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1 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Einleitung 5 1 Zahlen Zahlen und Zahlenmengen Rechnen mit Zahlen und Termen Gleichungen Gleichungssysteme mit zwei Variablen Textaufgaben Prozentrechnung Leitidee Messen Länge, Fläche und Volumen Gewicht und Masse Zeiten Winkel Leitidee Raum und Form Dreiecke Vierecke Körper Achsensymmetrie Spiegelungen Leitidee Funktionaler Zusammenhang Proportionale Zuordnungen Proportionale Funktionen Antiproportionalität Lineare Funktionen Anwendungen von linearen Funktionen Leitidee Daten und Zufall Häufigkeiten Diagramme Mittelwerte Wahrscheinlichkeiten Tipps 41 Lösungen 50 Freiburger-Verlag.de 3

2 Inhaltsverzeichnis 4 Freiburger-Verlag.de

3 3. Leitidee Raum und Form 3 Leitidee Raum und Form Tipps ab Seite 13, Lösungen ab Seite 15 Bei dieser Leitidee geht es darum, dass Du die wichtigsten geometrischen Formen wie Dreiecke und Vierecke kennst und mit ihnen umgehen kannst. Dazu gehören vor allem Flächenberechnungen, aber auch Symmetrien, Winkel und Konstruktionen. 3.1 Dreiecke Für alle Dreiecke gilt: Seiten und Winkel liegen sich gegenüber, also a und α, b und β sowie c und γ. Die Winkelsumme ist 180, d.h. α + β + γ = 180. Der Umfang u ist die Summe der Seiten: u = a + b + c Eine Höhe h steht immer senkrecht auf der dazugehörigen Seite. Die Fläche A wird berechnet mit der Formel «Grundseite mal Höhe durch zwei», dabei kann jede Seite die Grundseite sein: A = a h a 2 = b h b 2 = c h c 2 Für rechtwinklige Dreiecke gilt: Es gilt der Satz des Pythagoras: a 2 + b 2 = c 2, wobei c die Seite gegenüber des rechten Winkels ist. Wenn γ der rechte Winkel ist, gilt: α = 90 β und entsprechend β = 90 α. Die Fläche A kann man besonders einfach berechnen, wenn man a und b kennt: A = a b 2, da dann a = h b bzw. b = h a Für gleichschenklige Dreiecke gilt: Zwei Winkel sind gleich groß Zwei Seiten sind gleich lang Die Höhe h c kann man mit dem Satz des Pythagoras berechnen: h 2 c = a 2 ( ) c 2 2 Für gleichseitige Dreiecke gilt: Alle Winkel betragen 60 Alle Seiten sind gleich lang Alle Höhen kann man mit dem Satz des Pythagoras berechnen: h 2 = a 2 ( ) a 2 2 = 3 4 a2 h = a 2 3 Aufgaben a) Konstruiere ein Dreieck mit den angegebenen Maßen und beschreibe die Konstruktion mit eigenen Worten. I) a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm II) a = 3,5 cm, c = 4 cm, α = 40, γ < 90 Freiburger-Verlag.de 5

4 3. Leitidee Raum und Form b) Nachfolgend sind die Werte von verschiedenen Dreiecken angegeben. Begründe, welche Dreieckskonstruktion nicht möglich ist. I) a = 3,5 cm b = 4 cm c = 5 cm II) b = 2,5 cm c = 2,5 cm β = 123 III) α = 55 β = 75 γ = 60 c) Anna will die Fläche des abgebildeten Dreiecks berechnen und überlegt, wie sie die Höhe h c herausbekommen kann. Christian sagt dazu nur: «nimm doch einfach die Seiten a und b, damit geht es einfacher». Hat er recht? Erläutere seinen Lösungsweg. 3.2 Vierecke Im Gegensatz zu den Dreiecken gibt es sehr viel mehr verschiedene Vierecke. Gemeinsam haben alle Vierecke, dass die Winkelsumme ihrer Innenwinkel 360 beträgt. Das Quadrat Ein Quadrat besitzt vier rechte Winkel Alle Seiten sind gleich lang Die Länge der Diagonale beträgt d = a 2 + a 2 = a 2 Der Flächeninhalt beträgt: A = a 2 Der Umfang beträgt: u = 4a Das Rechteck Ein Rechteck besitzt vier rechte Winkel Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang. Der Flächeninhalt beträgt: A = a b Der Umfang beträgt: u = 2a + 2b Die Diagonalen sind gleich lang und halbieren sich. Das Parallelogramm Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang. Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß. Die Fläche beträgt: A = a h a = b h b Der Umfang beträgt: u = 2 a + 2 b Die Diagonalen sind verschieden lang Die Raute Eine Raute ist ein Parallelogramm mit gleich langen Seiten. Alle Seiten sind gleich lang. Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß. Die Diagonalen c und d stehen senkrecht aufeinander und teilen die Raute in vier deckungsgleiche rechtwinklige Dreiecke. Der Flächeninhalt beträgt: A = 1 2 c d Der Umfang beträgt: u = 4 a 6 Freiburger-Verlag.de

