Aufgabe 2.1: Wiederholung: komplexer Brechungsindex

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1 Übungen zu Materialwissenschaften II Prof. Alexander Holleitner Übungsleiter: Jens Repp / Eric Parzinger Kontakt: jens.repp@wsi.tum.de / eric.parzinger@wsi.tum.de Blatt 2, Besprechung: / Aufgabe 2.1: Wiederholung: komplexer Brechungsindex Die komplexe Permittivität ɛ kann durch das Drude- Modell und das Lorenz- Modell beschrieben werden. Erläutern Sie, ausgehend von den Bewegungsgleichungen, die Unterschiede zwischen den beiden Theorien. Lösung Der Brechungsindex n ist eine komplexe Funktion mit einem Realteil n und einem Imaginärteil κ: n = n iκ Im folgenden soll der komplexe Brechungsindex an der Grenzfläche eines Metalls betrachtet werden. Dazu wird der Wellenvektor k mit Hilfe der Dispersionrelation k = ω c n = ( ω ) c (n iκ) ausgedrückt. Für eine ebene einlaufende Welle gilt: E = E 0 exp[i(ωt kr)] E = E 0 exp[i(ωt ωr (n iκ))] c E = E 0 exp[i(ωt ωr c n)] exp[ ωr c κ] Neben dem Schwingungsterm mit komplexer Exponentialfunktion gibt es zusätzlich noch einen Term mit reeller, negativer Exponentialfunktion. Die elektromagnetische Welle nimmt exponentiell ab, wenn sie auf ein Medium mit komplexem Brechungsindex trifft. Der Imaginärteil κ ist für die Absorption verantwortlich. Der Brechungsindex ist die Wurzel der Dielektrischen Funktion n = ɛ. Diese soll nun an Hand der Bewegungsgleichung für ein Elektron hergeleitet werden: Im Lorenzmodell wird angenommen, dass ein an den Atomkern gebundenes Elektron von der einfallenden elektromagnetischen Welle zur Schwingung angeregt wird. Die Bewegungsgleichung beschreibt dabei einen getriebenen, harmonischen Oszillator: m d2 x dt 2 + mγ dx dt + mω2 0x = ee 0 exp (iωt) Daraus kann die dielektrische Funktion abgeleitet werden (siehe Aufgabe 1.2 auf Übungsblatt 1): 1

2 ɛ(ω) = 1 + n V e 2 ɛ 0 m 1 (ω 0 ω 2 ) iγω In der nachfolgenden Figur ist jeweils der Realteil und der Imaginärteil der Dielektrischen Funktion gezeichnet: Lediglich in der unmittelbaren Nähe einer Resonanzfrequenz ω 0 (Also der Eigenfrequnz der gebundenen Elektronen) nimmt der Realteil der dielektrischen Funktion negative Werte und der Imaginärteil von Null verschiedene Werte an. Da der Brechungsindex die Quadratwurzel der dielektrischen Funktion ist, hat er daher nur in der Nähe einer Resonanzfrequenz einen Imaginärteil, d.h. dort tritt Absorption auf. Im Drude-Modell werden frei bewegliche, nicht an einen Kern gebundene Elektronen angenommen, wie sie typischerweise in Metallen vorkommen. In der Bewegungsgleichung kann daher der lineare Term, der die Rückstellkraft der Atomkerne berücksichtigt, vernachlässigt werden. Die dielektrische Funktion nimmt dann folgende Gestalt an (siehe Aufgabe 1.2 auf Übungsblatt 1): ɛ(ω) = 1 n V e 2 ɛ 0 m 1 = 1 ω(ω+iγ) n V e 2 ɛ 0 m ω2 p ω(ω+iγ) wobei ω p = als Plasmafrequenz bezeichnet wird. Unter Vernachlässigung der Dämpfung (γ = 0) gilt n = ɛ = 1 ( ω p ) 2. ω Der Brechungsindex hängt somit von der Plasmafrequenz ab. Für ω < ω p wird der Brechungsindex rein imaginär, d.h. R 1, die Reflektion wird maximal. Für ω > ω p wird der Brechungsindex reel, es findet keine Absorption mehr statt und die Reflektion nimmt ab. In Metallen sind sowohl gebundene als auch freie Elektronen vorhanden. Reflektion und Absorption sind durch die Frequenz der einfallenden elektromagnetischen Welle bestimmt. Für Frequenzen unterhalb der Plasmafrequenz kann die Reflektion durch das Hagen-Rubens-Gesetz angenährt werden (siehe Aufgabe 1.2 auf Übungsblatt 1). Oberhalb der Plasmafrequenz werden Metalle transparent. Absorption tritt bei bestimmten Resonanzfrequenzen auf. In der nachfolgenden Abbildung ist ein typisches Reflektionsspektrum für ein Metall gezeigt. 2

