8 Extremwerte reellwertiger Funktionen

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1 8 Extremwerte reellwertiger Funktionen 34 8 Extremwerte reellwertiger Funktionen Wir wollen nun auch Extremwerte reellwertiger Funktionen untersuchen. Definition Es sei U R n eine offene Menge, f : U R eine reellwertige Funktion und A eine Teilmenge von U. Ein Punkt x 0 A heißt eine Maximumstelle von f auf A gdw. f(x) f(x 0 ) für alle x A. Die Zahl f(x 0 ) wird dann ein Maximum von f auf A genannt. Man sagt auch, f nimmt auf A sein Maximum in x 0 an. Ein Punkt x 0 A heißt eine Minimumstelle von f auf A gdw. f(x 0 ) f(x) für alle x A. Die Zahl f(x 0 ) wird dann ein Minimum von f auf A genannt. Man sagt auch, f nimmt auf A sein Minimum in x 0 an. Ist x 0 eine Maximum- oder Minimumstelle von f auf A, so wird der Funktionswert f(x 0 ) auch ein Extremum von f auf A genannt. Definition Es sei U R n eine offene Menge, f : U R eine reellwertige Funktion und A eine Teilmenge von U. Ein Punkt x 0 U heißt eine lokale Maximumstelle (Minimumstelle) für f auf A gdw. es eine Umgebung V von x 0 gibt, so dass x 0 eine Maximumstelle (Minimumstelle) für f auf V ist. Die Zahl f(x 0 ) nennt man auch ein relatives oder lokales Extremum von f auf A. Definition Es sei U R n eine offene Menge und f : U R eine reellwertige Funktion. Ein Punkt x 0 U heißt kritischer Punkt von f, gdw. grad f(x 0 ) = 0 gilt. Es gilt nun ein entsprechendes lokales Extremwertkriterium wie wir es aus Analysis A kennen: Satz 8. (Lokales Extremwertkriterium) Ist U R n eine offene Menge, f : U R differenzierbar und nimmt f in x 0 U ein lokales Extremum an, dann ist grad f(x 0 ) = 0, das heißt, x 0 ist ein kritischer Punkt von f. Beweis. Angenommen, f nimmt in x 0 ein lokales Maximum an. Dann hat die Funktion g(t) := f(x 0 + th) für jedes h R n und t genügend klein (so dass x 0 + th im Definitionsbereich U von f ist) ein lokales Maximum in t = 0. Nach Analysis A gilt dann g (0) = 0. Andererseits ist nach dem Spezialfall der Kettenregel g (0) = grad f(x 0 ) h. Also ist grad f(x 0 ) h = 0 für jedes h R n und daher grad f(x 0 ) = 0. Der Beweis für ein lokale Minimalstelle x 0 von f verläuft analog.