5 3. Leitidee Raum und Form Der Drachen Je zwei benachbarte Seiten sind gleich lang. Die Diagonalen c und d stehen senkrecht aufeinander. Der Flächeninhalt beträgt: A = 1 2 c d Der Umfang beträgt: u = 2 a + 2 b Das Trapez Zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel. Die Linie m teilt die beiden nicht-parallelen Strecken in der Mitte, ihre Länge beträgt a+c 2 Der Flächeninhalt beträgt: A = m h = a+c 2 h Der Umfang beträgt: u = a + b + c + d Aufgaben a) Konstruiere ein Parellelogramm mit folgenden Maßen: a = 3,5 cm, b = 2 cm, h a = 1,5 cm b) Konstruiere eine Raute mit a = 2 cm und α = 50 c) Konstruiere einen Drachen mit a = 1,5 cm, b = 2,5 cm und d = 4,5 cm. d) Konstruiere ein Trapez mit a = 5 cm, b = 2 cm, d = 2,5 cm und h = 1,5 cm. e) Christoph beschreibt die Eigenschaften geometrischer Figuren. Birgit hält dagegen: «Bei manchen Sachen hast du nicht genau nachgedacht...» Wo hat Christoph recht? Begründe deine Antworten und gib in der rechten Spalte ein Beispiel oder ein Gegenbeispiel an. Ein Viereck ist immer ein Rechteck, wenn gegenüberliegende Seiten gleich lang sind. richtig falsch Wenn ich die Fläche eines Parallelogramms berechnen will, kann ich dazu die Höhe auf a oder b konstruieren und erhalte entsprechend A = a h a bzw. A = b h b richtig falsch Bei einer Raute sind alle Winkel gleich groß. richtig falsch Bei einem Drachen sind die gegenüberliegenden Winkel gleich groß. richtig falsch f) Berechne den Inhalt der grau gezeichneten Fläche, schreibe deinen Rechenweg auf. Alle Maße sind in cm angegeben. Freiburger-Verlag.de 7

6 3. Leitidee Raum und Form Rechenweg: g) Eva will die grau gezeichnete Fläche berechnen. Sie geht folgendermaßen vor: A = (b c) d + (b c) (a d)+ c (a d) I) Zeichne das Element (b c) (a d) in die Figur ein. II) Geht es auch einfacher? Beschreibe einen direkteren Weg. 3.3 Körper Der Würfel Alle Innenwinkel des Würfels sind rechte Winkel Alle Kanten eines Würfels sind gleich lang. Das Volumen beträgt: V = a a a = a 3 Die Oberfläche beträgt: O = 6 a 2 Die Länge der Raumdiagonalen d beträgt: d = a 3 Der Quader Alle Innenwinkel eines Quaders sind rechte Winkel. Alle parallelen Kanten sind gleich lang Das Volumen beträgt: V = a b c Die Oberfläche beträgt: O = 2 a b + 2 a c + 2 b c Aufgaben a) Berechne das Volumen und die Oberfläche folgender Körper: I) Würfel mit Kantenlänge 2,5 cm. II) Quader mit den Kantenlängen a = 2 m, b = 3 m, c = 5 m b) Bei einem Quader beträgt die Länge 1 m. Die Breite soll das Doppelte, die Höhe das Dreifache der Länge betragen. Berechne das Volumen. 3.4 Achsensymmetrie Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn sie mindestens eine Symmetrieachse besitzt: 8 Freiburger-Verlag.de

