Die Ellipse gehört so wie der Kreis, die Hyperbel und die Parabel zu den Kegelschnitten.

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1 DIE ELLIPSE Die Ellipse gehört so wie der Kreis, die Hyperbel und die Parabel zu den Kegelschnitten. Die Ellipse besteht aus allen Punkten, für die die Summe der Abstände von zwei festen Punkten - den Brennpunkten F und F - konstant ist. Definition: ell = {P / PF + PF = a} A, B: Hauptscheitel C, D: Nebenscheitel F (-e/0), F (e/0): Brennpunkte e: Brennweite (lineare Exzentrizität) a: Hauptachse b: Nebenachse Formeln: Gleichung in. Hauptlage (=Mittelpunkt im Koordinatenursprung, Hauptachse auf der x-achse): b²x² + a²y² = a²b² x² y² + = a² b ² Gleichung in. Hauptlage (=Mittelpunkt im Koordinatenursprung, Hauptachse auf der y-achse): a²x² + b²y² = a²b² x² y² + = b² a ² Brennweite: e² = a² - b² Berührbedingung einer Ellipse in. Hauptlage: Berührbedingung einer Ellipse in. Hauptlage: a²k² + b² = d² b²k² + a² = d² Spaltform der Tangentengleichung für eine Ellipse in. Hauptlage [T(x /y ) ist der Tangentenpunkt]: b².x.x + a².y.y = b²a² Falls bei einer Ellipse b=e wird von einer gleichseitigen Ellipse gesprochen.

2 Lösen Sie mit Hilfe der obigen Formeln und Ihrem Kreis -Wissen folgende Beispiele:. Geben Sie an, um welche Kegelschnitte es sich handelt: a) x² + y² = 00 b) 3x² + 5y² = 5 c) 5x² + 3y² = 5 d) x² + y² 4y = e) x² - y² = 00 f) (x )² + (y + 4)² = 8. Wie lautet die Gleichung der Ellipse in. Hauptlage mit a = 5, b = 3? Berechnen Sie die Brennweite und geben Sie die Koordinaten der Brenn- und Scheitelpunkte an. 3. Berechnen Sie die fehlende Koordinate des Punktes P(x<0/0,8) der Ellipse x² + 6y² = Berechnen Sie von der Ellipse 6x² + 5y² = 400 die Länge der Halbachsen a und b und die Brennweite e! 5. Berechnen Sie von der Ellipse 4x² + 9y² = 34 die Länge der Halbachsen a und b und die Brennweite e! 6. Ermitteln Sie die Gleichung der Ellipse in. Hauptlage mit a = 0, die durch den Punkt P(8/3) geht! 7. P(-3/) und Q(4/,5) sind Punkte einer Ellipse in. Hauptlage. Geben Sie die Ellipsengleichung an und berechnen Sie die Brennweite. 8. Von einer Ellipse in. Hauptlage sind ein Brennpunkt F(-7/0) und ein Punkt P(-/) gegeben. Ermitteln Sie die Gleichung der Ellipse. 9. Ermitteln Sie die Lagebeziehung zwischen Ellipse und Gerade und geben Sie gegebenenfalls die Koordinaten der Schnittpunkte bzw. des Tangentenpunktes an. a) ell: 5x² + 0y² = 00, g: x - y = b) ell: 9x² + 4y² = 36, g: X = + s. 8 4 c) ell: 9x² + 5y² = 5, g: 4x + 5y = 5 0. Ermitteln Sie die zur Geraden g: y= x+ parallele Tangente an die ell: 8x²+50y²=450.. Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente t im Punkt T(/y>0) der ell: x² + 4y² = 7.. Von einer Ellipse in. Hauptlage ist die Tangente t: 4x + 9y = 75 und der Tangentenpunkt T(x/3) gegeben. Wie lautet die Ellipsengleichung? 3. Ermitteln Sie die Gleichung jener Tangente, die von P(8/-9) aus an die ell: x² + y² = 54 gelegt werden kann. ( Lösungen!) 4. Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen ell: x² + 9y² = 5 und Kreis k: x² + y² = Bestimmen Sie die gemeinsame Tangente von ell: 9x²+5y²=900 und k: x²+y² 6x=00.

3 Lösungen der Ellipsen-Beispiele:. Geben Sie an, um welche Kegelschnitte es sich handelt: a) x² + y² = 00 Kreis M(0/0), r=0 b) 3x² + 5y² = 5 Ellipse in. Hauptlage mit a²=5 und b²=3 e²= c) 5x² + 3y² = 5 Ellipse in. Hauptlage mit a²=5 und b²=3 e²= d) x² + y² 4y = Kreis M(0/), r=4 [ergibt sich aus der Umformung x² + (y-)²=6] e) x² y² = 00 Hyperbel [weil von der Form b²x² a²y² = a²b²] dazu später mehr f) (x )² + (y + 4)² = 8 Kreis M(/-4), r=9. Wie lautet die Gleichung der Ellipse in. Hauptlage mit a = 5, b = 3? Berechnen Sie die Brennweite und geben Sie die Koordinaten der Brenn- und Scheitelpunkte an. ell: b²x² + a²y² = a²b² ell: 9x² + 5y² = 5 Gleichung der Ellipse e² = a² b² e=4 Brennweite Brennpunkte F (-4/0), F (4/0); Scheitelpunkte: A(-5/0), B(5/0), C(0/3), D(0/-3) 3. Berechnen Sie die fehlende Koordinate des Punktes P(x<0/0,8) der Ellipse x² + 6y² = 6. Da P auf der Ellipse liegt, setze ich seine Koordinaten in die Ellipsengleichung ein x² + 6.0,8² = 6 x= 6 0,4 = 5,76 = ±, 4 P(-,4/0,8) 4. Berechnen Sie von der Ellipse 6x² + 5y² = 400 die Länge der Halbachsen a und b und die Brennweite e! Da 6.5 = 400 b²=6 und a²=5 Länge der Halbachsen: a=5, b=4 e² = a² b² e² = 5 6 Brennweite e=3 5. Berechnen Sie von der Ellipse 4x² + 9y² = 34 die Länge der Halbachsen a und b und die Brennweite e! Da muss ich die Gleichung erst so umformen, dass ich a und b ablesen kann. x² y² Die zugehörige Formel lautet: b²x² + a²y² = a²b² + = a² b ² 4 Ich forme 4x² + 9y² = 34 dementsprechend um zu: x ² 9 ² + y = und kürze x ² ² + y = 8 36 Nun kann ich a² und b² ablesen a²=8, b²=36 a=9, b=6 e² = a² b² e² = 8 36 = 45 Brennweite e 6,7

