Lernzettel 2 für die Mathematikarbeit. 1. Erstellen einer Parametergleichung mit Hilfe von 3 Punkten:

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1 Die Ebenenformen 1. Erstellen einer Parametergleichung mit Hilfe von 3 Punkten: P (4/7/3); Q(1/1/1); R(2/-2/) Ein Punkt dient als Stützvektor, die anderen beiden werden von diesem abgezogen und dienen als Richtungsvektoren E: 7 + a b E: 7 + a + b Umformen der Parameterform in eine Koordinatenform. x 1 = x 2 = x 3 = a + a + 2a 2b 9 9b 2 2b 9 9x 1 = 2x 2 = 9x 3 = a + 12a + 18a 18b 18b 18b I II: II+ III: 9x 1 2x 2 = 2x 2 + 9x 3 = a 30a 2 18x 1 x 2 9x 3 = 3 3 E 2 : x 1 2x 2 3x 3 = 1 Dieses ist die Koordinatenform. Es gibt nun noch 2 weitere Formen, in denen Ebenen gegeben sein können: Normalenform: Hesse sche N orm alenform : E 3 : 2 x 1 = 0 3 Koeffizienten der Koordinatenform ergeben den Normalenvektor, welcher skalar mit Vektor x multipliziert wird. Zusätzlich wird d (hier 1 ) subtrahiert. Dabei steht der Normalenvektor immer senkrecht auf der Ebene. E 4 : x 1 2x 2 3x ( 2) 2 + ( 3) 2 = 0 Die Koordinatenform wird in den Nenner geschrieben und durch die Länge des Normalenvektors geteilt und gleich Null gesetzt. M an kann m it Hilfe der Hesse schen N orm alenform ebenfalls den Abstand einer Ebene zum U rsprung sowie zu einem beliebigen Punkt angeben: (Angaben beziehen sich auf Koordinatenform oben.) Abstande Ursprung Ebene d istance = d = 1 n 2 + ( 2) 2 + ( 3) = D abeisind die beiden d s nicht zu verw echseln. d istance ist der Wert, der errechnet wird, wohingegen d die Zahl aus der Koordinatenform ist. Abstand Punkt Ebene; Punkt: S(1/3/1) d istance = ( 2) 2 + ( 3) = Auch hier sei der Unterschied zwischen den Bedeutungen von d zu beachten. Abstand Ebene-Ebene ist mit Hilfe des 1

2 Ortsvektors als Punkt zu errechnen. Lagebeziehungen von 2 Ebenen zueinander: - Allgemein könne Ebenen entweder identisch, parallel sein oder sich schneiden - Dies stellt man mit Hilfe der Koordinatenform dar: 1. Beispiel von zwei identischen Ebenen: E 1 : x 1 2x 2 3x 3 = 1 und E 2 : 12x 1 4x 2 x 3 = 2 E 1 : x 1 2x 2 3x 3 = 1 und E 2 : x 1 2x 2 3x 3 = 1 Nach Kürzen sind alle Koeffizienten und d (1) gleich. Die Normalenvektoren sind parallel 2. Beispiel von zwei zueinander parallelen Ebenen: E 1 : x 1 2x 2 3x 3 = 1 und E 2 : x 1 2x 2 3x 3 = 7 Nach Kürzen sind alle Koeffizienten gleich; jedoch d(1; -7) nicht gleich; Die Normalenvektoren sind parallel. 3. Beispiel für sich schneidende Ebenen: E 1 : x 1 2x 2 3x 3 = 1 und E 2 : 1x 1 + 9x 2 1x 3 = 7 Nach Kürzen sind (alle) Koeffizienten ungleich und d (1; 78) ungleich; Die Normalenvektoren sind nicht parallel oder schneiden sich Schnittpunkt zwischen Ebene / Geraden überprüfen und ausrechnen Es muss unterschieden werden zwischen 2 Situationen. Ist die Ebene in Koordinaten und die Gerade in Parameterform gegeben, so geht die Überprüfung schneller, da man den Normalenvektor der Ebene nur noch skalar mit dem Richtugsvektor der Geraden multiplizieren muss. Ergibt dies 0, so sind die Gerade und Ebene Parallel, sonst schneiden sie sich. Sind die Ebene in Parameterform und die Gerade in Parameterform gegeben, so muss zuerst überprüft werden, ob jeweils die 2 Richtugsvektoren der Ebene mit dem einem Richtungsvektor der Geraden parallel sind. Dies geht z.b.: indem man mit Hilfe des Kreuzproduktes die Normale ausrechnet und dann diese skalar mit dem Richtungsvektor der Geraden multipliziert. Ergibt dies 0, so sind sie parallel, sonst schneiden sie sich ( Kreurprodukt noch nicht behandelt); oder die Parameterform der Ebene in Koordinatenform, umformen und dann die Normale skalar mit dem Richtungsvektor der Gerade multiplizieren. Ergibt dies 0, so sind sie parallel, sonst schneiden sie sich. Anschließend muss bei einer Nichtparallelität der Schnittpunkt ausgerechnet werden. Im Folgenden wird ein Beispiel verwendet, bei dem zuerst der erste Fall überprüft wird (Ebene in Parameterform, Gerade) und anschließend wird die selbe Ebene in Koordinatenform mit der selben Gerade überprüft. 2