2 8 Extremwerte reellwertiger Funktionen 35 Die Gleichung grad f(x 0 ) = 0 bedeutet, dass alle Komponenten von grad f(x 0 ) gleich Null sind. Daher können wir die Aussage von Satz 8. wie folgt formulieren: Hat f in x 0 ein lokales Extremum, dann ist x i (x 0 ) = 0, i =,..., n. Beispiel 8. (a) Wir bestimmen die kritischen Punkte der Funktion f(x, y) = x 2 + y 2. Es gilt x (x, y) = 2x und (x, y) = 2y. y Also ist der einzige kritische Punkt der Nullpunkt. Wegen f(0, 0) = 0 und f(x, y) 0 hat die Funktion in diesem Punkt ein lokales (sogar ein globales) Minimum (vgl. Abb. 4). (b) Wir bestimmen die kritischen Punkte der Funktion f(x, y) = x 2 y 2. Wie in (a) sehen wir, dass der einzige kritische Punkt der Nullpunkt ist. Wegen f(0, 0) = 0 und f(x, y) 0 hat die Funktion in diesem Punkt ein lokales (sogar ein globales) Maximum. (c) Wir bestimmen die kritischen Punkte der Funktion f(x, y) = x 2 y 2. Wie in (a) sehen wir wieder, dass der Nullpunkt der einzige kritische Punkt ist. Es gilt wieder f(0, 0) = 0. Berechnen wir Werte von f in der Umgebung des Nullpunkts, dann stellen wir fest: f(x, 0) 0 und f(0, y) 0. Da x und y beliebig klein gewählt werden können, kann der Nullpunkt weder eine lokale Maximum- noch eine lokale Minimumstelle sein. Es handelt sich um einen Sattelpunkt (vgl. Abb. 6). Beispiel 8.2 Wir bestimmen die kritischen Punkte der Funktion f(x, y) = x 2 2xy + 2y 2. Es gilt (x, y) = 2x 2y und (x, y) = 2x + 4y. x y Die kritischen Punkte sind also Lösungen der Gleichungen 2x 2y = 0 2x + 4y = 0 Durch Addition der beiden Gleichungen erhalten wir 2y = 0, also y = 0, und Einsetzen von y = 0 in eine der beiden Gleichungen ergibt x = 0. Daher ist der Nullpunkt wieder der einzige kritische Punkt. In Beispiel 8.2 ist nicht so einfach zu entscheiden, ob der kritische Punkt eine lokale Extremstelle ist oder nicht, und wenn ja, ob es sich um eine lokale Maximum- oder Minimumstelle handelt. Deswegen beschäftigen wir uns nun damit, hinreichende Kriterien für eine Extremstelle abzuleiten. In Analysis A hatten wir gesehen, dass es mit Hilfe der zweiten Ableitung einer Funktion f : R R möglich ist, festzustellen, ob f in einem kritischen Punkt x einen relativen Extremwert annimmt: f (x) > 0 bedeutet, dass x eine lokale Minimumstelle ist, und f (x) < 0, dass x eine lokale Maximumstelle ist. Dieses Kriterium wollen wir nun verallgemeinern. Die Schwierigkeit besteht allerdings darin, dass die zweite Ableitung von reellwertigen Funktionen mehrerer Veränderlicher ein ziemlich kompliziertes mathematisches Gebilde ist.

3 8 Extremwerte reellwertiger Funktionen 36 Wir betrachten dazu zunächst wieder unsere Taylorformel zweiter Ordnung (Satz 7.2) und führen für den quadratischen Term eine eigene Bezeichnung ein: Definition Es sei U R n eine offene Menge und f : U R eine Funktion, die im Punkt x 0 U partielle Ableitungen zweiter Ordnung (/ x i x j )(x 0 ), i, j =,..., n besitzt. Dann bezeichnet man als Hesse sche Funktion von f in x 0 die Funktion Hf(x 0 )(h,..., h n ) = 2 n i,j= x i x j (x 0 )h i h j. Damit schreibt sich die Taylorformel zweiter Ordnung in einem kritischen Punkt (in dem grad f(x 0 ) = 0 ist), wie folgt: f(x 0 + h) = f(x 0 ) + Hf(x 0 )(h) + R 2,x0 (h). Also ist in einem kritischen Punkt das Taylorpolynom zweiter Ordnung die Funktion f(x 0 ) + Hf(x 0 )(h,..., h n ). Die Hesse sche Funktion ist eine quadratische Funktion. Eine quadratische Funktion ist eine Funktion g : R n R der Form g(h,..., h n ) = n a ij h i h j, i,j= wobei (a ij ) eine symmetrische Matrix ist. Dieser Ausdruck läßt sich als Matrizenprodukt schreiben: a a 2 a n h g(h,..., h n ) = ( ) a 2 a 22 a 2n h 2 h h n a n a n2 a nn h n Mit der Matrix A := (a ij ) können wir dafür auch schreiben: g(h) = h t Ah, wobei h t die transponierte Matrix ist. Für eine quadratische Funktion g gilt für alle λ R. g(λh,..., λh n ) = n a ij λh i λh j = λ 2 g(h,..., h n ) i,j= Definition Die zugehörige Matrix ( 2 ) f A = (x 0 ) x i x j zur Hesse schen Funktion Hf(x 0 ) von f in x 0 nennt man auch die Hesse-Matrix von f in x 0.