4 6. Ermitteln Sie die Gleichung der Ellipse in. Hauptlage mit a = 0, die durch den Punkt P(8/3) geht! Ich setze in die Ellipsengleichung a=0 und die Koordinaten von P ein b².8² + 0².3² = 0².b² 64b² = 00b² 36b² = 900 b² = 5 b=5 Die Ellipsengleichung lautet ell: 5x² + 00y² = 500 bzw. gekürzt: x² + 4y² = P(-3/) und Q(4/,5) sind Punkte einer Ellipse in. Hauptlage. Geben Sie die Ellipsengleichung an und berechnen Sie die Brennweite. Ich setze P in die Ellipsengleichung ein I 9b² + 4a² = a²b² Ich setze Q in die Ellipsengleichung ein II 6b² +,5a² = a²b² Nun subtrahiere ich die beiden Gleichungen -7b² +,75a² = 0 a² = 4b² Nun ersetze ich a² in einer der beiden Gleichungen durch 4b² I 9b² + 4.4b² = 4b².b² 5b² = 4b 4 [Ich dividiere durch b², das sowieso nicht 0 sein kann, weil ich sonst keine Ellipse hätte] 5 = 4b² b² = 6,5 Aus a² = 4.b² errechne ich mir a² = 5 Die Ellipsengleichung lautet 6,5x² + 5y² = 56,5 : 6,5 ell: x² + 4y² = 5 Brennweite e² = a² b² e² = 5 6,5 = 45 e 4,33 8. Von einer Ellipse in. Hauptlage sind ein Brennpunkt F(-7/0) und ein Punkt P(-/) gegeben. Ermitteln Sie die Gleichung der Ellipse. Ich setze P in die Ellipsengleichung ein I 4b² + 44a² = a²b² Ich setze in die Formel für e ein II 49 = a² b² a² = 49 + b² Nun setze ich a² = 49 + b² aus der. Gleichung in die. Gleichung ein 4b² + 44.(49 + b²) = (49 + b²).b² Ausrechnen und zusammenfassen b 4 99b² 7056 = 0 Ich löse diese biquadratische Gleichung b² = 47 [die., negative Lösung kommt nicht in Frage, da b positiv sein muss] a² = = 96 Die Ellipsengleichung lautet daher 47x² + 96y² = :49 ell: 3x² + 4y² = Ermitteln Sie die Lagebeziehung zwischen Ellipse und Gerade und geben Sie gegebenenfalls die Koordinaten der Schnittpunkte bzw. des Tangentenpunktes an. a) ell: 5x² + 0y² = 00, g: x - y = - Ich drücke aus g: x = y aus und setze in die Ellipse ein g ell: 5.(y )² + 0y² = 00 5.(4y² 8y + 4) + 0y² = 00 :5 4y² 8y y² = 0

5 8y² 8y 6 = 0 :8 y² y = 0 Das Lösen der quadratischen Gleichung ergibt: y =, y = - Nun berechne ich durch Einsetzen in die Geradengleichung die zugehörigen x-werte x =. = bzw. x =.(-) = -4 Gerade und ell schneiden einander; S (/), S (-4/-) 5 5 b) ell: 9x² + 4y² = 36, g: X = + s. 8 4 Ich spalte die Gerade auf [ x = -5 + s und y = 8 4s ] und setze in ell ein 9.(-5 + s)² + 4.( 8 4s )² = 36 Ausrechnen und zusammenfassen 89s² - 706s = 0 Das Lösen der quadratischen Gleichung ergibt unter der Wurzel eine negative Zahl Es gibt keinen Schnittpunkt im Reellen Die Gerade ist Passante zur Ellipse. c) ell: 9x² + 5y² = 5, g: 4x + 5y = 5 5 5y Ich forme g nach x um [ x = ] und setze in die Ellipsengleichung ein 4 5 5y y² = 5 Ausrechnen und zusammenfassen 65y² 50y + 05 = 0 :5 5y² 90y + 8 = 0 Das Lösen der quadratischen Gleichung ergibt unter der Wurzel 0, als einzige Lösung 5 5.,8 erhalten wir daher y =,8. Ich berechne x = = 4 4 Die Gerade ist eine Tangente an die Ellipse und der Tangentenpunkt lautet T(4/,8). 0. Ermitteln Sie die zur Geraden g: y= x+ parallele Tangente an die ell: 8x²+50y²=450. Parallele Geraden haben die gleiche Steigung. Ich kann daher die gesuchte Tangente mit t: y = x + d anschreiben. Um d zu berechnen, nütze ich mein Wissen, dass für die Tangente die Berührbedingung (BB) a²k² + b² = d² gilt. Ich setze alles ein, was ich kenne. Da muss ich mir erst aus der Ellipsengleichung a² und b² ausrechnen. x² y² Die zugehörige Formel lautet: b²x² + a²y² = a²b² + = a² b ² 8x² 50y² Ich forme 8x² + 50y² = 450 dementsprechend um zu: + = und kürze

6 x ² ² + y 5 9 = Nun kann ich a² und b² ablesen a²=5, b²=9 4 BB: = d² d² = 5 d = 5, d = -5 5 Es gibt daher zwei Tangenten t : y = x + 5 und t : y = x 5. Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente t im Punkt T(/y>0) der ell: x² + 4y² = 7. Zunächst berechne ich die y-koordinate des Tangentenpunktes, indem ich T in die Ellipsengleichung einsetze + 4y² = 7 y = ± Da y>0 sein soll T(/) Nun setze ich T in die Spaltform der Tangentengleichung b².x.x + a².y.y = b²a² Ein [Hinweis: Es reicht, die Ell.gleichung aufzuspalten ; in Fall der Tangentengleichung muss das a².b² der linken Seite nicht dem a².b² der rechten Seite entsprechen] t:.x + 4..y = 7 t: x + 8y = 7. Von einer Ellipse in. Hauptlage ist die Tangente t: 4x + 9y = 75 und der Tangentenpunkt T(x/3) gegeben. Wie lautet die Ellipsengleichung? Zunächst berechne ich den x-wert des Tangentenpunktes, indem ich in die Tangentengleichung einsetze x= T(/3) Nun setze ich T in die Ellipsengleichung ein 44b² + 9 a² = a².b² a² = 44b² b² Aus der Tangente kann ich k und d berechnen: y = - x + k =, d = Nun setze ich k, d und a² in die Berührbedingung a²k² + b² = d² ein 44b ² b² = b² b ² b² = b² (b² 9) 44b² (b² 9).b² = 565.( b² 9) 8b b² = 0 :8 b 4 50b² + 65 = 0 b² = Oben einsetzen a² = = ell: 5x² + 5y² = 5.5 :5 ell: x² + 9y² = 5 Ausrechnen und zusammenfassen Ich löse diese biquadratische Gleichung

