche Isometrien Definition Eine Isometrie auf einem euklidischen Vektorraum heißt eigentlich, wenn ihre Determinante gleich ist.

8 8 Definition Es sei K ein Körper und n N +. Eine orthogonale n n-matrix mit det M = heißt spezielle orthogonale Matrix. Die Menge aller speziellen orthogonalen Matrizenheißtspezielle orthogonale Gruppe,siewirdmitSO n (K)bezeichnet. Definition Eine unitäre n n-matrix M GL n (C) mit det M = heißt spezielle unitäre Matrix. Die Menge aller speziellen unitären Matrizen heißt spezielle unitäre Gruppe, sie wird mit SU n bezeichnet.

9 Abbildungsverzeichnis Quelle = Cross product parallelogram.svg, Autor = Benutzer Acdx auf Commons, Lizenz = gemeinfrei 9