3 E 1 = 3x 1 + 4x 2 2x 3 = 4 und g: 2 2 x = 3 + t 3 1. Überprüfen des Normalenvektors mit dem Richtungsvektor der Geraden: = 8 FALSCH Scnittpunkt Berechnen des Schnittpunkts mit Hilfe der Normalenform der Ebene: 3 E 1 = 4 x 4 = 0 Einsetzen der Geraden g für x Scnittpunkt: t 3 4 = t 12t 2t 4 = 0 8t= 1 t= 2 einsetzen von t in die Gerade, um Scnittpunkt zu berecnen. 2 2 OS = OS = 3 1 Die Gerade und die Ebene schneiden sich im Punkt S (/-3/1). E x = 0 + a 1 + b 0 und g: 2 2 x = 3 + t Umformen der Parameterform der Ebene in Koordinatenform; Vorgehensweise siehe N r.1 U m form en der Param eteform in die Koordinatenform ) Es ergibt sich für diese Ebene folgende Koordinatenform: 3x 1 + 4x 2 2x 3 = 4 2. Überprüfen des Normalenvektors der Ebene mit dem Richtungsvektor der Gerade auf Parallelität: = 8 FALSCH Scnittpunkt Da man nun bereits die Koordinatenform errechnet hat, empfiehlt sich das Vorgehen wie im vorherigen Beispiel. Ist allerdings aus der Aufgabe erkenntlich, dass sich die Ebene in Paramterform mit der Gerade schneidet, so kann der Schnittpunkt auch direkt berechnet werden, durch gleichsetzen der Ebene und der Geraden a 1 + b 0 = 3 + t

4 4 + 4a +4b = 2 +2t a = 3 3t vereinfacen zu: 4 + 4a +b = 1 +t 4a +4b 2t = 2 a +3t = 3 4 4a +b t = 4a +4b 2t = 2 4a +12t = 12 4a +b t = 4b +10t = 10 2b t = 3 2 4b +10t = 10 4b 2t = + 8t= 1 t= 2 4. T=2 einsetzen in Gerade, um Schnittpunkt zu errechnen: 2 2 OS = OS = 3 1 Die Gerade und die Ebene schneiden sich im Punkt S (/-3/1). 4

5 Bestimmung der Schnittgeraden von zwei Ebenen E 1 : 2x 1 + x 2 2x 3 = 4 E 2 : x 1 2x 2 3x 3 = 1 Die Ebenengleichungen in ein Gleichungssystem übertragen. Umformen, sodass eine Variable wegfällt 2x 1 + x 2 2x 3 = 4 x 1 2x 2 3x 3 = 1 4x 1 + 2x 2 4x 3 = 8 x 1 2x 2 3x 3 = x 1 7x 3 = 9 Beliebigen t-wert für x 3 einsetzen. Es empfiehlt sich, den Koeffizienten vor der noch bestehenden Variable zu nehmen x 3 = 10t Nach x 1 umformen 10x 1 70t= 9 +70t 10x 1 = 70t+ 9 : 10 Werte für x 1 und x 3 einsetzen und x 2 ausrechnen x 1 = 7t x 2 = 2x 1 + 2x Endgültige Werte x 2 = 2 7t (10t) x 2 = t+ 11 x 1 = 7t x 2 = t+ 11 x 3 = 10t Diese lassen sich dann in einer Geradengleichung darstellen.

6 g: x t 10 Schnittwinkel von zwei Ebenen E 1 : 2x 1 + x 2 2x 3 = 4 E 2 : x 1 2x 2 3x 3 = 1 Zuerst werden die orthogonalen Normalenvektoren der Ebenen gebildet. 2 n 1 = 1 2 n 2 = 2 3 Nun bildet man das Skalarprodukt. Und formt diese schließlich nach dem Winkel α um. n 1 n2 n 1 n ( 2) ( 2) 2 + ( 3) α = arccos 1 21 α = 40,9