7 3. Ermitteln Sie die Gleichung jener Tangente, die von P(8/-9) aus an die ell: x² + y² = 54 gelegt werden kann. ( Lösungen!) P ist ein Punkt einer Tangente (aber nicht der Ellipse!) in y = kx + d einsetzen -9 = k.8 + d d = -9 8k Aus der Ellipsengleichung errechne ich mit a² und b² x² y² Die zugehörige Formel lautet: b²x² + a²y² = a²b² + = a² b ² Ich forme x² + y² = 54 dementsprechend um zu: x ² ² + y = und kürze x ² ² + y = Nun kann ich a² und b² ablesen a²=54, b²= Nun setze ich d, a² und b² in die Berührbedingung a²k² + b² = d² ein 54k² + 7 = (-9 8k)² Ausrechnen und zusammenfassen 70k² + 34k + 54 = 0 :54 5k² + 6k + = 0 Ich löse diese quadratische Gleichung k = - bzw. k = Nun berechne ich d aus d = -9 8k d = 9 bzw. d = Die beiden Tangenten lauten: t : y = -x + 9 bzw. t : y = x Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen ell: x² + 9y² = 5 und Kreis k: x² + y² = 97. Zunächst muss ich die Schnittpunkte von Kreis und Ellipse berechnen: ell: x² + 9y² = 5 k: x² + y² = 97 ell k: 8y² = 8 y² = 6 y = ±4 Ich berechne x (z.b. aus der Kreisgleichung) x² = 8 x = ±9 Es gibt vier Schnittpunkte S (9/4), S (-9/4), S 3 (9/-4), S 4 (-9/-4). Da Ellipse und Kreis symmetrisch bzgl. der x- und der y-achse liegen, sind alle Schnittwinkel gleich und ich brauche daher nur den Schnittwinkel in einem der Schnittpunkte berechnen. Schnittwinkel zwischen Kegelschnitten sind als der Winkel definiert, den die Tangenten in Schnittpunkt einschließen Ich lege in S die Tangente an k und an ell. Das mache ich in beiden Fällen über die Spaltform (S ist ja der Tangentenpunkt der beiden Figuren) t Kreis : 9.x + 4.y = 97 9x + 4y = 97 t Ellipse : 9.x y = 5 9x + 36y = 5

8 Für die Schnittwinkelberechnung nehme ich die Cos-Formel und lese aus den beiden 9 9 Tangenten die jeweiligen Normalvektoren ab: n Kreis =, n Ellipse = cosα= + = = 0, α=5 9² + 4². ² + 4² Der Schnittwinkel zwischen Kreis und Ellipse beträgt ca Bestimmen Sie die gemeinsame Tangente von ell: 9x²+5y²=900 und k: x²+y² 6x=00. Eine gemeinsame Tangente muss sowohl die Berührbedingung für den Kreis als auch jene für die Ellipse erfüllen. BB für den Kreis: r².( + k²) = (uk v + d)² BB für die Ellipse: a²k² + b² = d² Um in die BBs einsetzen zu können, muss ich vom Kreis den M(u/v) und den Radius r ablesen und von der Ellipse a² und b²: k: x² 6x + y² = 00 (x 8)² 64 + y² = 00 (x 8)² + y² =64 M(8/0), r²=64 x² y² ell: 9x² + 5y² = 900 Auf die Form + = bringen a²=00, b²=36 a² b ² Nun können wir in die BBs einsetzen BB für den Kreis: 64.(+k²) = (8.k 0 + d)² k² = 64k² + 6kd + d² 00k² + 64 = d² + 6kd BB für die Ellipse: 00.k² + 36 = d² Die beiden Gleichungen subtrahiert ergibt: 8 = 6kd d = k Nun setze ich d = in die BB der Ellipse ein 00k² + 36 = k k 64 00k² + 36 =.k² k² 00k k² 64 = 0 Ich löse diese biquadratische Gleichung 36 ± 36² 4.00.( 64) 36 ± 64 6 k² = = k²= [Die zweite, negative, Lösung kommt nicht in Frage, da ich, um k zu berechnen ja nun noch die Wurzel ziehen muss und aus einer negativen Zahl im Reellen die Wurzel nicht gezogen werden kann] k = 5 4, k = 4 5 Aus d = k 8 berechne ich d = 8: 5 4 = =0 t : y = 5 4 x + 0 Aus d = k 8 berechne ich d = 8: (- 5 4 )= = -0 t : y = x 0

9 DIE HYPERBEL Die Hyperbel gehört so wie der Kreis, die Ellipse und die Parabel zu den Kegelschnitten. Die Hyperbel besteht aus allen Punkten, für die die Differenz der Abstände von den Brennpunkten konstant ist. Sie besteht aus zwei Ästen und besitzt zwei Asymptoten. Definition: hyp = {P / PF - PF = a} A, B: Hauptscheitel C, D: Nebenscheitel F (-e/0), F (e/0): Brennpunkte a: Hauptachse b: Nebenachse e: Brennweite (lineare Exzentrizität) u, v: Asymptoten Formeln: Gleichung in. Hauptlage (=Mittelpunkt im Koordinatenursprung, Hauptachse auf der x-achse): b²x² a²y² = a²b² x² y² = a² b ² Gleichung in. Hauptlage (=Mittelpunkt im Koordinatenursprung, Hauptachse auf der y-achse): a²x² + b²y² = a²b² x² y² + = b² a² Brennweite: e² = a² + b² Berührbedingung einer Hyperbel in. Hauptlage: a²k² b² = d² Spaltform der Tangentengleichung für eine Hyperbel in. Hauptlage [T(x /y ) ist der Tangentenpunkt]: b².x.x a².y.y = b²a² Asymptoten in. Hauptlage: b y = ±. x a Bei einer gleichseitigen Hyperbel ist a = b.

