Modulprüfung BA 04 Mathematik: Grundlagen der Mathematik C: Geometrie, Elementare Algebra und Zahlentheorie

Transkript

1 FB 3: Mathematik/Naturwissenschaften Prof. Dr. R. Frank/ Dr. D. Habeck Modulprüfung BA 04 Mathematik: Grundlagen der Mathematik C: Geometrie, Elementare Algebra und Zahlentheorie Name: Vorname: Matrikel-Nr.: Studiengang: Besuchte Übungsgruppe (bitte ankreuzen): Herr Habeck (Di., 14-16) Herr Habeck (Do., 10-12) Frau Starck (Di., 12-14) Frau Starck (Do., 10-12) Herr Steinhauer (Di., 16-18) keine Übungsgruppe Aufgabe 5 6 Punkte Erz. Punkte Erreichte Punktzahl: von max. 50 Punkten Die Modulprüfung ist bestanden ja / nein Note: Technische Hinweise: 1. Taschenrechner sind nicht zugelassen! 2. Handys bitte ausschalten. 3. Eigenes Papier ist nicht zugelassen, bitte verwenden Sie zum Ausprobieren das Blatt am Ende der Arbeit oder die Rückseiten. 4. Steht eine Lösung nicht unmittelbar unter der Aufgabe, ist ein Querverweis unbedingt erforderlich. 5. Die Heftklammer darf nicht entfernt werden, auch das Notizblatt darf nicht von der Arbeit getrennt werden. 6. Nicht mit Bleistift schreiben!

2 Aufgabe 1: a) Berechnen Sie ϕ(12 33) und ϕ(ϕ(43)). ϕ(12 33) =... = 120 ϕ(ϕ(43)) =... = 12 b) Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie, dass ϕ(4p) stets durch 4 teilbar ist. : Für ggt(4,p)=1 gilt ϕ(4p) = ϕ(4) ϕ(p) = 2(p 1) und da p-1 gerade ist, folgt die Behauptung. Für ggt(4,p) 1, also ggt(4,p)=2, errechnet man ϕ(4p) = ϕ(8) = 4. c) Beweisen Sie: Sind n N und n + 2 nicht durch 3 teilbar, so ist die Differenz der Quadrate dieser beiden Zahlen stets durch 3 teilbar. Man berechnet (n + 2) 2 n 2 = 4(n + 1). Da von den drei aufeinander folgenden Zahlen n, n + 1 und n + 2 genau eine durch 3 teilbar ist, folgt aus der Voraussetzung die Behauptung. Aufgabe 2: a) Bestimmen Sie ein x N mit 0 x 16 und 13x x 12 mod 17 b) Verschlüsseln Sie mit dem RSA-Algorithmus (n = 15, s = 11) die Zahl a = 13. Die Verschlüsselung v a von a = 13 ist v a = 7 c) Bestimmen Sie den Rest von bei Division durch 7. Mit dem Satz von Fermat-Euler erhält man bei der Division von durch 7 ist einen Rest von 5. Aufgabe 3: Für alle x, y Z sei x y := x y 2 + x. a) Beweisen oder widerlegen Sie: (1) (Z, ) ist assoziativ. Die Aussage ist FALSCH Gegenbeispiel: a = b = c = 1 liefert (a b) c = (1 1) 1 = 0, aber a (b c) = 1 (1 1) = 1 2

3 (2) (Z, ) besitzt mindestens ein linksneutrales Element. Die Aussage ist FALSCH. Beweis : Angenommen, e ist linksneutral, d.h. e y = y für alle y R. Dann folgt für y = 1 sofort 1 = y = e 1 = 0. Dies ist ein Widerspruch und daher existiert kein linksneutrales Element. (3) (Z, ) besitzt mindestens ein rechtsneutrales Element. Die Aussage ist WAHR Beweis: Das Element e R = 0 ist rechtsneutral, denn für alle y Z gilt x e R = x 0 = x 0 + x = x. b) Definieren Sie für ein Verknüpfungsgebilde (M, ) die Eigenschaft regulär und geben Sie zudem ein Beispiel für ein Verknüpfungsgebilde, das NICHT regulär ist. Ein Verknüpfungsgebilde (M, ) heißt regulär, falls für alle a, b, c M gilt: a b = a c = b = c b a = c a = b = c Beispiel für Verknüpfungsbgebilde, das nicht reglär ist: (R 10, ). c) Sei g : (Z, ) (Z, ) eine Abbildung mit g(8) = 9. Beweisen Sie, dass g nicht verknüpfungstreu ist. Angenommen, g ist verknüpfungstreu, d.h. für alle a, b Z gilt g(a b) = g(a) g(b). Dann folgt 9 = g(8) = g(2 4) = g(2) g(4) = g(2) g(2 2) = g(2) 3, und damit g(2) = 3 9 / Z. Dies ist aber ein Widerspruch. Aufgabe 4: a) Definieren Sie den Begriff erzeugendes Element in einer Gruppe (G, ). Ein Element g G heißt erzeugendes Element von G, falls G = g. b) Bestimmen Sie g für g = g = {( ), ( ) in (S , ). ( ), ( )}. 3

