31 Die Potentialgleichung

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Kristian Burgstaller
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1 3 Die Potentialgleichung Die Potentialgleichung oder auch Poisson-Gleichung ist die lineare Gleichung zweiter Ordnung u = f in einem Gebiet R n. Im homogenen Fall f = 0 spricht man auch von der Laplace- Gleichung u = 0. Bemerkung: Ein wirbelfreies Vektorfeld F (dh rot F = 0 ist (zumindest lokal als Gradient eines Skalarfeldes V darstellbar F = V. Ist das Vektorfeld zusätzlich quellenfrei (dh div F = 0, so genügt V der Laplace-Gleichung: V = div ( V = div F = 0. Beispiele sind in der Elektrostatik das elektrische Feld E = V, wobei typischerweise das Potential V an der Oberfläche eines Gebietes vorgegeben ist, oder in der Magnetostatik die magnetische Induktion B = V, wobei typischerweise V N = 0 am Rand eines Gebietes gilt (dh B ist am Rand tangential zur Oberfläche. 3. Harmonische Funktionen Sei R n ein Gebiet. Eine C 2 -Funktion u : R heißt harmonisch in, falls gilt Ende Woche u = 0 in. Beispiele: Für n = und I R Intervall sind die in I harmonischen Funktionen u alle von der Form u(x = ax + b, x I. 2 Sei n = 2 und R 2 = C, sowie f : C, f(x + iy = u(x, y + iv(x, y eine holomorphe Funktion ( Kap. 24 in HM II bzw. KAI. Dann sind u und v beliebig oft differenzierbar, und es gelten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen Durch Differenzieren erhalten wir u x = v y, u y = v x in. u xx + u yy = v yx v xy = 0, v xx + v yy = u yx + u xy = 0, dh Real- und Imaginärteil einer holomorphen Funktion sind harmonisch. Umgekehrt ist eine harmonische Funktion u : R zumindest lokal Realteil einer holomorphen Funktion (der passende Imaginärteil v heißt konjugiert harmonische Funktion von u. Insbesondere ist für n = 2 eine harmonische Funktion immer beliebig oft differenzierbar. Dies gilt auch für n > 2. 37

2 3 In Beispiel 2.0(5 haben wir gesehen, dass die durch u( x = x definierte Funktion u in R 3 \ { 0} harmonisch ist. 3.2 Mittelwerteigenschaft Sei R 3. Ein stetiges u : R ist genau dann harmonisch, wenn für jede Kugel B( x 0, r = { x R 3 : x x 0 < r} gilt u( x 0 = u dτ B( x 0, r B( x 0,r bzw. genau dann, wenn für jede solche Kugel gilt u( x 0 = u do B( x 0, r B( x 0,r (Kugelmittel sphärisches Mittel. Hierbei bezeichnet B( x 0, r = 4π 3 r3 das Volumen von B( x 0, r und B( x 0, r = 4πr 2 die Oberfläche der Kugel. Die entsprechenden Aussagen gelten aber für jedes n Maximumsprinzip Sei u harmonisch im Gebiet. Gibt es ein x 0 mit u( x 0 u( x für alle x (u hat lokales Maximum in x 0 oder u( x 0 u( x für alle x (u hat lokales Minimum in x 0, so ist u auf konstant. Ist zusätzlich beschränkt und u stetig auf, so gilt für jedes x : min u( y u( x max u( y, y y dh harmonische Funktionen nehmen Maximum und Minimum auf dem Rand von an. 3.4 Grundlösung der Laplace-Gleichung Die für x R n \ { 0} definierte Funktion Γ( x := { 2π ln x für n = 2, 4π x für n = 3 heißt Grundlösung der Laplacegleichung oder auch Fundamentallösung. Häufig schreibt man dann Γ( x, y = Γ( x y für x, y R n mit x y. 38