7 3. Leitidee Raum und Form Eine Figur kann dabei eine oder mehrere Symmetrieachsen besitzen: Aufgaben a) Zeichne alle Symmetriachsen ein b) Wie viele Symmetrieachsen besitzt I) Ein Rechteck II) Ein Parallelogramm III) Ein Fünfeck IV) Ein Kreis c) Welche Abbildung zeigt alle Symmetrieachsen? Freiburger-Verlag.de 9

8 3. Leitidee Raum und Form 3.5 Spiegelungen Bei einer Spiegelung einer Figur an einer Achse entsteht ein Spiegelbild. Der Abstand von einem Punkt zur Spiegelachse ist genauso groß wie der Abstand vom Spiegelpunkt zur Achse. Die Spiegelpunkte werden mit dem gleichen Buchstaben und einem kleinen Strich gekennzeichnet: P ist der Spiegelpunkt von P. Eine Gerade, die senkrecht zur Spiegelachse steht, hat sich selbst als Spiegelgerade. Der Umlaufsinn der Eckpunkte einer Figur dreht sich bei der Spiegelung um. (ABC wird in der Figur im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen, A B C wird im Uhrzeigersinn durchlaufen) Beispiele: Gesucht ist die Spiegelfigur der angegebenen Figur an der gezeichneten Spiegelachse. Um die Figur an der Achse zu spiegeln, musst Du jeden Eckpunkt der Figur an der Achse spiegeln. Dazu zeichnetst Du mit Hilfe des Geodreiecks Hilfslinien, die senkrecht zu der Spiegelachse sind und durch die Eckpunkte gehen (linke Zeichnung). Anschließend misst Du die Abstände von der Spiegelachse zu den Punkten und trägst sie in die andere Richtung auf den Hilfslinien ab. Du erhälst die Spiegelpunkte A, B, C, und D (rechte Zeichnung): Du kannst hier auch wieder sehen, dass sich der Umlaufsinn umgekehrt hat: In der Figur ABCD durchläuft man die Eckpunkte im Gegenuhrzeigersinn, in der gespiegelten Figur durchläuft man die Punkte im Uhrzeigersinn. 10 Freiburger-Verlag.de

9 3. Leitidee Raum und Form Gesucht ist die Spiegelachse, an der die Figur gespiegelt wurde: Lösung: Aufgaben Zuerst verbindest Du «gleiche» Ecken miteinander (linke Zeichnung) Nun bestimmst Du die Mittelpunkte der Hilfslinien (mittlere Zeichnung) Durch diese Punkte wird eine Linie gezogen, dies ist die Spiegelachse, die die Hilfslinien senkrecht schneidet. a) Spiegele die Figuren an der Achse: b) Bestimme jeweils die Spiegelachse Freiburger-Verlag.de 11

10 3. Leitidee Raum und Form c) Zeichne ein Dreieck mit den drei Eckpunkten ABC; zeichne den Umlaufsinn ein. Zeichne nun eine Gerade und spiegele das Dreieck an dieser Geraden. Zeichne eine weitere Gerade und spiegele das Spiegeldreieck an dieser Geraden. Welche Richtung hat der Umlaufsinn nun? d) Spiegele die Geraden a, b und c an der Spiegelachse s. Welche Figur entsteht? e) Gegeben sind die Punkte A, B und der Spiegelpunkt A von A. Konstruiere den Spiegelpunkt B von B. 12 Freiburger-Verlag.de