10 Löse nun mit Hilfe der obigen Formeln und deinem Kreis- und Ellipsen -Wissen folgende Beispiele:. Gib an, um welche Kegelschnitte es sich handelt: a) 5x² + y² = 60 b) 3x² 5y² = 5 c) -5x² + 3y² = 5 d) x² + y² = 6 e) x² y² = 00 f) (x 3)² + (y + 7)² = 5. Wie lautet die Gleichung der Hyperbel in. Hauptlage mit a = 5, b = 3? Berechne außerdem die Brennweite und gib die Koordinaten der Brenn- und Scheitelpunkte an. 3. Ermittle die Gleichung der gleichseitigen Hyperbel mit a=b=9. 4. Ermittle die Gleichung der Hyperbel in. Hauptlage mit a=6 und e=0. 5. Berechne die fehlende Koordinate des Punktes P(8/y>0) der Hyperbel 5x² 4y² = Berechne von der Hyperbel 5x² 4y² = 0 die Länge der Halbachsen a und b und die Brennweite e! 7. Berechne von der Hyperbel 8x² 3y² = 88 die Länge der Halbachsen a und b und die Brennweite e! 8. Ermittle die Gleichung der Hyperbel in. Hauptlage mit a = 0, die durch den Punkt P(6/) geht! 9. P(-3/,5) und Q(0/-8) sind Punkte einer Hyperbel in. Hauptlage. Gib die Hyperbelgleichung an und berechne die Brennweite. 0. Von einer Hyperbel in. Hauptlage sind ein Brennpunkt F(-5/0) und ein Punkt P(4. 0 /-9) gegeben. Ermittle die Gleichung der Hyperbel.. Ermittle die Lagebeziehung zwischen der Hyperbel hyp: x² - 4y² = 00 und der Gerade g. Gib gegebenenfalls die Koordinaten der Schnittpunkte bzw. des Tangentenpunktes an. 4 a) g: x y = 30 b) g: X = + s. c) g: y = x 3. Ermittle die zur Geraden g: y = x + parallele Tangente an die hyp: x² 4y² = Ermittle die Gleichung der Tangente t im Punkt T(x<0/ ) der hyp: 6x² 9y² = Von einer Hyperbel in. Hauptlage sind der Punkt P( /-4) und die Asymptote 3 u: 3x 5y = 0 gegeben. Wie lautet die Hyperbelgleichung? 5. a) Ermittle die Gleichung jener Tangente, die von P(9/6) aus an die hyp: x² y² = 60 gelegt werden kann. b) Berechne auch die Tangentenpunkte. c) Welchen Winkel schließen die Tangenten ein? d) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks PT T. 6. Berechne den Schnittwinkel zwischen hyp: 3x² y² = 0 und Kreis k: x² + y² = Bestimme die gemeinsame Tangente von hyp: 9x² 5y² = 900 und ell: 9x² + 5y² = 5.

11 Lösung der Hyperbelbeispiele:. Gib an, um welche Kegelschnitte es sich handelt: a) 5x² + y² = 60 Ellipse in. Hauptlage mit b²=5 und a²= b) 3x² 5y² = 5 Hyperbel in. Hauptlage mit b²=3 und a²=5 c) -5x² + 3y² = 5 Hyperbel in. Hauptlage mit a²=5 und b²=3 d) x² + y² = 6 Kreis mit M(0/0), r=4 e) x² y² = 00 Gleichseitige Hyperbel in. Hauptlage mit a=b=0 f) (x 3)² + (y + 7)² = 5 Kreis mit M(3/-7), r=5. Wie lautet die Gleichung der Hyperbel in. Hauptlage mit a = 5, b = 3? Berechne außerdem die Brennweite und gib die Koordinaten der Brenn- und Scheitelpunkte an. hyp: 9x² 5y² =5 e² = a² + b² e = 34 A(-5/0), B(5/0), C(0/3), D(0/-3), F (- 34 /0), F ( 34 /0) 3. Ermittle die Gleichung der gleichseitigen Hyperbel mit a=b=9. hyp: b²x² a²y² = a²b² bei a=b=9: 8x² - 8y² = 8.8 hyp: x² - y² = 8 4. Ermittle die Gleichung der Hyperbel in. Hauptlage mit a=6 und e=0. e² = a² + b² b = hyp: a²x² + b²y² = a²b² -6²x² + ²y² = 6².² -56x² + 44y² = :6 hyp: -6x² + 9y² = Berechne die fehlende Koordinate des Punktes P(8/y>0) der Hyperbel 5x² 4y² = 0. Ich setze P in die Hyperbelgleichung ein 5.8² 4y² = 0 y²=400 y=±0 P(8/0) 6. Berechne von der Hyperbel 5x² 4y² = 0 die Länge der Halbachsen a und b und die Brennweite e! Da 5.4 = 0 b²=5, a²= 4 a=, b= 5 e² = a² + b² e = 3 7. Berechne von der Hyperbel 8x² 3y² = 88 die Länge der Halbachsen a und b und die Brennweite e! x² y² Da Ich muss die Hyperbelgleichung zu = umformen a² b ²