4 8 Extremwerte reellwertiger Funktionen 37 Definition Eine quadratische Funktion g : R n R heißt positiv definit, gdw. g(h) 0 für alle h R n gilt und g(h) = 0 h = 0. Entsprechend heißt g negativ definit, gdw. g(h) 0 für alle h R n ist und g(h) = 0 h = 0. Die quadratische Funktion g heißt indefinit, gdw. g sowohl positive als auch negative Werte annimmt. Beispiel 8.3 Für n = ist Hf(x 0 )(h) = 2 f (x 0 )h 2, also genau dann positiv definit, wenn f (x 0 ) > 0 ist, und genau dann negativ definit, wenn f (x 0 ) < 0 ist. Satz 8.2 (Extremstellentest für n Variable) Es sei U R n offen, f : U R zweimal stetig differenzierbar und x 0 U ein kritischer Punkt von f. (a) Ist die Hesse sche Funktion Hf(x 0 ) positiv definit, dann hat f in x 0 ein lokales Minimum. (b) Ist Hf(x 0 ) negativ definit, dann hat f in x 0 ein lokales Maximum. (c) Ist Hf(x 0 ) indefinit, dann hat f in x 0 kein lokales Extremum. (Man nennt x 0 dann einen Sattelpunkt.) Beweis. Nach Satz 7.3 gibt es für alle genügend kleinen h R n 0 ϑ, so dass gilt: ein ϑ mit f(x 0 + h) f(x 0 ) = Hf(x 0 + ϑh)(h). Die Funktion Hf(x) hängt stetig von x ab. Damit ist mit Hf(x 0 ) auch Hf(x) für alle x aus einer Umgebung V von x 0 positiv definit (bzw. negativ definit, bzw. indefinit). In dieser Umgebung ist die rechte Seite der Gleichung im Fall (a) stets nicht negativ, also f(x 0 + h) f(x 0 ), im Fall (b) stets nicht positiv, also f(x 0 + h) f(x 0 ). Im Fall (c) ist f(x 0 + h) f(x 0 ) in jeder Umgebung von x 0 sowohl positiv als auch negativ. Nun betrachten wir den Spezialfall n = 2. Für Funktionen zweier Variabler hat die Hesse sche Funktion folgende Form: ( ) Hf(x, y)(h, h 2 ) = ( ) 2 ( h y x (x, y) h h 2 ). h 2 x (x, y) 2 (x, y) x y 2 f y 2 (x, y) Lemma 8. Es sei ( a b B = b c ) und H(h, h 2 ) = ( ) 2 ( h h h 2 )B. h 2 Dann ist H genau dann positiv definit, wenn a > 0 und det B = ac b 2 > 0. Entsprechend ist H genau dann negativ definit, wenn a < 0 und det B = ac b 2 > 0. Die quadratische Funktion H ist genau dann indefinit, wenn det B = ac b 2 < 0.

5 8 Extremwerte reellwertiger Funktionen 38 Beweis. Wir haben H(h, h 2 ) = 2 ( h h 2 ) Wir ergänzen die quadratische Form und schreiben H(h, h 2 ) = (h 2 a + b ) 2 a h ( ) ah + bh 2 = bh + ch 2 2 (ah2 + 2bh h 2 + ch 2 2). ( c b2 a ) h 2 2. Angenommen, H ist positiv definit. Setzen wir h 2 = 0, so sehen wir a > 0. Setzen wir h = (b/a)h 2, so sehen wir c b 2 /a > 0 oder ac b 2 > 0. Es sei umgekehrt a > 0 und c b 2 /a > 0. Dann ist H(h, h 2 ) eine Summe von Quadraten, also gilt H(h, h 2 ) 0. Ist H(h, h 2 ) = 0, dann müssen auch die beiden Quadrate Null sein. Daraus folgt aber h = 0 und h 2 = 0. Also ist H positiv definit. Die anderen Aussagen folgen analog. Aus Lemma 8. und Satz 8.2 können wir den folgenden Satz ableiten. Satz 8.3 (Extremstellen-Test für 2 Variable) Es sei f(x, y) eine auf der offenen ( Menge ) U R 2 erklärte Funktion, die zur Klasse C 2 gehört. Der Punkt x0 x 0 = sei ein kritischer Punkt von f, d.h. es gelte y 0 Es sei Dann gilt D(x 0, y 0 ) = x (x 0, y 0 ) = y (x 0, y 0 ) = 0. ( 2 ) ( f 2 ) ( x 2 (x f 2 ) 2 0, y 0 ) y 2 (x f 0, y 0 ) x y (x 0, y 0 ). (a) Ist 2 f x 2 (x 0, y 0 ) > 0 und D(x 0, y 0 ) > 0, dann ist x 0 eine lokale Minimumstelle. (b) Ist 2 f x 2 (x 0, y 0 ) < 0 und D(x 0, y 0 ) > 0, dann ist x 0 eine lokale Maximumstelle. (c) Ist D(x 0, y 0 ) < 0, dann ist x 0 ein Sattelpunkt. Bei Lemma 8. handelt es sich um einen Spezialfall des Hurwitz Kriteriums. Es sei hierzu A = (a ij ) i,j n eine quadratische, symmetrische Matrix (a ij = a ji ). Für k n betrachten wir die Untermatrix A k = (a ij ) i,j k, d.h. wir betrachten die eingezeichneten Untermatrizen: a... a k... a n.. A = a k... a. kk. a n... a nn