11 Tipps 3. Leitidee Raum und Form 3 Leitidee Raum und Form 3.1 Dreiecke a) I) Zeichne zuerste die Seite c des Dreiecks ein. Trage dann die Länge der beiden anderen Seiten mit dem Zirkel ab. Wo sich die beiden Kreise schneiden, befindet sich der Punkt C. II) Beginne auch hier mit der Seite c. Zeichne nun die Seite b mit Hilfe des Winkels α ein. Zur Bestimmung von Punkt C trägst Du die Länge von Seite a mit dem Zirkel vom Punkt B aus ab. Wo die Kreislinie die Seite b schneidet, liegt der Punkt C. b) Versuche, die Dreiecke zu skizzieren. Beachte die sich ergebende Winkelsumme. c) Überlege, wie man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen kann. 3.2 Vierecke a) Zeichne zuerst die Seite a des Parallelogramms. Anschließend konstruierst Du eine zu a parallele Linie im Abstand von 1,5 cm. Anschließend trägst Du die Länge der Seite b mit dem Zirkel auf dieser zwei Mal ab. b) Beginne mit einer Seite der Raute und zeichne die zweite Seite unter einem Winkel von 50 ein. Da bei einer Raute alle Seiten gleich lang sind, kannst Du nun die anderen Seiten einzeichnen, indem Du parallele Linien konstruierst. c) Beginne mit der Diagonalen d. Trage anschließend die Länge der beiden anderen Seiten an den Enden dieser Diagonalen mit dem Zirkel ab. An den Schnittpunkten der Kreislinien, befinden sich die weiteren Punkte des Drachen. d) Beginne mit der Grundlinie a des Trapezes. Anschließend konstruierst Du die Höhe und eine zu a parallele Linie. An den Enden der Linie a trägst Du mit dem Zirkel die Längen der Seiten b und d ab um die fehlenden zwei Eckpunkte zu bestimmen. e) Nimm eventuell die Einführungen auf den Seiten 5 und 6 zu Hilfe um die Behauptungen zu untersuchen. f) Es gibt verschiedene Wege, die graue Fläche zu berechnen: Entweder berechnest Du zuerst die Fläche eines großen Rechtecks, von dem Du die Fläche eines kleinen Rechtecks abziehst oder Du teilst die Fläche in mehrere Einzelflächen auf, die Du berechnest und anschließend addierst. g) Lies an der Zeichnung ab, welche Seiten die Längen (b c) und (a d) haben. Die Fläche kannst Du auch berechnen, indem Du zuerst die Fläche des großen Rechtecks berechnest und dann die Fläche des Rechtecks «links oben» abziehst. 3.3 Körper a) I) Benutze die Formeln zur Volumenberechnung V = a 3 und zur Oberflächenberechnung O = 6 a 2. II) Benutze die Formeln: V = a b c und O = 2 a b + 2 a c + 2 b c. 3.4 Achsensymmetrie a) Um herauszufinden, ob eine Achse eine Symmetrieachse ist, hilft es, wenn Du dir vorstellst, dass auf dieser Achse ein Spiegel stehen würde. Das Spiegelbild muss dann genauso aussehen wie die zweite Hälfte des Bildes in der Zeichnung. b) Mit jedem Bild kommen neue Achsen hinzu. Eine Achse ist dann keine Symmetrieachse mehr, wenn die Figur nicht symmetrisch zu dieser Achse liegt. c) Überlege, welche der Achsen keine Spiegelachsen sind. Freiburger-Verlag.de 13

12 3. Leitidee Raum und Form Tipps 3.5 Spiegelungen a) Um die Figuren an der Achse zu spiegeln, spiegelst Du am besten die Ecken an der Achse. Zeichne dazu Hilfslinien, die senkrecht auf der Achse stehen. Trage dann den Abstand des Punktes mit dem Geodreieck oder dem Zirkel ab, um die Spiegelpunkte zu konstruieren. b) Verbinde jeden Punkt mit seinem Spiegelpunkt und halbiere die entstandenen Strecken. Die Spiegelachse verläuft durch die Mittelpunkte dieser Strecken. c) Überlege, was bei jeder Spiegelung mit dem Umlaufsinn geschieht. d) Um die Geraden zu spiegeln, kannst Du jeweils zwei Punkte einer Geraden an der Spiegelachse spiegeln. Bei Gerade a reicht dafür ein Punkt, da ein Punkt auf der Spiegelachse liegt und auf sich selbst gespiegelt wird. Beachte bei der Geraden c, dass sie senkrecht zur Spiegelachse steht. e) Konstruiere zuerst die Spiegelgerade: Dazu verbindest Du die Punkte A und A durch eine Hilfslinie. Bestimme den Mittelpunkt zwischen A und A. Die Spiegelachse steht senkrecht auf der Hilfslinie und verläuft durch diesen Mittelpunkt. Nun kannst Du den Punkt B an der Achse spiegeln. 14 Freiburger-Verlag.de