12 8x² 3y² = x ² ² y = a²=6, b²=9 a=4, b=3 e² = a² + b² e = 5 8. Ermittle die Gleichung der Hyperbel in. Hauptlage mit a = 0, die durch den Punkt P(6/) geht! hyp: b²x² a²y² = a²b² Bei a=0 b²x² 00y² = 00b² Weil ich weiß, dass P(6/) auf der Hyperbel liegt, kann ich ihn einsetzen b².6² 00.² = 00b² 576b² = 4400 b²=5 hyp: 5x² - 00y² = 500 Dies kann ich noch vereinfachen zu hyp: x² - 4y² = P(-3/,5) und Q(0/-8) sind Punkte einer Hyperbel in. Hauptlage. Gib die Hyperbelgleichung an und berechne die Brennweite. Ich setze P und Q in die Hyperbelgleichung b²x² a²y² = a²b² ein I 69b² 6,5a²= a².b² II 400b² 64a²= a².b² Ich subtrahiere die beiden Gleichungen, drücke mir a² aus und setze in eine der Gleichungen ein: -3b² + 57,75a² = 0 a² = 4b² II 400b² b² = 4b².b² :4b² = b² 36 = b² a² = 4.36 = 44 hyp: 36x² 44y² = :36 hyp: x² 4y² = 44 Um die Brennweite zu berechnen, setze ich in e² = a² + b² ein e 3,4 0. Von einer Hyperbel in. Hauptlage sind ein Brennpunkt F(-5/0) und ein Punkt P(4. 0 /-9) gegeben. Ermittle die Gleichung der Hyperbel. e²=a²+b² kann ich umformen zu a²=e²-b² und für e kann ich 5 einsetzen a² = 5 b² P kann ich in die Hyperbelgleichung b²x² a²y² = a²b² einsetzen und a² kann ich in der Hyperbelgleichung durch 5 b² ersetzen b².60 (5 b²).8 = (5 b²).b² Ausrechnen und zusammenfassen b 4 + 6b² 05 = 0 Ich löse die biquadratische Gleichung und erhalte b² = 9 Aus a² = 5 b² folgt a² = 5 9 = 6. Somit lautet die Hyperbelgleichung hyp: 9x² 6y² = 44

13 . Ermittle die Lagebeziehung zwischen der Hyperbel hyp: x² 4y² = 00 und der Gerade g. Gib gegebenenfalls die Koordinaten der Schnittpunkte bzw. des Tangentenpunktes an. a) g: x y = 30 Ich forme g um zu y = x 30 und setze in die Hyperbelgleichung ein x² 4.( x 30)² = 00 x² 4.(4x² 0x + 900) = 00-5x² + 480x = 3700 :(-5) 3x² - 96x = 0 Das Lösen der quadratischen Gleichung ergibt zwei Werte x,94 und x 9,06 Die Gerade schneidet die Hyperbel in zwei Punkten. Ich berechne die zugehörigen y- Werte, indem ich in die Geradengleichung einsetze y -4, und y 8, S (,94/-4,), S (9,06/8,) 4 b) g: X = + s. 3 Ich spalte die Gerade auf in x=+4s und y=-+3s und setze in die Hyperbelgleichung ein (+4s)² 4.( -+3s)² = 00 Ich berechne und fasse zusammen s + 576s² 4.( 6s + 69s²) = s + 576s² s 676s² = 00 00s² 00s + 00 = 0 :00 s² - s + = 0 s = ± 0 = Es gibt nur einen Schnittpunkt Die Gerade ist Tangente an die Hyperbel. Wenn ich für s= einsetze, kann ich den Tangentenpunkt berechnen T(6/) c) g: y = x Ich setze in die Hyperbelgleichung ein x² 4.( x )² = 00 Ich berechne und erhalte eine quadratische Gleichung 5x² - 6x + 04 = 0 Beim Lösen dieser quadratischen Gleichung erhalte ich unter der Wurzel eine negative Zahl es gibt keine reelle Lösung Die Gerade ist Passante.. Ermittle die zur Geraden g: y = x + parallele Tangente an die hyp: x² 4y² =. Die parallele Tangente muss die gleiche Steigung wie die Gerade g haben (in diesem Fall also k=), ihr d kenne ich noch nicht. Ich weiß aber auch, dass die Berührbedingung erfüllt sein muss, da die Gerade ja Tangente ist. Ich errechne mir aus der Hyperbelgleichung a² und b². Da.4 Ich muss die x² y² Hyperbelgleichung zu = umformen a² b ² x ² 4 ² y = x ² ² y = 3 a²=, b²=3 Nun setze ich alle bekannten Größen in BB a²k² - b² = d² ein.² - 3 = d² d = ±3 Es gibt zwei Lösungen: t : y = x + 3 und t : y = x 3

14 0 3. Ermittle die Gleichung der Tangente t im Punkt T(x<0/ ) der hyp: 6x² 9y² = Zunächst berechne ich die x-koordinate, indem ich den y-wert in die Hyperbelgleichung einsetze: 6x² 9. = 304 x = ±3 T(-3/ ) 9 3 Nun stelle ich über die Spaltform b².x.x a².y.y = b²a² die Tangente auf 0 t: 6.(-3).x 9..y = x 60y = 304 bzw. t: -5x 5y = Von einer Hyperbel in. Hauptlage sind der Punkt P( /-4) und die Asymptote 3 u: 3x 5y = 0 gegeben. Wie lautet die Hyperbelgleichung? Durch einen Vergleich der Gleichung der Asymptote der Hyperbel gegebenen Asymptote 3 y =. x weiß ich, dass 5 b 3 = a 5 5b a= 3 b y = ±. x und der a 5b Nun kann ich P in die Hyperbelgleichung einsetzen und dabei a durch ersetzen 3 5 5b 5b ( )².b² - (-4)².( )² = ( )².b² Ich berechne und fasse zusammen 65 5b² 5b² b ² 6. =. b².9:b² = 5b² b² = 9 b = Nun kann ich a berechnen: a= = 5 und die Hyperbelgleichung aufstellen 3 hyp: 9x² - 5y² = 5 5. a) Ermittle die Gleichung jener Tangente, die von P(9/6) aus an die hyp: x² y² = 60 gelegt werden kann. b) Berechne auch die Tangentenpunkte. c) Welchen Winkel schließen die Tangenten ein? d) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks PT T. a) Zunächst berechne ich aus der Hyperbelgleichung a² und b²: x ² ² y = a²=b²= P ist ein Punkt meiner Tangente, die weil sie ja eine Gerade ist sicher von der Form y=kx+d ist ich kann P(9/6) in die Geradengleichung einsetzen 6=9k+d d=6 9k Außerdem muss die Berührbedingung gelten, da die Gerade ja Tangente an die hyp sein soll ich setze alle mir bekannten Größen in die BB ein 60.k² - 60 = (6-9k)² 60k² - 60 = 36 08k + 8k² k² - 08k + 96 = 0 08 ± 08² ± 60 k= =. 4 k =4, k = 48 8 = 4 7