3 Bemerkung: Für allgemeines n 3 lautet die Formel für die Grundlösung Γ( x = n(2 nω n x 2 n, wobei ω n das Volumen der n-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet (es ist also ω 2 = π, ω 3 = 4 3 π. Man erhält Γ( x, wenn man eine Lösung u der Laplacegleichung der Form u( x = g( x sucht, wobei g = g(r eine C 2 -Funktion auf (0, ist. Das führt auf die Gleichung g (r + n g (r = 0, r > 0 r mit Lösung g (r = cr n. Dies bestimmt g bis auf eine additive Konstante, c wird so gewählt, dass die Formel in 3.5 unten gilt. Wir konzentrieren uns im folgenden auf den Fall n = 3. Eigenschaften (n = 3: Für j =,..., 3 gilt x j Γ( x = 4π x j x 3, also Γ( x = 4π x x 3 und x Γ( x, y = 4π ( x y x y 3, y Γ( x, y = 4π ( y x x y 3. Weiter ist Γ( x = 0 ( x 0, x Γ( x, y = 0 ( x y, y Γ( x, y = 0 ( y x, dh Γ ist in R 3 \ { 0} harmonisch, x Γ( x, y in R 3 \ { y} und y Γ( x, y in R 3 \ { x}. 3.5 Greensche Darstellungsformel Sei ein beschränktes Gebiet in R 3 mit C 2 -Rand, und sei V R n offen mit V. Ist u C 2 (V, so gilt für jedes x : u( x = u( y Γ N ( x, y Γ( x, y u y N ( y do( y + Γ( x, y u( y dτ( y. Beachte hierbei u N ( y = u( y N( y und Γ N y ( x, y = y Γ( x, y N( y = 39 y x 4π x y 3 N( y.

4 Beweisidee: Verwende für festes x die zweite Greensche Formel in 2.0(3, dh g f N f g ( N do = g f f g dτ für g( y = u( y und f( y = Γ( x, y, sowie die Rechnung von 2.0(6, dh ϕ( y dτ( y = 4πϕ( 0 für 0 G, woraus folgt: G Γ( x, y u( y dτ( y = u( x. Ende Woche Greensche Funktion Sei ein beschränktes Gebiet. Eine Funktion G( x, y, welche für x, y mit x y definiert ist, heißt Greensche Funktion von, falls G symmetrisch ist (dh G( x, y = G( y, x gilt und für jedes y gilt: G( x, y = 0 für alle x und x h( x, y := G( x, y Γ( x, y ist harmonisch in. Bemerkung: Die zweite Bedingung bedeutet, dass G und Γ in x = y die gleiche Singularität haben. Zusammen bedeuten die Bedingungen, dass für festes y die Funktion x G( x, y Lösung des Dirichlet-Problems ist. u = δ y, u = 0, Wendet man (bei genügend glattem Rand die zweite Greensche Formel an auf f( y = h( x, y und g = u und addiert das Ergebnis zu 3.5, so erhält man u( x = u( y G N ( x, y do( y + G( x, y u( y dτ( y, y dh man kann mithilfe der Greenschen Funktion (wenn sie existiert! eine Lösung u C 2 (V des Dirichletproblems u = f, u = ϕ, im Inneren von aus den Daten f und ϕ rekonstruieren. Bemerkung: Ist beschränkt mit C 2 -Rand, so existiert eine Greensche Funktion für. Beispiel: Die Greensche Funktion für die Kugel B(0, R ist gegeben durch: { Γ( x, y Γ( R G( x, y = x, R y, y 0 Γ( x Γ( R x, y = 0. x 40

5 Beachte dazu, dass für y 0 gilt R x R 2 y = 2 x 2 2 x y + R 2 R 2 und dass der rechte Ausdruck symmetrisch in x und y ist. Außerdem ist G( x, y = 0 für = R. Für festes y B(0, R ist die Singularität von G( x, y Γ( x, y in x = R2 y und 2 liegt außerhalb von B(0, R. 3.7 Dirichletproblem auf der Kugel Betrachte die Kugel B(0, R R 3. Sei ϕ : B(0, R R stetig. Dann ist die Funktion u : B(0, R R, definiert durch u( x := { R 2 x 2 ϕ( y x y 3 do( y für x B(0, R 4πR B(0,R ϕ( x für x B(0, R, (PF harmonisch in B(0, R und stetig in B(0, R. Dies ist die Poissonsche Darstellungsformel für die nach 3.3 eindeutige Lösung des Dirichletproblems u = 0 in B(0, R, u B(0,R = ϕ. Beachte, dass man die Formel (PF aus 3.6 erhält, wenn man für die Greensche Funktion der Kugel B(0, R den Ausdruck G N y ( x, y = y G( x, y N( y, y B(0, R, unter Berücksichtigung von N( y = y R berechnet. 4

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