13 Lösungen 3. Leitidee Raum und Form 3 Leitidee Raum und Form 3.1 Dreiecke a) I) Konstruktionsbeschreibung: Zuerst zeichnest Du die Basislinie c ein. Dann zeichnest Du um A und B Kreise, deren Radien die Längen der beiden anderen Seiten sind. An einem der beiden Schnittpunkte der Kreislinien liegt der Punkt C: II) Konstruktionsbeschreibung: Zuerst zeichnest Du die Basislinie c. Dann zeichnest Du die Seite b mit Hilfe des Winkels α = 40 ein. Nun zeichnest Du um Punkt B einen Kreis mit einem Radius von 3,5 cm. Wo sich der Kreis und die Linie schneiden, liegt der Punkt C. b) Das Dreiecke I) lässt sich zeichnen. Dreieck II) lässt sich nicht konstruieren, da es ein gleichschenkliges Dreieck mit einer Winkelsumme größer als 180 wäre. Im Dreieck III) würde die Winkelsumme mehr als 180 betragen. Dies kann nicht sein. Also ist es nicht möglich, ein Dreieck zu konstruieren, das den Angaben von III) entspricht. c) Ein rechtwinkliges Dreieck kann man so betrachten, dass eine der beiden Katheten die Höhe auf der anderen Kathete ist. Dann gilt für den Flächeninhalt: A = a b Vierecke a) Zuerst zeichnest Du die Seite a des Parallelogramms. Anschließend wird die Höhe h a und in 1,5 cm Abstand eine Parallele zu a konstruiert. Nun zeichnest Du zwei Kreise um Anfangs- und Endpunkt der Seite a mit Radius 2 cm. Die beiden «oberen» Eckpunkte des Parallelogramms erhältst Du als Schnittpunkte der Kreislinien mit der Parallele entweder nimmst Du die beiden rechten Schnittpunkte, oder die beiden linken. Freiburger-Verlag.de 15

14 3. Leitidee Raum und Form Lösungen b) Es ist nicht vorgegeben, welcher Winkel 50 betragen soll. Daher kannst Du damit beginnen, eine Linie a zu zeichnen und eine zweite Linie zu konstruieren, die die erste Linie unter einen Winkel von 50 schneidet. Nun brauchst Du nur noch die Länge a auf dieser Linie mit dem Zirkel abzutragen und zwei parallele Linien zu konstruieren, auf denen Du ebenfalls die Länge a abträgst. c) Zuerst zeichnest Du die Diagonale d, dann trägst Du die Längen von a und b mit dem Zirkel an beiden Enden von d ab. Nun brauchst Du nur noch die Schnittpunkte miteinander zu verbinden. d) Zuerst zeichnest Du die Grundlie a. Anschließend konstruierst Du die Höhe auf dieser Linie. Parallel zu a konstruierst Du eine Parallele. Nun trägst Du die Längen der Seiten b und d mit dem Zirkel nacheinander auf der Parallelen ab. An den Schnittpunkten befinden sich die restlichen Eckpunkte des Trapezes. e) Ein Viereck ist immer ein Rechteck, wenn gegenüberliegende Seiten gleich lang sind. richtig falsch Gegenbeispiele: Parallelogramm und Raute Wenn ich die Fläche eines Parallelogramms berechnen will, kann ich dazu die Höhe auf a oder b errichten und erhalte entsprechend A = a h a bzw. A = b h b richtig falsch Die Fläche eines Parallelogramms ist immer «Grundseite mal Höhe». Bei einer Raute sind alle Winkel gleich groß. richtig falsch Es sind nur die gegenüberliegenden Winkel gleich groß: Bei einem Drachen sind die gegenüberliegenden Winkel gleich groß. richtig falsch Es sind nur zwei gegenüberliegende Winkel gleich groß: 16 Freiburger-Verlag.de