4 c) Sei (G, ) eine Gruppe der Ordnung G = 12. Bis zu welchem Exponent k N muss man g k höchstens ausrechnen, um entscheiden zu können, ob das Element g G erzeugendes Element ist? Begründen Sie Ihre Antwort. Nach dem Satz von Lagrange gilt für jedes g G stets g 12. Damit kommen für ein jedes Element nur die Ordnung 1, 2, 3, 4, 6 oder 12 in Frage. Gilt für ein Element g G nun g l e für l {1,..., 6}, so muss g die Ordnung 12 besitzten und somit ein erzeugendes Element sein. Man muss also höchstens bis k = 6 die Potenzen g k berechnen, um entscheiden zu können, ob g erzeugend ist oder nicht. d) Sei (G, ) eine kommutative Gruppe mit vier Elementen a, b, c, d. Zudem gilt a c = b, c c = d, d a = a und b b = c. Geben Sie das neutrale Element der Gruppe an und berechnen Sie die Verknüpfungstafel von (G, ). Das neutrale Element der Gruppe ist d Verknüpfungstafel: c b c d a c d b a b d c a b c b a d c d a b c d Aufgabe 5: a) Geben Sie die Matrix M an, die die Spiegelung σ x an der x-achse darstellt. Begründen Sie Ihre Aussage. ( ) 1 0 Die Matrix ist M = 0 1 Begründung: Die Bilder der Einheitsvektoren sind die Spalten der gesuchten Matrix. Dies liefert dien angegebene Matrix. b) Seien A = (2, 2), B = (4, 1) und C = (0, 0) Punkte in der Ebene und g die Gerade durch C und A. Konstruieren Sie die Bildpunkte A = f(a) und B = f(b) für die Kongruenzabbildung f = σ g τ CA. Geben Sie zudem die Koordinaten der Bildpunkte A und B an. Die Bildpunkt sind A = (4, 4) und B = (3, 6). c) Betrachten Sie die Abbildung f : C C, f(z) = (z i) 2 + (5 + 2i)z Bestimmen Sie (rechnerisch) alle Fixpunkte dieser Abbildung. Fixpunkte sind z 1 = 2 + 3i und z 2 = 2 + 3i. Nebenrechnung: Man erhält die Gleichung z 2 + 4z + 13 = 0, die (z.b. durch die p,q-formel) gelöst wird. 4

5 Aufgabe 6: a) Begründen Sie, dass (D n, ) nicht zyklisch ist. Die D n besteht aus n Drehungen und n Spiegelungen. Spiegelungen haben die Ordnung 2, können daher keine Drehungen erzeugen. Drehungen können als orientierungserhaltende Kongruenzabbildungen nur orientierungserhaltende Kongruenzabbildungen erzeugen, Spiegelungen sind aber orientierungsumkehrende Kongruenzabbildungen. b) Sei g eine Gerade und A ein Punkt im R 2. Geben Sie alle Kongruenzabbildungen f K 2 an, die die beiden Bedingungen f(g) = g und f(a) = A erfüllen. (Hinweis: Beachten Sie, dass eine Fallunterscheidung bzgl. der Lage von A notwendig ist.) Im Fall A / g findet man als Kongruenzabbildungen nur Identität Spiegelung σ h mit h g, A h. Im Fall A g findet man als Kongruenzabbildungen nur Identität Spiegelung σ g und σ h mit h g, A h Drehung ρ A,180 c) Gibt es im R 2 eine spiegelsymmetrische Figur X mit endlicher Symmetriegruppe S X, für welche die Anzahl aller echten (d.h. von der Identität verschiedenen) Symmetrien gerade ist? Begründen Sie Ihre Antwort. Nein, es gibt keine solche Abbildung! Da X eine Spiegelsymmetrie σ g besitzt, hat S X eine UG der Ordnung 2. Da die Symmetriegruppe S X endliche Ordnung hat, liefert der Satz von Lagrange, dass S X gerade ist. Damit besitzt aber die Figur X eine ungerade Anzahl echter Symmetrien. 5