Äquatoraufgabe. Der Äquator

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1 Humboldt Universität zu Berlin Datum: Institut für Mathematik SE: Ausgewählte Kapitel der Didaktik der Mathematik (Computerunterstützter Mathematikunterricht) Dozent: I. Lehmann Autor: A. Gielsdorf Der Äquator Äquatoraufgabe [lat. >Gleicher<], größter Kreis auf der Erdkugel (mit U = km), senkrecht zur Erdachse, ist in allen Punkten gleich weit von beiden Polen entfernt und teilt die Erde in eine Nord- und eine Südhalbkugel. Der Mittelpunkt des Äquatorkreises fällt mit dem der Kugel zusammen. Obwohl unsere Erdoberfläche verschiedene Höhenlagen besitzt, kann man dennoch von einer Kugel sprechen. Aus nahe liegenden Gründen bezeichnet der Äquator im Allgemeinen den Erdäquator. Der Äquator der Erde, durchquert Afrika, die Malediven und den Indischen Ozean, Indonesien, das zentralpazifische Mikronesien sowie Südamerika. 1

2 Der Kreis Der Begriff Kreis gehört zu den wichtigsten Begriffen der ebenen Geometrie. Die Menge der Punkte P der Ebene, die von einem gegebenen Punkt M (Mittelpunkt) denselben Abstand r (Radius) haben, heißt Kreis. Ist in der Ebene, eine Fläche durch einen Kreis abgegrenzt, heißt diese Kreisfläche. Die Kreislinie eines Kreises wird auch als Kreisumfang bezeichnet. Die Definition des Kreises geht auf den griechischen Mathematiker Euklid zurück. Jeder Kreis ist zentralsymmetrisch (drehsymmetrisch, punktsymmetrisch) mit seinem Mittelpunkt als Drehzentrum. Er geht bei jeder Drehung um diesen Punkt in sich selbst über. Jeder Kreis ist auch axialsymmetrisch. Symmetrieachse ist jede Gerade durch den Mittelpunkt des Kreises. Der zu einer Geraden verlängerte Durchmesser ist dann die Spiegelachse. Das heißt, der Kreis hat unendlich viele Symmetrieachsen. 2

3 Folgende Formeln gelten für die Berechnungen am Kreis. Umfang: U = 2 π r = π d Flächeninhalt: A = π r 2 = 4 1 π d 2 Die Kugel Eine Kugel ist ein geometrischer Körper, der von einer gleichmäßig gekrümmten Fläche begrenzt wird, die alle Punkte enthält, die von einem festen Punkt im Raum den gleichen Abstand haben. Die Menge der Punkte P des Raumes, die von einem gegebenen Punkt M denselben Abstand r haben, heißt Kugel. 3

4 Rahmenlehrplan Grundschule: Schon mit dem Beginn der Schulzeit, lernen die Schüler die Kugel kennen. Die Kugel wird als Objekt aus der Umwelt beschreiben und ihre mathematischen Eigenschaften werden ermittelt. Es wird von den Schülern erwartet, dass sie die Kugel als Körper erkennen, benennen, beschreiben und darstellen können. Jahrgangsstufe 1/2 (Form und Veränderung) Jahrgangsstufe 3/4 (Form und Veränderung) Sek. 1: 7/8 Körper schätzen, messen und berechnen Die Flächeninhalte ebener Figuren und die Rauminhalte von Körpern - insbesondere aus der Lebenswelt der Schüler - werden auf verschiedene Weise mit unterschiedlicher Genauigkeit gemessen und geschätzt. Die Lernenden erfinden und entwickeln Verfahren (z. B. Zerlegen, Auslegen, Abzählen, Füllen, Berechnungsformeln) zur Flächen- und Raummessung und wenden sie an. Dabei entwickeln sie ihre Vorstellungen von Flächen- und Rauminhalten weiter. Schüler: - ermitteln den Kreisumfang und den Flächeninhalt des Kreises durch Abmessen bzw. Auszählen, - ermitteln einen Näherungswert für π durch Messungen von Kreisumfängen und Kreisdurchmessern, - wenden die Formeln zur Berechnung des Umfangs und des Flächeninhalts von Kreisen an. 9/10 Körper herstellen und berechnen Die Schüler vertiefen ihr räumliches Vorstellungsvermögen und damit ihre Fähigkeit, sich in der Umwelt zu orientieren, wenn sie Körper identifizieren, charakterisieren, darstellen und berechnen. Schüler: - charakterisieren die Kugel - 4