15 Lösungen 3. Leitidee Raum und Form f) Es gibt zwei verschiedene Rechenwege: 1. Du berechnest zuerst die Fläche eines Rechtecks mit den Seitenlängen 4 cm und 5 cm und ziehst davon das kleine Rechteck rechts ab: A = 4 cm 5 cm 1 cm 1,5 cm = 18,5 cm 2 2. Du berechnest die Fläche als Summe aus den drei Rechtecken «links», «oben» und «unten»: A = 4 cm 4 cm + 1 cm 1 cm + 1 cm 1,5 cm = 16 cm cm 2 + 1,5 cm = 18,5 cm 2 g) I) Das Element (b c) (a d) ist die Fläches des schraffierten Rechtecks. II) Du kannst die Fläche der Figur auch so berechnen, dass Du zuerst den Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seiten a und b berechnest und dann das Rechteck «links oben» abziehst. Damit ist der Flächeninhalt: A = a b c d. 3.3 Körper a) I) Das Volumen des Würfels kannst Du mit der Formel V = a 3 berechnen. Also beträgt das Volumen des Würfels V = (2,5 cm) 3 = 15,625 cm 3. Die Oberfläche beträgt O = 6 a 2 = 6 (2,5cm) 2 = 37,5 cm 2 II) Das Volumen des Quaders kannst Du mit der Formel V = a b c berechnen. Es beträgt also V = 2 m 3 m 5 m = 30m 3. Die Oberfläche wird mit der Formel O = 2 a b + 2 a c + 2 b c berechnet. Sie beträgt: O = 2 2 m 3 m +2 2 m 5 m m 5 m = 12 m m m 2 = 62 m 2 b) Wenn die Länge 1 m beträgt, dann beträgt die Breite 2 m und die Höhe 3 m. Das Volumen beträgt damit V = 1 m 2 m 3 m = 6 m Achsensymmetrie a) Um die Symmetrieachsen einzuzeichnen hilft es, wenn Du Dir vorstellst, auf der Symmetrieachse würde ein Spiegel stehen. Das Spiegelbild muss dann genau mit der zweiten Seite der tatsächlichen Zeichnung übereinstimmen. Damit erhälst Du folgende Symmetrieachsen: b) An den Zeichnungen siehst Du, wie viele Symmetrieachsen die einzelnen Figuren besitzen: c) Die Abbildung b) zeigt alle möglichen Symmetrieachsen. Die zusätzlichen Achsen bei den Abbildungen c) und d) sind keine Symmetrieachsen. Freiburger-Verlag.de 17

16 3. Leitidee Raum und Form Lösungen 3.5 Spiegelungen a) Um die Figuren an der angegebenen Achse zu spiegeln, gehst Du wie bei den Beispielen vor: Du spiegelst die Ecken an der Achse. Im Fall des Rechtecks rechts, kommt es dabei sogar zu einer Überlappung: b) Um die Spiegelachsen zu bestimmen, verbindest Du zuerst sich entsprechende Ecken miteinander. Dann halbierst Du die so entstandenen Strecken. Durch die Mittelpunkte kannst Du dann die Spiegelachse s zeichnen: c) Du kannst ein beliebiges Dreieck wählen. Der Umlaufsinn der Punkte dreht sich um, wenn einmal gespiegelt wird. Nach der zweiten Spiegelung dreht er sich wieder um. Also besitzt das dritte Dreieck wieder den gleichen Umlaufsinn wie das erste Dreieck. d) Um die Geraden zu spiegeln, ist es am einfachsten, je zwei Punkte zu spiegeln. Es entsteht folgende Figur: e) Zuerst musst Du die Spiegelachse bestimmen. Dazu verbindest Du die Punkte A und A und bestimmst den Mittelpunkt M der Verbindungslinie. Durch diesen Punkt kannst Du nun die Spiegelachse s konstruieren, die senkrecht auf der Verbindungslinie stehen muss. Nun kannst Du den Punkt B spiegeln. 18 Freiburger-Verlag.de