15 8 30 Nun berechne ich die zugehörigen d d =6-9.4=--30, d =6-9. = Die Tangenten lauten daher: t : y = 4x 30, t : y=.x bzw. 8x 7y = b) Zur Berechnung der Tangentenpunkte verwende ich die Spaltform der Tangente (ich könnte auch die Tangente und die Hyperbel schneiden und muss wenn ich mich nicht verrechnet habe beim Lösen der quadratischen Gleichung unter der Wurzel 0 erhalten ich bekomme die Koordinaten des Tangentenpunktes). Meine Tangente an die Hyperbel lautet in der Spaltform: x.x y.y = 60. Vergleiche ich dies mit t : y = 4x 30, so zeigt sich folgendes: t: x.x y.y = 60 t : 4x y = 30 Ich multipliziere mit, damit auf der rechten Seite auch 60 steht t : 8x y = 60 Nun kann ich einen Koeffizientenvergleich machen x =8, y = T (8/) Desgleichen vergleiche ich t in der Spaltform mit t : 8x 7y = 30: t: x.x y.y = 60 t : 8x 7y = 30 Ich multipliziere mit, damit auf der rechten Seite auch 60 steht t : 6x 4y = 60 Nun kann ich einen Koeffizientenvergleich machen x =6, y =4 T (6/4) c) Zur Berechnung des Winkels zwischen den Tangenten verwende ich die cos-formel und setze als Vektoren jeweils die Normalvektoren der Tangenten ein cosα = = = 0, 8898 α 7, Der Winkel zwischen den beiden Tangenten beträgt ca. 7,5. d) Für die Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks PT T verwende ich die Formel A Dreieck =. AB AC. Wir haben die Formel zwar im dreidimensionalen Raum kennen gelernt, aber wir können uns ja vorstellen, dass wir das Dreieck in die x-y-ebene legen ( z=0). Ich stelle daher die Vektoren PT und PT auf und ergänze durch z=0. PT = PT = 8 Nun setze ich in die Formel ein 0

16 A Dreieck 7 =. PT PT =. 4 x =. 0 0² = = = Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt 0 AE Berechne den Schnittwinkel zwischen hyp: 3x² y² = 0 und Kreis k: x² + y² = 39. hyp: 3x² y² = 0 k: x² + y² = 39 4x² = 49 x = ±3,5 Ich setze in k ein und berechne y y= ± 6, 75 T(±3,5 / ± 6, 75 ) Zur Schnittwinkelberechnung lege ich nun die Tangenten in T T(3,5 / 6, 75 ) t k : 3,5.x + 6, 75.y = 39 n t hyp : 3.3,5.x - 6, 75.y = 0 3,5 = 6,75 n 0,5 = 6,75 Mit der cosα-formel berechne ich den Schnittwinkel: 3,5 0,5. 6,75 6,75 36,75 6,75 0 cosα = = = 0, 368 3,5² + 6,75. 0,5² + 6, α 8, 7. Bestimme die gemeinsame Tangente von hyp: 9x² 5y² = 900 und ell: 9x² + 5y² = 5. Ich berechne aus der ell und der hyp jeweils a und b und setze in die jeweiligen Berührbedingungen ein ell: b² = 9, a² = 5 (weil 9.5=5) BB ell : 5k² + 9 = d² hyp: Hier muss ich die Gleichung erst umformen, um a² und b² ablesen zu können: x ² ² y = a² = 00, b² = 36 BB hyp : 00k² - 36 = d² Ich schreibe untereinander BB ell : 5k² + 9 = d² BB hyp : 00k² - 36 = d² und subtrahiere -75k² + 45 = 0 k² = = k= ± Nun kann ich noch d berechnen, z.b. aus 5k² + 9 = d² d= ± = ± 5 4 Wir erhalten daher vier Tangenten:

17 t : y= 3 3 x + 4 t : y= x t 3 : y= 3 3 x 4 t4 : y= x 5 5 4

18 DIE PARABEL Die Parabel gehört so wie der Kreis, die Ellipse und die Hyperbel zu den Kegelschnitten. Die Parabel hat nur einen Brennpunkt. Sie besteht aus allen Punkten, die vom Brennpunkt denselben Abstand wie von der Leitlinie l haben. Definition: par={p PF = Pl} Scheitel S(0/0) Brennpunkt F( p / 0) l: Leitlinie a: Achse p: Parameter (Abstand Brennpunkt - Leitlinie) Parabel in. Hauptlage y² = px Parabel in. Hauptlage x² = py Parabel in 3. Hauptlage y² = -px Parabel in 4. Hauptlage x² = -py

19 Formeln für die Parabel in. Hauptlage: Gleichung der Parabel in. Hauptlage: y² = px Brennweite: e = p Berührbedingung: p = kd Spaltform der Tangentengleichung [T(x /y ) ist der Tangentenpunkt]: y.y = p.(x + x ) Gleichung der Leitgeraden l: x = p

20 Löse nun mit Hilfe der obigen Formeln und deinem Kreis-, Ellipsen- und Hyperbel- Wissen folgende Beispiele:. Gib an, um welche Kegelschnitte es sich handelt: a) x² = -6y b) 3x² 5y² = 5 c) x² + 5y² = 0 d) x² + y² = 9 e) y² = 8x f) (x )² + y² = 5. Wie lautet die Gleichung der Parabel in. Hauptlage mit a) p= 6, b) F(5/0), c) der Leitgeraden l: x = - 3? 3. Wie lautet die Gleichung der Parabel in 4. Hauptlage mit a) p= 6, b) F(0/-4), c) der Leitgeraden l: y = 5? 4. Ermittle die Gleichung der Parabel in. Hauptlage, die den Punkt P(9/6) enthält. Gib auch die Koordinaten des Brennpunktes an und zeichne die Parabel. 5. Berechne die fehlende Koordinate des Punktes P(x/0) der Parabel y² = 0x. 6. Ermittle die Lagebeziehung zwischen der Parabel par: y² = 8x und der Gerade g. Gib gegebenenfalls die Koordinaten der Schnittpunkte bzw. des Tangentenpunktes an. 5 3 a) g: y = x + b) g: X = + s. c) g: y = 3x Ermittle die zur Geraden g: y = x + parallele Tangente an die par: y² = x. Gib auch die Koordinaten des Tangentenpunktes an. 8. Ermittle die Gleichung der Tangente t im Punkt T(4/y>0) der par: y² = 6x. 9. Ermittle die Gleichung der Parabel in. Hauptlage, die von der Geraden 0x 4y = -5 berührt wird. 0. a) Ermittle die Gleichung jener Tangente, die von P(-4/) aus an die par: y² = 8x gelegt werden kann. b) Berechne auch die Tangentenpunkte. c) Welchen Winkel schließen die Tangenten ein? d) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks PT T.. Berechne den Schnittwinkel zwischen par: y² = 9x und Kreis k: x² + y² = 36.. Bestimme die gemeinsame Tangente von par: y² = 30x und Kreis k: x² + y² = Durch den Punkt P(x/) der Parabel y²=x wird eine Gerade g mit der Steigung k=-0,5 gelegt. Der Schnittpunkt der Geraden g mit der x-achse ist der Mittelpunkt eines Kreises, der durch den Punkt P verläuft. Gib die Kreisgleichung an. 4. Der Parabel y² = 9x wird ein gleichseitiges Dreieck so eingeschrieben, dass ein Eckpunkt dem Scheitel der Parabel entspricht. Gib die Koordinaten der anderen beiden Eckpunkte des Dreiecks an und berechne den Flächeinhalt des Dreiecks.