3 Aufgabe 2.2: λ/2 - Platte Für eine λ/2 - Platte verwendet man einen doppelbrechenden Kristall, der so geschnitten ist, dass die optische Achse parallel zur Oberfläche und senkrecht zur Ausbreitung des Lichts liegt. Es soll aus einem Quarzkristall n o = 1, 5442, n e = 1, 5533 eine λ/2-platte für λ = 530nm hergestellt werden. Der Unterschied des optischen Weges der Platte sei gegeben als l = d(n 0 n e ) mit Dicke d und den Brechungsindizes n 0 und n e. (a) Wie dick muss der Quarzkristall geschnitten werden, wenn der Gangunterschied zwischen ordentlichem und außerordentlichem Licht λ/2 betragen soll? (b) Wie dick muss ein Kalkspatkristall (n o = 1, 658, n e = 1, 486 ) geschnitten werden, um daraus eine λ/2-platte herzustellen? Warum werden in der Praxis λ/2-platten nicht aus Kalkspat hergestellt? (c) Bei welchem Winkel zwischen optischer Achse und Polarisationsrichtung des einfallenden Lichts wird die Polarisationsrichtung um 90 gedreht? (d) Wie kann die Drehung der Polarisationsrichtung um willkürliche Winkel ( 90 ) erreicht werden? Lösung Doppelbrechende Materialien haben die Eigenschaft, ein Lichtbündel in zwei senkrecht zueinander polarisierte Teilbündel zu trennen. Fällt unpolarisiertes Licht senkrecht auf ein doppelbrechendes Material, so gibt es neben dem ordentlichen Strahl, der entsprechend des Snelliusschen Brechungsgesetz nicht gebrochen wird, noch einen außerordentlichen Strahl, der auch bei senkrechtem Einfall an der Grenzfläche gebrochen wird. Doppelbrechende Materialien besitzen für unterschiedliche Polarisation und Richtung der einfallenden elektromagnetischen Welle einen unterschiedlichen Brechungsindex. Es gibt daher 3

4 zwei unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeiten: eine zur optischen Achse senkrechte Ausbreitungsgeschwindigkeit v und eine zur optischen Achse parallele v. Die Polarisationsebene ist nun ausschlaggebend, ob der Strahl gebrochen wird oder nicht. Die Bei Licht, das parallel zur Zeichenebene polarisiert ist (Figur oben rechts), bilden die Elementarwellen entsprechend des Huygensschen Prinzips aufgrund der unterschiedlichen Ausbreitungsgeschwindigkeiten Rotationsellipsoide. Die resultierende Wellenfront wird gegenüber der einfallenden Wellenfront gebrochen. Ist das licht senkrecht zur Zeichenebene polarisiert gibt es keine unterschiedlichen Brechungsindizes, die Elementarwellen sind Kugelwellen, der Strahl wird nicht gebrochen und gehorcht dem Snelliusschen Brechungsgesetz. Die Brechungsindizes können aus den Ausbreitungsgeschwindigkeiten berechnet werden: n ao = c v n o = c v Doppelbrechende Materialien werden für Verzögerungsplatten verwendet. Hier sind die Kristalle so geschnitten, dass die optische Achse parallel zur Oberfläche und senkrecht zur Ausbreitung des Lichts liegt. Außerordentlicher und ordentlicher Strahl werden in diesem Fall nicht gebrochen. Die unterschiedlichen Brechungsindizes führen jedoch zu unterschiedlichen Ausbreitungsgeschwindigkeiten entsprechend ihrer Polarisationsebene. Die Schwingungsebene, in der die Ausbreitungsgeschwindigkeit am größten ist, wird schnelle Achse, die Ebene senkrecht dazu als langsame Achse bezeichnet. Parallel zur schnellen Achse polarisiertes Licht durchläuft den Kristall schneller als Licht, das senkrecht dazu polarisiert ist. 4

5 Einfallendes Licht kann nun entsprechend der obigen Zeichnung in zwei linear polarisierte Komponenten parallel und senkrecht zur optischen Achse aufgeteilt werden. Nach dem beide Wellen die Verzögerungplatte durchlaufen haben, weisen sie eine Phasenverschiebung zueinander auf: l = d (n langsam n schnell ) ϕ = 2π d (n λ langsam n schnell ) Die beiden Wellen überlagern sich hinter dem Kristall (Interferenz) zum ausgehenden Licht. Durch die (kohärente) Überlagerung dieser beiden Wellen ergibt sich eine neue Polarisation des Lichtes (a) Damit der optische Wegunterschied zwischen ordentlichem und außerordentlichen Strahlt genau λ/2 beträgt muss gelten: l = d(n 0 n e ) = λ 2 d = λ 2 /(n 0 n e ) = 530nm/(1, , 5442) = 2, m (b) Für die Dicke eines Kalkspatkristalls gilt analog d = λ 2 /(n 0 n e ) = 530nm/(1, 486 1, 657) = 1, m Durch den großen Unterschied der Brechungsindizes von ordentlichem und außerordentlichen Strahl ergeben sich sehr kleine Schichtdicken, die technisch sehr aufwendig herzustellen sind. Daher werden bevorzugt Materialien verwendet, deren Brechungsindizes sich nur geringfügig unterscheiden. (c) Entsprechend der Figur oben kann Licht, das unter einem Winkel α zur optischen Achse polarisiert ist, in Komponenten senkrecht und parallel zur optischen Achse aufgespalten werden. Nach dem der Lichtstrahl die λ/2-platte durchlaufen hat, ist der 5

6 ordentliche Strahl gegenüber dem außerordentlichen Strahl um λ/2 verzögert, was einem Phasenunterschied von π entspricht. Dadurch ändert sich für eine Komponente des elektrischen feldes, z.b. E das Vorzeichen. Dadurch ändert sich die Polarisationsrichtung des auslaufenden E-Feldes gegenüber des einlaufenden Feldes um 2α. Um eine Drehung der Polarisationsrichtung von 90 zu erreichen muss der Winkel zwischen Polarisationsrichtung und einfallender Achse α = 90 /2 = 45 betragen. (d) wie oben beschrieben wird die Polarisationsrichtung des ausfallenden Lichts gegenüber der Polarisationsrichtung des einfallende Licht um 2α gedreht. Durch geeignete Wahl von α ist somit jede beliebige Polarisationsrichtung möglich. 6