6 8 Extremwerte reellwertiger Funktionen 39 Satz 8.4 (Hurwitzkriterium) Die Matrix A ist genau dann positiv definit, wenn det A k > 0, k =,..., n. Dies liefert auch ein Kriterium für negativ definite Matrizen, da A genau dann negativ definit ist, wenn A positiv definit ist. Ein weiteres Kriterium besteht darin, dass A genau dann positiv definit ist, wenn alle Eigenwerte von A positiv sind. Beispiel 8.4 In Beispiel 8.2 haben wir gesehen, dass der einzige kritische Punkt der Funktion f(x, y) = x 2 2xy+2y 2 der Nullpunkt ist. Die Hesse sche Funktion ist Hf(0)(h, h 2 ) = h 2 2h h 2 + 2h 2 2 = (h h 2 ) 2 + h 2 2. Diese Funktion ist positiv definit. Andererseits können wir Satz 8.3 anwenden. Es gilt ( ) 2 2 Hf(0, 0) =, 2 4 D(0, 0) = 4 > 0. Nach Satz 8.3 hat f ein lokales Minimum im Nullpunkt. Beispiel 8.5 Wir betrachten die folgende Extremwertaufgabe: Es sei S := x y R 3 z = z xy. Man bestimme die Punkte auf S, die dem Nullpunkt am nächsten sind! Der Abstand zum Nullpunkt wird durch d(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 gegeben. Auf S gilt z = /xy. Daher läßt sich d als Funktion d(x, y) = d(x, y, /xy) zweier Variabler schreiben: d(x, y) = x 2 + y 2 + x 2 y 2. Die Funktion d nimmt genau dann ein Minimum an, wenn die Funktion f(x, y) := d 2 (x, y) = x 2 + y 2 + x 2 y 2, die leichter zu behandeln ist, ein Minimum annimmt. Wir suchen also die lokalen Minima der Funktion f. Es gilt 2 2 (x, y) = 2x x x 3 und (x, y) = 2y y2 y x 2 y 3. Die kritischen Punkte sind also Lösungen der Gleichungen 2x 2 x 3 y 2 = 0, 2y 2 x 2 y 3 = 0.

7 8 Extremwerte reellwertiger Funktionen 40 Man berechnet daraus x = ± und y = ±. Daraus folgt, dass f die vier kritischen Punkte ( ) ( ) ( ) ( ),, und hat. Um festzustellen, ob f in diesen Punkten lokale Maxima, lokale Minima oder Sattelpunkte hat wenden wir Satz 8.3 an. Es gilt 6 (x, y) = 2 + x2 x 4 y 2, 4 (x, y) = x y x 3 y 3, 6 (x, y) = 2 + y2 x 2 y 4. Daraus berechnet man, dass in jedem kritischen Punkt gilt x 2 = 8 > 0, ( x 2 ) ( 2 ) ( f 2 ) 2 f y 2 = 48 > 0. x y Daher hat f in jedem der kritischen Punkte ein lokales Minimum, und das sind alle lokalen Minima von f. Die Punkte der Fläche S, die dem Nullpunkt am nächsten sind, sind daher die Punkte,, und.