filter Filter Ziele Parameter Entwurf Zölzer (2002) Nov 14, 2015

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1 1 Filter Ziele Parameter Entwurf Zölzer (2002) Nov 14, 2015

2 2 Beschreibung Übertragungsfunktion H(z), H(ω) Differenzengleichung y[n] Impulsantwort h[n]: Finite Infinite Impulse Response (FIR) Impulse Response (IIR) Pol-Nullstellen-Diagramm

3 3 Biquad-Filter H z = b 0 b 1 z 1 b 2 z 2 1 a 1 z 1 a 2 z 2 2r cos r 2 Stabil bei r<1 y[n]=b 0 x[n] b 1 x[n 1] b 2 x[n 2] a 1 y[n 1] a 2 y[n 2] Datorro (1988) Beispiel: Tiefpass: b 0 =1/ 1 2 d F F 2 b 1 =2b 0 b 2 =b 0 a 1 =2 b 0 1 F 2 a 2 =b d F F 2 F = f c f s d 1 tan f c / f s =2 f c / f s... analoge Grenzfrequenz... Sampling Frequenz... Dämpfungsfaktor

4 4 Direktformen Direktform I: Direktform II, kanonische Form: Datorro (1988) Datorro (1988)

5 5 Transponierte Direktformen Transp. Direktform I: Datorro (1988) Transp. Direktform II: Datorro (1988)

6 6 algorithmen in aku stik und compute rmusik Rechenoperationen: Skalierung Multiplikation: Addition: 16bit x 16bit = 31bit 16bit + 16bit = 17bit Anforderungen: Systemwortbreite: Akkumulator: höher als Signalauflösung deutlich höhere Wortbreite Signal: 16bit System: 24bit Akku: 48bit Fließkommaprozessoren: Signal: 24bit System: 32 floating point Skalierung des Signals, wenn notwendig!

7 7 Filter höherer Ordnung Zerlegung der gesamten Filterstruktur in Biquad- Teile: Serienschaltung Parallelschaltung: Unüblich: jeder Parameter kann das Verhalten des gesamten Filter verändern Unity gain : Überlauf Gefährliche vermeiden an internen Knoten Pole mit Nullstellen in einem Filter aufheben

8 8 algorithmen in aku stik und compute rmusik Überlauf Addition: 1-er Komplement 2-er Vorzeichen im MSB, Einfachere Implementierung Komplement für Addition Wertetabelle: Übliche Implementierung Transparent für Überlauf: Dezimal Hex FFF FFFF -2 FFFE = EF4 H H = 80F4 H = F4 H + 1E8 H = 82DC H = DC H 3E8 H = 7EF4 H

9 9 Quantisierung des Signals Direktform I, Quantisierung nach dem Akku Datorro (1988) Datorro (1988)

10 10 Vergleich: Runden oder Abschneiden

11 11 Fehlerrückkopplung Eigenschaften des Quantisierungsfehlers Y Z = X Z b i z i 1 a i z i E Z 1 1 a i z i Abhilfe: Rückkopplung Datorro (1988)

12 12 Error Spectrum Shaping Datorro (1988)

13 13 Error Spectrum Shaping (2) Noise Shaping höherer Ordnung: Datorro (1988) Datorro (1988) Optimales Shaping?

14 14 Quantisierung der Parameter Verschiebung der Pol-/Nullstellen Zölzer (1994) Ungünstige Verteilung der Pol-/Nullstellen Zölzer (1994)

15 15 Gold-Rader-Struktur Gleichmäßige Quantisierung der Z-Ebene Zölzer (1994) H Z = 1 2 R{z } a 1 N Z z 1 R{ z } 2 I{z } 2 a 2 z 2 z =r e j Zölzer (1994)

16 16 Kingsbury-Struktur x[n] y[n] k 1 -k 1 z -1 k 2 z -1 Zölzer (1994)

17 17 Zölzer-Struktur x[n] y[n] z -1 k 1 k 1 -k 1 k 2 z -1 Zölzer (1994)

18 18 Vergleich der Strukturen Zölzer (1994) Zölzer (1994) Direktform Gold-Rader-Struktur Kingsbury-Struktur Zölzer-Struktur

19 19 Parametrische Filter Nachteile der Biquad-Struktur: Charakteristik Nur Ziele: Unabhängige Stabil von allen Koeffizienten abhängig für statische Filter geeignet Koeffizienten im jeweiligen Bereich Lösungen: Spezielle Strukturen Allpass

20 20 Übertragungsfunktion: Allpass A 1 z = z 1 c 1 c z 1 c= tan f c/ f s 1 tan f c / f s 1 Spektrum:

21 21 Hoch-/Tiefpass Zölzer (2002) H z = A z H z = A z

22 22 Allpass 2-ter Ordnung Übertragungsfunktion: b= tan f b/ f s 1 tan f b / f s 1 A 2 z = z 2 c 1 b z 1 b 1 c 1 b z 1 bz 2 Spektrum: c= cos 2 f c / f s