5 Aufgaben Ein Seil um den Äquator. 1. Um eine Münze (U = 10 cm) wird konzentrisch ein Faden gespannt, der um 1 m länger ist als der Münzumfang selbst. Welchen Abstand a hat der Faden vom Münzrand? Fertige eine Konstruktion an, bei der der Umfang der Münze um 10 cm verlängert wird. 2. Um den Äquator eines Apfels (U = 30 cm) wird konzentrisch ein Faden gespannt, der um 1 m länger ist als der Apfelumfang selbst. Welchen Abstand a hat der Faden vom Apfelrand? 3. Die Erde wird der Einfachheit halber als eine (vollkommene) Kugel mit einem Äquator von ca km Länge angenommen. Wir legen um den Äquator (in Gedanken) ein Seil, das 1 m länger ist als der Äquator. Welchen Abstand a hat das Seil von der Erdoberfläche, wenn das Seil konzentrisch gespannt wird? 4. Nenne eine weitere Extremaufgabe und zeige warum der Abstand gleich bleibt? 5. Um den Äquator eines Apfels (r Apfel = 5 cm) wird konzentrisch ein Seil gespannt, das einen Abstand von 10 cm von der Schale hat. Wie lang ist das Seil? 6. Um den Äquator wird konzentrisch ein Seil gespannt, das einen Abstand von 1 m von der Erdoberfläche hat. Wie lang ist das Seil? 7. Ein Flugzeug umrundet bei konstanter Flughöhe von m einmal die Erde (den Äquator). Wie lang ist die Flugstrecke? 8. Um den Äquator wird konzentrisch ein Seil gespannt. Um wie viel Meter/Kilometer müsste man dieses Seil verlängern, damit jeder Mensch aufrecht das (konzentrisch um den Äquator gespannte) Seil unterqueren könnte? 9. Um ein Quadrat (U = 8 cm) wird ein Fadenquadrat gespannt, das um 10 cm länger ist als der gegebene Quadratumfang. Der Faden wird dabei so gespannt, dass die jeweiligen Quadratseiten zueinander parallel sind. Welchen Abstand a hat der Faden vom Quadratrand? Was passiert mit dem Abstand, wenn der Umfang 12 cm beträgt und ebenfalls um 10 cm erweitert wird? 10. Um ein Quadrat wird ein Fadenquadrat gespannt, das um 1 m länger ist als der gegebene Quadratumfang. Der Faden wird dabei so gespannt, dass die jeweiligen Quadratseiten zueinander parallel sind. Welchen Abstand a hat der Faden vom Quadratrand? Genauer: Welchen Abstand a haben die jeweiligen zueinander parallelen Quadratseiten? 11. Konstruiere ein 5-eck in einem frei gewählten Kreis. Konstruiere ein zweites Fünfeck, wobei der Umfang des ersten 5-eks um 10 cm verlängert wird. Berechne den Abstand a (der zueinander parallelen Seiten) zwischen beiden Fünfecken. Vergleicht eure Abstände untereinander, was fällt euch auf? 12. Konstruiere ein 6-eck, 7-eck und 8-eck 5

6 Lösung: 1. Münze 4. Eine Extremaufgabe ist beispielsweise ein Punkt, deren Umfang um 1m verlängert wird. 5. Apfel U 1 = 2 π r 1 r 2 = a + r 1 U 2 = 2 π r 1 +1 U 2 = 2 π r 2 = 2 π (a + r 1 ) 2 π r 1 +1 = 2 π (a + r 1 ) / : 2 π r 1 + 1/ (2π) = a + r 1 / - r 1 1 = a 2π 6