21 Lösungen der Parabel-Beispiele:. Gib an, um welche Kegelschnitte es sich handelt: a) x² = -6y Parabel in 4. Hauptlage mit p=3 b) 3x² 5y² = 5 Hyperbel in. Hauptlage mit b²=3 und a²=5 c) x² + 5y² = 0 Ellipse in. Hauptlage mit b²= und a²=5 d) x² + y² = 9 Kreis in Mittelpunktslage mit M(0/0) und r=3 e) y² = 8x Parabel in. Hauptlage mit p=4 f) (x )² + y² = 5 Kreis mit M(/0) und r=5. Wie lautet die Gleichung der Parabel in. Hauptlage mit a) p= 6, b) F(5/0), c) der Leitgeraden l: x = - 3? a) par: y² = x b) e=5 p=e=0 par: y² = 0x c) Leitgeraden l: x = p Aus l: x = - 3 daher p=6 par: y² = x 3. Wie lautet die Gleichung der Parabel in 4. Hauptlage mit a) p= 6, b) F(0/-4), c) der Leitgeraden l: y = 5? a) par: x² = -y b) e=4 p=e=8 par: x² = -8y c) Leitgeraden l: y = p Aus l: y = -5 daher p=0 par: x² = -0y 4. Ermittle die Gleichung der Parabel in. Hauptlage, die den Punkt P(9/6) enthält. Gib auch die Koordinaten des Brennpunktes an und zeichne die Parabel. Die Gleichung einer Parabel in. Hauptlage lautet y²=px. Da P(9/6) auf der Parabel liegt, setze ich ihn in die Gleichung ein 6²=.p.9 p= par: y²=4x. F( p /0) F(/0) Wertetabelle: x y= 4 x 0 0 ± ±,8 3 ±3,46 4 ±4

22 5. Berechne die fehlende Koordinate des Punktes P(x/0) der Parabel y² = 0x. Ich setze P in die Parabelgleichung ein 0² = 0x x =00:0 = 5 P(5/0) 6. Ermittle die Lagebeziehung zwischen der Parabel par: y² = 8x und der Gerade g. Gib gegebenenfalls die Koordinaten der Schnittpunkte bzw. des Tangentenpunktes an. a) g: y = x + Ich forme g nach x um und setze in die Parabelgleichung ein y²=8.(y ) y² 8y + 6 = 0 Das Lösen der quadratischen Gleichung ergibt y = 4. Nun setze ich y = 4 in die Geradengleichung ein x = 4 = Gerade und Parabel berühren einander im Punkt T(/4). 5 3 b) g: X = + s. 6 Ich splitte die Geradengleichung in x = 5 + 3s und y = 6 + s auf und setze in die Parabelgleichung ein (6 + s)² = 8.(5 + 3s) s + 4s² = s 4s² = 4 s² = s = ± Wenn ich die beiden Werte für s in die Geradengleichung einsetze erhalte ich zwei Punkte Die Gerade und die Parabel schneiden einander in S (/4) und S (8/8). c) g: y = 3x + 5 Ich setze statt y in die Parabelgleichung 3x + 5 ein (3x + 5)² = 8x 9x² + 30x + 5 = 8x 9x² + x + 5 = 0 Beim Lösen der quadratischen Gleichung erhalt eich unter der Wurzel eine negative Zahl (hier -46) es gibt keine Lösung im Reellen Die Gerade und die Parabel schneiden einander nicht, die Gerade ist Passante zur Parabel. 7. Ermittle die zur Geraden g: y = x + parallele Tangente an die par: y² = x. Gib auch die Koordinaten des Tangentenpunktes an. Die zu g parallele Tangente hat die gleiche Steigung wie g k= Für die Tangente gilt die Berührbedingung p=kd. P kann ich aus der Parabelgleichung y²=x ablesen (allg. y²=px) p=6. Nun setze ich p und k in die BB ein 6=..d d=3 Die Tangente lautet t: y = x +3 Um den Tangentenpunkt zu erhalten, schneide ich die Tangente mit der Parabel (ich setze für x= y 3 ein) y² =.(y 3) y² y + 36 = 0 Das Lösen der quadratischen Gleichung ergibt y = 6. Nun berechne ich noch x = 6 3 = 3 T(3/6) 8. Ermittle die Gleichung der Tangente t im Punkt T(4/y>0) der par: y² = 6x. Zunächst berechne ich die y-koordinate von T, indem ich seine x-koordinate in die Parabelgleichung einsetze y²=6.4 y=±8 T(4/8) Nun setze ich T in die Spaltform der Tangente y.y = p.(x + x ) ein (wobei ich p=8 aus der Parabelgleichung ablesen kann) t: y.8 = 8.(x + 4) ODER t: y = x + 4