23 23 Bandpass / Bandsperre BS/BP Zölzer (2002) H z = A 2 z H z = A 2 z

24 24 Equalizer Parameter: Shelving-Filter Zölzer (2002) Peak / Notch-Filter

25 25 Shelving Filter Kombination aus Tief- und Hochpass Idee: Interessanter Bereich wird betont Hochpass: Tiefpass: TP : 1 2 [1 A z ] HP : G 1 2 [1 A z ] TP : G 0 2 [1 A z ] HP : 1 2 [1 A z ] H z = 1 2 [G 1 1 G A z ] mit H 0 =G 1 G =H 0 1: H z =1 H 0 [1 A z ] 2 H z = 1 2 [ G 0 1 G 0 1 A z ] mit H 0 =G 0 1 G 0 =H 0 1 H z =1 H 0 [1 A z ] 2

26 26 Shelving Filter H z =1 H 0 2 [1±A z ] A 1 z = z 1 c 1 c z 1 c= tan f c/ f s 1 tan f c / f s 1 10 Shelving, fc=1khz, G=+/-6dB, blue: LP, red: HP Magnitude in db x 10 4 Zölzer (2002) Phase in degrees f in Hz x 10 4

27 27 Shelving Filter H z =1 H 0 2 [1± A z ] A 1 z = z 1 c 1 c z 1 c= tan f c/ f s 1 tan f c / f s 1 10 Shelving, fc=1khz, G=+/-6dB, blue: LP, red: HP Magnitude in db Zölzer (2002) Phase in degrees f in Hz

28 28 Peak Kombination aus Bandpass und Bandsperre A 2 z = z 2 c 1 b z 1 b 1 c 1 b z 1 bz 2 b= tan f b/ f s 1 tan f b / f s 1 H z =1 H 0 2 [1 A 2 z ] c= cos 2 f c / f s Zölzer (2002)

29 29 Lattice Filter Problem: Parameter im Allpass nicht unabhängig: A 2 z = z 2 k 1 1 k 2 z 1 k 2 Rekursive Form: 1 k 1 1 k 2 z 1 k 2 z 2 A m z = k 2 z 1 A m 1 Z 1 k 2 z 1 A m 1 Z Datorro (1988) Massie (1993)

30 30 Lattice Filter (2) Massie (1993) Massie (1993) Massie (1993)

31 31 Lattice (3) Ergebnis: Massie (1993)

32 32 Nichtrekursive Audio-Filter Direkte Form: Faltung im Zeitbereich Schnelle Faltung: Multiplikation im Frequenzbereich Hybride Methoden: Zero-delay Low-latency convolution convolution

33 33 Faltung im Zeitbereich Faltung: M y[n]=(x h)[n]= m x[m] h[n m] Zölzer (2002) Einfache Realisierung Zeitintensive Berechnung: N...Signallänge M... Filterlänge O N M

34 34 Schnelle Faltung Multiplikation im Frequenzbereich: Y [k ]= X [k ] H [k ] h[n] x[n] Länge: L Länge: M Zero padding auf Länge: N = L + M - 1 x[n] 0 DFT X[k] h[n] 0 DFT H[k] Faltung durch Multiplikation: y[n] Länge: N = L + M -1 Y [k ]= X [k ] H [k ] IDFT Aufwand: O 3 2 N log 2 N 3N

35 35 Schnelle Faltung optimiert x[n] x F [n] x F+1 [n] Bildung einer komplexwertigen Folge: z [n]=x F [n] j x F 1 [n] Zero padding von h[n] und z[n] auf N = M + L - 1 DFT von h[n] und z[n]: H[k] und Z[k] Multiplikation und IDFT: e[n]= z h [n]= x F h [n] j x F 1 h [n] Folgen teilen: y F [n]=r{e[n]} y F 1 [n]=i{e[n]}

36 36 Zusammenführen der Ergebnisse Methode: Overlap and Add: x F [n] x F+1 [n] x F+2 [n] h[n] y[n]= x F h [n] y[n]= x F 1 h [n] y[n]= x F 2 h [n] y[n] Abklingen

37 37 Vergleich der Faltungsalgorithmen FIR, direkte Methode Rechenleistung Implementierungsaufwand: leicht mittel schwer Hybride Methoden (non uniform block based FFT) Schnelle Faltung Latenzzeit

38 38 Zeitvariante Filter Synthesizer Equalizer Echtzeitssysteme Virtuelle Akustik Beispiele: Wah-wah Phaser

39 39 Zeitvarianter Peak-Filter: Wah-Wah Zölzer (2002)

40 40 Phaser Mehrere zeitvariante Notch-Filter: Zölzer (2002) Zölzer (2002)

41 41 Weiterführende Literatur Jon Dana Udo Rhonda Gardner, Datorro (1988). The Implementation of Recursive Digital Filters for High- Fidelity Audio, J. Audio Eng. Soc., 36: C. Massie (1993). An Engineering Study of the Four-Multiply Normalized Ladder Filter, J. Audio Eng. Soc., 41: Zölzer (1994). Roundoff Error Analysis of Digital Filters, J. Audio Eng. Soc., 42: Wilson (1993). Filter Topologies, J. Audio Eng. Soc., 41: W. G. (1995). "Efficient convolution without input-output delay," J Audio Eng Soc 43,