23 9. Ermittle die Gleichung der Parabel in. Hauptlage, die von der Geraden 0x 4y = -5 berührt wird. Ich forme die Gerade so um, dass ich k und d ablesen kann: y = 5x +,5 k=5, d=,5. Da die Gerade die Parabel berührt, gilt die Berührbedingung p=.k.d p=.5.,5=,5 Die Parabelgleichung lautet: y²=.,5.x par: y²=5x 0. a) Ermittle die Gleichung jener Tangente, die von P(-4/) aus an die par: y² = 8x gelegt werden kann. b) Berechne auch die Tangentenpunkte. c) Welchen Winkel schließen die Tangenten ein? d) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks PT T. a) Da P auf der Tangente liegt, setze ich ihn in y = k.x + d ein = -4k + d. Aus der Parabelgleichung kann ich p ablesen (p=4) und in die Berührbedingung einsetzen 4 =.k.d d= k. Dies setze ich in die obige Gleichung ein und erhalte damit eine Gleichung mit einer Unbekannten: = -4k + k.k k = -4k² + k² + k = 0 Quadratische Gl. lösen k = -, k = 0,5. Nun berechne ich die zugehörigen d d = -, d = 4 Damit sind die Tangenten berechnet: t : y = -x und t : y = 0,5x + 4 b) Zur Berechnung der Tangentenpunkte schneide ich die Tangenten mit der Parabel: par t : (-x )² = 8x x² + 4x + 4 = 8x x² 4x + 4 = 0 x = Nun setze ich x= in die Tangentengleichung ein y = -- = -4 T(/-4) par t : (0,5x + 4)² = 8x 0,5x² + 4x + 6 = 8x 0,5x² 4x + 6 = 0 x = 8 Nun setze ich x=8 in die Tangentengleichung ein y = 0, = 8 T(8/8) c) Zur Berechnung des Winkels zwischen den Tangenten verwende ich die cos-formel und setze als Vektoren jeweils die Normalvektoren der Tangenten ein 0,5. 0,5 + 0,5 cosα = = = 0, 36 α 7,565.,5,5,5 Der Winkel zwischen den beiden Tangenten beträgt ca. 7,6. d) Für die Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks PT T verwende ich die Formel A Dreieck =. AB AC. Wir haben die Formel zwar im dreidimensionalen Raum kennen gelernt, aber wir können uns ja vorstellen, dass wir das Dreieck in die x-y-ebene legen ( z=0). Ich stelle daher die Vektoren PT und PT auf und ergänze durch z=0.

24 PT 6 = 6 0 PT = 6 Nun setze ich in die Formel ein 0 A Dreieck 6 =. PT PT =. 6 x = ² = = = Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt 54 AE Berechne den Schnittwinkel zwischen par: y² = 9x und Kreis k: x² + y² = 36. Zunächst schneide ich die par und den k: x² + 9x = 36 x² + 9x 36 = 0 Ich löse die quadratische Gleichung und erhalte x =3 bzw. x =-. Aus x =3 berechne ich y= ± 7. Die. Lösung, x =- führt im Reellen zu keinem y-wert, da ich aus einer negativen Zahl im Reellen keine Wurzel ziehen kann. Die Schnittpunkte lauten daher S (3/ 7 ) und S (3/- 7 ). Aus Symmetriegründen brauche ich nur den Winkel zwischen den Tangenten in einem der Schnittpunkte berechnen. t k in S (3/ 7 ): 3.x + 7.y = 36 n 3 = 7 t par : 7.y = 4,5.(x + 3) n 4,5 = 7 Mit der cosα-formel berechne ich den Schnittwinkel: 3 4, , ,5 cosα = = = 0, , ,5 70 α 70,89. Bestimme die gemeinsame Tangente von par: y² = 30x und Kreis k: x² + y² = 64. Um die gemeinsame Tangente von Parabel und Kreis aufstellen zu können, lese ich bei der Parabel p und beim Kreis r² ab und setze in die jeweiligen Berührbedingungen ein BB Kreis: 64.(+k²) = d² 5 BB Parabel: 5=.k.d d= in BB des Kreises einsetzen k k² = ( )² k² = k 4k².4k² 56k² + 56k 4 5 = 0 ordnen und die biquadrat. Gl. lösen k² = 0,565 (die negative Lösung für k² kann ich vernachlässigen, da ich ja noch k berechnen muss und aus einer negativen Zahl im Reellen die Wurzel nicht ziehen kann) k = 0,75 und k = -0,75. Aus der BB der Parabel berechne ich die zugehörigen d und stelle die Tangenten auf d = 0 und d = -0 t : y = 0,75x + 0, t : y = -0,75x 0

25 3. Durch den Punkt P(x/) der Parabel y²=x wird eine Gerade g mit der Steigung k=-0,5 gelegt. Der Schnittpunkt der Geraden g mit der x-achse ist der Mittelpunkt eines Kreises, der durch den Punkt P verläuft. Gib die Kreisgleichung an. Wenn P auf der par liegt, kann ich seinen y-wert in die Parabelgleichung einsetzen und den x-wert berechnen: ²=x x= P(/). P soll auch auf einer Geraden mit k = -0,5 liegen Ich setze in y = kx + d ein und berechne d: = -0,5. + d d=3 g: y = -0,5.x + 3 Wenn die Gerade die x-achse schneiden soll, heißt das, dass an dieser Stelle y=0 ist. Ich setze statt y in die Geradengleichung 0 ein und berechne x: 0 = -0,5x + 3 x=6 Der Mittelpunkt des Kreises ist laut Angabe mit dem Schnittpunkt ident M(6/0). Da der Kreis durch P verläuft, brauche ich, um den Radius des Kreises zu bestimmen nur den Vektor MP aufstellen und dessen Länge berechnen: 4 MP = MP = ( 4)² + ² = 0 r= 0 Die Kreisgleichung lautet daher k: (x-6)² + y² = 0 4. Der Parabel y² = 9x wird ein gleichseitiges Dreieck so eingeschrieben, dass ein Eckpunkt dem Scheitel der Parabel entspricht. Gib die Koordinaten der anderen beiden Eckpunkte des Dreiecks an und berechne den Flächeinhalt des Dreiecks. s sei die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks. Die y-koordinate des Punktes P lautet s/. Seine x- Koordinate kann ich mittels Lehrsatz des Pythagoras berechnen s s² 3s² s x= s ² = s² = = s s P(. 3 / ) Da P auch auf der Parabel liegt, kann ich seine Koordinaten in die Parabelgleichung s s einsetzen = s = 9. 3 s=8. 3 P(7/9. 3 ) : s 0 Der Flächeninhalt kann über die Formel Seite x zugehöriger Höhe : berechnet werden, wobei die Seite s=8. 3 und die Höhe x (also = 7) ist A= = , 9 AE Der Flächeninhalt beträgt ca. 40,9 Flächeneinheiten.